Exercícios de Matemática: Funções, Logaritmos e Progressões, Resumos de Matemática

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PRÉVESTIBULAR

EXTENSIVO

MANUAL DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

PRÉ-VeStiBULaR

EXTENSIVO

manual do Professor

matemÁtica i

autor

Luis Felipe Silva Abad

1

cONJUNtOS

página 7

2

FUNÇÕeS

página 11

3

FUNÇÕeS POLiNOMiaiS DO 1O^ e 2O^ GRaU

página 13

5

FUNÇÃO eXPONeNciaL

página 23

6

FUNÇÃO LOGaRÍtMica

página 26

manual do Professor

matemÁtica i

4

FUNÇÃO MODULaR

página 21

7

ReViSÃO

página 33

4 Pré-vestibular extensivo |^ caderno 1 |^ manual do Professoro Professor

orientaÇÕes Gerais

Cada disciplina do curso Pré-vestibular Extensivo é composta de 30 módulos, que tra- zem todo o conteúdo necessário para a realização dos principais exames vestibulares do país. Os módulos foram criteriosamente planejados, para que cada um deles possa ser trabalhado pelos professores em uma semana de aula, segundo a grade mínima de tempos sugerida abaixo.

Disciplinas

3 a^ série – Total de tempos/aulas Língua Portuguesa I (Gramática / Literatura) 3 Língua Portuguesa II (Redação) 2 História 3

Geografia 3

Matemática I 2

Matemática II 3

Física 4

Química 4

Biologia 4 Língua estrangeira (Língua Espanhola, Língua Inglesa ou Língua Francesa)

2

Total 30

introduÇÃo

Sabemos que o principal elemento do processo de ensino-aprendizagem é o aluno. Por isso, as aulas devem ser cuidadosa-

mente preparadas para que os estudantes compreendam o conteúdo e suas utilidades e aplicações no mundo em que vivemos.

As variáveis de uma sala de aula são muitas, cada turma tem suas particularidades e necessidades, de modo que a metodo-

logia de ensino deve adequar-se à realidade de cada grupo.

Diante disso, esse manual não pretende definir um modelo único de trabalho, mas auxiliar o professor na utilização do

material de Matemática, apresentando sugestões de dinâmicas de aula, de formas de abordagem de cada conteúdo, de exercí-

cios a serem feitos em sala de aula e como tarefa. Ou seja, dando a orientação necessária para uma completa exploração dos

módulos.

Esperamos que este manual seja útil ao longo de todo o período letivo. Bom trabalho!

MateMática i

1

cONJUNtOS

PartE 1

Objetivos

◆ Introduzir o conceito de conjunto.

◆ Designação de conjuntos.

◆ Definir conjuntos numéricos. ◆ Detalhar como transformar dízimas periódicas em fração.

◆ Subconjunto – Conjunto universo.

◆ Conjunto das partes.

Estratégias de aula

Começar a aula dizendo que, intuitivamente, associamos à ideia de conjunto as de grupo, coleção ou classe e, à ideia

de elemento, os objetos que constituem o conjunto. Notação: A, B, C, ... indicam o conjunto a, b, c, ... representam os elementos À ideia de constituir o conjunto associamos o conceito primitivo de pertencer. Dizemos então que o elemento per- tence ao conjunto. Notação: [ → pertence Ó → não pertence Repare que quando usamos [ ou Ó estamos relacionan- do sempre um elemento a um conjunto. x [ A ↓ ↓ elemento conjunto Ex.: considerando o conjunto A das letras da palavra Engenharia, temos: a [ A, n [ A, p Ó A Definir os conjuntos numéricos: A. Conjunto dos números naturais ( N ): N 5 {0, 1, 2, 3, ...} B. Conjunto dos números inteiros ( Z ): Z 5 {.... 2 3, 2 2, 2 1, 0, 1, 2, 3, ...} Alguns símbolos podem ser utilizados juntos à letra que designa o conjunto com a função de eliminar certos elementos:

• : elimina o zero 1 : elimina os negativos 2 : elimina os positivos

Z 1 5 {0, 1, 2, ...} (inteiros não negativos) Z 1 * 5 {1, 2, 3 ...} (inteiros positivos) Z 2 5 {..., 2 3, 2 2, 2 1, 0} (inteiros não positivos) Z* 2 5 {..., 2 3, 2 2, 2 1} (inteiros negativos)

C. Conjunto dos números racionais ( Q ):

§ 5 x x 5 a , ¢ * b { |^ a^ ∈^ ∧^ b^ ∈ Z }

Assim, número racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração, com numerador inteiro e denominador inteiro e diferente de zero.

São números racionais: ◆ Todo número inteiro: 23 [ Q, 0 [ Q, 176 [ Q.

◆ Todos os números decimais finitos: 2,71 [ Q,

8 5

[ Q, 2 0,25 [ Q. ◆ Todos os números decimais infinitos e periódicos (dízimas periódicas): 0,3333... [ Q, 1,2343434... [ Q. Admitem-se também as notações Q 1 , Q 2 e Q*^ para sub- conjuntos de Q. Definir como transformar as dízimas periódicas em fração sem haver a necessidade de “memorizar” a regra.

Dízima periódica As dízimas periódicas são números decimais não exatos que apresentam um ou mais algarismos que se repetem in- definidamente. Estes algarismos que se repetem formam o período da dízima. Dízimas periódicas simples : são aquelas que, após a vír- gula, só apresentam a repetição do período. Ex.: 0,222... ; 0,434343... Para determinarmos a fração equivalente a uma dízima periódica simples ( geratriz da dízima), devemos multiplicá-la por uma potência inteira de 10 de forma que o número obti- do tenha a mesma parte decimal do primeiro (a vírgula deve “saltar” um período) e, em seguida, subtrair um do outro. Ex.: vamos determinar a geratriz da dízima 0,121212... x 5 0,121212... (I) 100x 5 12,121212... (II)

(II) 2 (I): 99x 5 12 → x 12 99

5

O numerador da fração geratriz da dízima periódica simples é formado pelo período e o denominador é for- mado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período.

Dízimas periódicas compostas : são aquelas que apre- sentam, após a vírgula, algarismos que não se repetem. Estes algarismos formam o anteperíodo da dízima. Ex.: 0,217777...; 0,3414141...

MateMática i

2 (UFRJ) Sejam x 5 1 e y 5 0,999... (dízima periódica). Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? a) x , y b) x. y c) x 5 y Justifique rigorosamente sua resposta. Solução: y 5 0,999... 10y 5 9,999.. Subtraindo o 2o^ termo do 1o^ termo : 9y 5 9 → y 5 1 Logo, x 5 y

(^3) (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823- -1891): Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem. Leopold Kronecker (1823-1891) Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é cor- reto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um núme- ro irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sem- pre um número inteiro negativo. Solução: Dar contraexemplos a) (F) 2? 2 52 b) (F) 2 2 1 2 5 0 c) (F) π 5 3,14... ou 10 5 3,6... d) (V) e) (F) ( 2 1) 2 ( 2 2) 5 1

PartE 2

Objetivos

◆ Definir as operações entre os conjuntos.

◆ Cálculo do número de elementos da união entre dois con- juntos.

◆ Representação dos Intervalos e Operações.

Estratégias de aula

União

A ∪ B 5 {x | x [ A e x [ B}

A B

Interseção

A ∩ B 5 {x | x [ A e x [ B}

A B

Diferença

A 2 B 5 {x | x [ A e x Ó B} B 2 A 5 {x | x [ B e x Ó A}

A B

A – B (^) A B

B – A

Complementar

Caso particular de diferença usado quando um conjunto está contido no outro. A , B ⇒ CBA 5 B 2 A (complementar de A em relação a B)

CBA

A

B

Se o conjunto maior for o universo podemos ainda deno- tar de uma outra maneira.

A 5 CA 5 C AU 5 U 2 A

A

—A

Mostrar que n(A ∪ B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A ∩ B)

Exemplificar as operações: A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B 5 {8, 10, 12, 15} C 5 {8, 10} A ∪ B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15} A ∩ B 5 {8, 10} A 2 B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} B 2 A 5 {12, 15} CBC 5 B 2 C 5 {12, 15}

Mostrar através de um exemplo as representações em in- tervalos e suas operações.

eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS

13 Numa cidade há 1 000 famílias. Sabe-se que: ◆ 470 assinam o Estado ; ◆ 420 assinam a Folha ; ◆ 315 assinam a Gazeta ; ◆ 140 assinam a Gazeta e a Folha ; ◆ 220 assinam a Gazeta e o Estado ; ◆ 110 assinam a Folha e o Estado ; ◆ 75 assinam os três. Pergunta-se: a) Quantas famílias não assinam jornal? b) Quantas famílias assinam só um dos jornais? c) Quantas famílias assinam só dois jornais?

Solução:

E (^) F

30

215

145

75

(^35 )

65

U 5 1000 G

190

a) 1 000 2 (215 1 145 1 35 1 75 1 30 1 65 1 245) 5 190 b) 215 1 245 1 30 5 490 c) 35 1 145 1 65 5 245

17 (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas des- tes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encer- radas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação? Solução: Sejam N, F e T, respectivamente, os conjuntos dos associa- dos do clube que se inscreveram para as aulas de natação, futebol e tênis. Sejam x e y os números de associados inscritos simulta- neamente para futebol e natação e para tênis e natação, respectivamente, isto é, x 5 n(N ∩ F) e y 5 n(N ∩ T). Como nenhum associado poderá frequentar simultanea- mente as aulas de tênis e futebol, temos que T ∩ F 5 [. Portanto, os três conjuntos podem ser representados pelos diagramas abaixo:

F T

38 2 x x 50 y 17 2 y

N

Como o total de inscritos em natação é 85, temos: x 1 y 1 50 5 85 ⇒ x 1 y 5 35 Como o número de inscritos só para futebol excede em 10 o de inscritos só para tênis, temos: 38 2 x 5 17 2 y 1 10 ⇒ x 2 y 5 11 Logo: x y 35 x y 11

1 5

x 5 23 Resposta: 23 associados

Estudando em casa

Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares: ◆ Estudar a teoria sobre conjunto presente no módulo 1. ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula. ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 7, 8, 14, 18 e 32 do módulo 1.

aNOtaÇÕeS

representação gráfica

Aproveitando o exemplo anterior, vamos representar gra- ficamente a função f(x) 5 x^2

x

y

1

4

22 21 1 2 Obs.: I. Graficamente, identificamos o domínio de uma função projetando seu gráfico no eixo 0x. II. Graficamente, identificamos a imagem de uma função projetando seu gráfico no eixo 0y. III. Para que um gráfi- co possa representar uma função, todas as retas verticais traça- das pelo domínio da função devem inter- ceptar o gráfico em um único ponto. Não é função!

eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS

1 (PUC) A 5 {3, 4, 6}, B 5 {1, 2} e C 5 {3, 6, 9, 12}. Determine (C 2 A) 3 B. Solução: C 2 A 5 {9, 12} (C 2 A) 3 B 5 {(9, 1), (9, 2), (12, 1), (12, 2)}

2 (UFF-RJ) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que: a) (1, 7), (5, 3) são elementos de A 3 B b) A ∩ B 5 {1, 3} O que pode ser afirmado com segurança sobre o número de elementos de A 3 B? Solução: (1, 7), (5, 3) são elementos de A 3 B → 1 e 5 [ A; 7 e 3 [ B A 5 {1, 5 ....} B 5 {3, 7, ...} A ∩ B 5 {1, 3} → 1 e 3 [ A e B; A 5 {1, 3, 5, ...} B 5 {1, 3, 7, ...} Portanto, n(A) 5 mínimo de 3 elementos e n(B) 5 mínimo de 3 elementos, logo, n(A 3 B) 5 mínimo de 9 elementos.

(^7) Seja a função f(x) 5 ax^3 1 b. Se f( 2 1) 5 2 e f(1) 5 4, então a e b valem, respectivamente: Solução: f(x) 5 ax^3 1 b f( 2 1) 5 a? ( 2 1)^3 1 b 5 2 → 2 a 1 b 5 2 f(1) 5 a? 13 1 b 5 4 → a 1 b 5 4 Somando as duas equações acima: 2b 5 6 → b 5 3 e a 5 1

Dom (f ) C.D (f ) Im(f )

5 5 5

   (^) +

x

y

0

11 A produção diária de um certo produto, realizada por um determinado operário, é avaliada por: Produção 5 8x 1 9x^2 2 x^3 unidades. x horas após as 8 horas da manhã, quando começa o seu turno. Determine: a) Qual é a sua produção até o meio-dia? b) Qual é a sua produção durante a quarta hora de trabalho? Solução: a) Basta fazer x 5 4. P(4) 5 8? 4 1 9? 42 2 43 5 32 1 144 2 64 5 5 112 unidades b) A produção durante a quarta hora de trabalho é dada por P(4) 2 P(3) Como P(3) 5 8? 3 1 9? 32 2 33 5 24 1 81 2 27 5 78 P(4) 2 P(3) 5 112 2 78 5 34 unidades

(^13) Determine o domínio da função:

f(x) x^1 x

2x (^3) x 4 5 2 1 1 Solução: x 2 1 > 0 → x > 1 x Þ 0 x 1 4. 0 → x. 24 Fazendo a interseção dos intervalos: x > 1 S 5 {x [ R | x > 1}

18 (UFRJ) Considere as funções polinomiais f, g e h, cujos gráficos são dados a seguir y

x

f

h

g

0 22

24

26

6

4

2 1 25 24 23 22 21

2 3 4 5

Determine os valores reais de x no intervalo [ 2 5, 5] para os quais valem as desigualdades: f(x) < g(x) < h(x) Solução: Para que as desigualdades sejam verdadeiras, o gráfico de f deve estar abaixo do gráfico de g e este abaixo do de h. Esta condição se verifica nos intervalos [0, 1] e [3, 5]. Resposta: x [ [0, 1] ∪ [3, 5]

Estudando em casa

Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares: ◆ Estudar a teoria sobre produto cartesiano e teoria das fun- ções presente no módulo 2. ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula. ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 3, 4, 10, 16, 17, 19 e 22 do módulo 2.

MateMática i

3

FUNÇÕeS POLiNOMiaiS DO 1o^ e 2o^ GRaU

PartE 1

Objetivos

◆ Definir uma função do 1o^ grau.

◆ Mostrar o significado dos coeficientes angular e linear.

◆ Raiz da função do 1o^ grau.

◆ Estudo do sinal da função do 1o^ grau.

Estratégias de aula

Definição

f : R → R x → f(x) 5 ax 1 b onde a [ R*^ e b [ R A função do 1o^ grau também é conhecida como função afim, e pode ser particularmente chamada de: I. função linear, se b Þ 0 (f(x) 5 ax) II. função identidade, se b 5 0 e a 5 1 (f(x) 5 x)

Coeficiente angular (a)

Percebemos que, dados dois pontos A e B do gráfico de f(x) 5 ax 1 b:

a

y y x x

B A tg B A

5

2 2

5 α

Pelo fato de o coeficiente a ser igual à tangente do ângulo que a reta forma com a horizontal, o chamamos coeficiente

angular. Exemplos:

x

y

60¡ x

y

135¡

a 5 tg 60° 5 3 a^5 tg 135°^5 2 tg 45°^5

Observando os exemplos acima é fácil perceber que:

Função crescente → 0° , θ , 90° → a. 0 Função decrescente → 90° , θ 180° → a , 0

Coeficiente linear (b)

f(x) 5 ax 1 b x 5 0 → f(0) 5 a? 0 1 b 5 b → (0, b) [ f

A função encontra o eixo ou um ponto de ordenada (y) igual a b.

x

y

150°

f (^4)

b 4 e a tg 150° 3 3

5 5 5 2

f(x) 3 3

5 2? x 14

raiz ou zero da função Raiz de uma função é o valor da variável x tal que f(x) 5 0

α é raiz de f(x) ↔ f(α) 5 0

Como o ponto (α, 0) [ f, concluímos que as raízes são as interseções do gráfico de f com o eixo x. No caso da função de 1o^ grau:

x

y

RAIZ 5 2

b

θ 5 arctga

b a

Sinal da função 1 o^ caso: a. 0 (Crescente)

x

y

2

1 b (^2) a

f(x). 0 → x. 2 b a

f(x) 5 0 → x 5 2 b a

f(x) , 0 → x , 2 b a

MateMática i

Solução: a) Basta perceber que é um ponto da reta r 1 onde x 5 0 → → y 5 10 Utilizando a escala dada 10 000 litros b) Vamos montar as funções: r 1 : y 5 ax 1 b ◆ b 5 10 ◆ (60, 40) [ r 1 → 40 5 60a 1 10 → a 1 2

5

r : y 1 2 1 5  x^110

r 2 : y 5 ax 1 b ◆ b 5 0

◆ (60, 90) [ r 2 → 90 5 60a → a 3 2

5

r : y 3 2 2 5  x

Para que não haja mais prejuízo: 3 2

x 1 2

  >   x 1 10 →x > 10

Volume Mínimo 5 10 000 litros

11 Resolva as inequações:

a) (2x 2 1)( 2 3x 1 2) ( 2 x 1 3) , 0

b) (x^ 1)(x^ 3) (x 5)

(^2 ) 2

.

c) 2x^3 x 2

(^21) 2

d) (x 2 4)^3 < 0 e) (3x 2 2)^2. 0 f) (x 1 6)^6 , 0

g) x (x^ 1) (x^ 3) (x 1)

0

3 5 2 4

2 1 1

.

Solução: a) (2x 2 1)( 2 3x 1 2)( 2 x 1 3) , 0 Seja: f 1 (x) 5 (2x 2 1) f 2 (x) 5 ( 2 3x 1 2) f 3 (x) 5 ( 2 x 1 3) Vamos estudar o sinal de cada uma das funções acima:

f (x) (2x 1) 2x 1 0 x 1 (^1 ) 5 2 → 2 5 → 5

1 2 1 2

f (x) ( 3x 2) 3x 2 0 x 2 (^2 ) 5 2 1 → 2 1 5 → 5

1 (^22) 3

f 3 (x) 5 ( 2 x 1 3) → 2 x 1 3 5 0 → x 5 3

3

1 2

1 2

2 3

3

f 1 (x) 5 2(x 2 1) 2 1 1 1 f 2 (x) 5 ( 2 3x 1 2) 1 1 2 2 f 3 (x) 5 ( 2 x 1 3) 1 1 1 2 f 1 (x)? f 2 (x)? f 3 (x) 2 1 2 1

S ,^1 2

2 3

5  2 ∞  ∪  , 3

b) (x^ 1)(x^ 3) (x 5)

(^2 ) 2

.

Seja: f 1 (x) 5 (x 2 1) f 2 (x) 5 (x 1 3) f 3 (x) 5 (x 2 5) Restrição: x 2 5 Þ 0 → x Þ 5 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções anteriores f 1 (x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1

1

1 2

f 2 (x) 5 (x 1 3) → x 1 3 5 0 → x 5 23

Ð

1 2

f 3 (x) 5 (x 2 5) → x 2 5 5 0 → x 5 5

5

1 2

23 1 5 f 1 (x) 5 (x 2 1) 2 2 1 1 f 2 (x) 5 (x 1 3) 2 1 1 1 f 3 (x) 5 (x 2 5) 2 2 2 1 f 1 (x)? f 2 (x) / f 3 (x) 2 1 2 1

S 5 ( 2 3, 1) ∪ (5, 1 ∞)

0 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0

'

c) 2x^3 x 2

(^21) 2

2x 3 x 2

1 0 2x^3 x 2

(x 2) (x

2 2

2 > 2 2

2 2 2

→

0 x^1 x 2

2 0 2

→ >

Seja: f 1 (x) 5 (x 2 1) f 2 (x) 5 (x 2 2)

Restrição: x 2 2 Þ 0 → x Þ 2 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções acima f 1 (x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1

1

1 2

f 2 (x) 5 (x 2 2) → x 2 2 5 0 → x 5 2

2

1 2

1 2 (x 2 1) 2 1 1 (x 2 2) 2 2 1 (x 2 1) / (x 2 2) 1 2 1

S 5 ( 2 ∞, 1] ∪ (2, 1 ∞)

d) (x 2 4)^3 < 0 Seja: f 1 (x) 5 (x 2 4) → x 2 4 5 0 → x 5 4

4

1 2

[f 1 (x)]^3 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)

4

2 1

S 5 ( 2 ∞, 4]

e) (3x 2 2)^2. 0

Seja: f (x) (3x 2) 3x 2 0 x 2 (^1 ) 5 2 → 2 5 → 5

1 2 3

2

[f 1 (x)]^2 → expoente par 1 2 3

1

S 2 3

5  2  

0 0

'

f) (x 1 6)^6 , 0 Seja: f 1 (x) 5 (x 1 6) → x 1 6 5 0 → x 5 26

26

1 2

[f 1 (x)]^6 → expoente par

6

1 1

S 5 [

g) x (x^ 1) (x^ 3) (x 1)

0

3 5 2 4

2 2 1

.

Restrição: x 1 1 Þ 0 → x Þ 21 Seja: f 1 (x) 5 x → x 2 0

0

1 2

[f 1 (x)]^3 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)

0

2 1

f 2 (x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1

1

1 2

[f 2 (x)]^5 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)

1

2 1

f 3 (x) 5 (x 2 3) → x 23 5 0 → x 5 3

2 3

1

[f 3 (x)]^2 → expoente par

3

1 1

f 4 (x) 5 (x 1 1) → x 1 1 5 0 → x 5 21

2 21

1

[f 4 (x)]^2 → expoente par

21

1 1

Produto das raízes

x x b 2a

b 2a

b (^1 2) 4a

2 ? (^5 )

2 1 ∆ (^)? 2 2 ∆ 5 2 ∆

x x =

b (b 4ac) 4a

x x

b b 4ac 4a 4a

1 2

2 2 2 1 2

2 2 ? (^2)

2 2 ? 5

2 1 5

5

⇒

cc 4a^2

x x c (^1 2) a ? 5

Fatoração do trinômio do 2o^ grau

Sendo f(x) 5 ax^2 1 bx 1 c e a Þ 0, a sua forma fatorada é:

f(x) 5 a(x 2 x 1 )(x 2 x 2 )

onde x 1 e x 2 são as raízes de f. Demonstração:

f(x) ax bx c a x b a

x c a

5 2 1 1 5 ^21 1 

 

f(x) 5 a(x^2 2 (x 1 1 x 2 )x 1 x 1 x 2 ) 5 a[x(x 2 x 1 ) 2 x 2 (x 2 x 1 )] f(x) 5 f(x) 5 a(x 2 x 1 ) (x 2 x 2 )

(Ex.:) Fatorar o trinômio 2x^2 2 8x 1 6. Encontramos suas raízes: x 1 5 1 e x 2 5 3 Forma Fatorada: 2(x 2 1) 3 (x 2 3)

Vértice da parábola

Seja a função f(x) 5 ax^2 1 bx 1 c, representada pela parábola abaixo.

y r

V

x

b 2a

∆ 4a

V: Vértice da parábola r: Eixo de Simetria da Parábola A abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes:

x

x x 2

b a V 2 5 1 1 25

2 ⇒ x b v (^) 2a 5 2

Substituindo o valor de xv em f(x), obtemos:

y v (^) 4a 5 2 ∆

Dependendo do sinal de a, teremos: 1 o^ caso: a. 0

V

∆ 4a

V: Ponto de mínimo de f

y : Valor m’nimo de f Im(f ) y y V (^) 4a ⇒ (^5) { ∈ | >^2 ∆}}

2 o^ caso: a , 0

∆^ V 4a

V: Ponto de máximo de f

y : Valor máximo de f Im(f ) y | y 4a

V ⇒^5 { ∈ <  2 ∆ }}

Estudo do sinal da função do 2o^ grau O estudo do sinal de uma função quadrática depende do sinal de a (coeficiente do termo do 2o^ grau) e do sinal de seu discriminante (D 5 b^2 2 4ac). Os gráficos a seguir mostram a va- riação do sinal de uma função do 2o^ grau em cada um dos casos: a. 0 a , 0

a. 0 a , 0

a. 0 a , 0

a. 0 Positiva, para todo x [ R a , 0 Negativa, para todo x [ R

MateMática i

eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS

6 (UFRJ) Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites se- rão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1o^ dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir do segundo dia e assim sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia). a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13? b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m. Solução: a) Seja Pn o número de enfeites que o morador de número n terá colocado ao final de 40 dias. Verificamos que Pn 5 5 n? (41 2 n). Em particular, P 13 5 13? (41 2 13) 5 364. b) A função f(x) 5 x(41 2 x) tem como gráfico uma parábola que intercepta o eixo das abscissas nos pontos x 1 5 0 e x 2 5 41, atingindo o valor máximo no ponto médio

x =^41 2 0 .Como os valores de Pn são obtidos calculando- -se f(n) para n 5 1, 2, ..., 40, concluímos que o máximo de Pn é atingido em n 5 20 ou n 5 21. Portanto m 5 5 P 20 5 P 21 5 420

(^7) (UFRJ) Para quantos números reais x, o número y, onde

y 5 2 x^2 1 6x 2 1, é um número pertencente ao conjunto N*^5 {1, 2, 3, 4, ...}? Solução: Para 15 valores reais da variável x temos y [ N 5 {1, 2, 3, 4, ...} Observando o gráfico da função y 5 2 x^2 1 6x 2 1, vemos que para 15 valores reais da variável x obtemos como ima- gem um valor y [ N 5 {1, 2, 3, 4 ...}.

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

8 (Uerj) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em um plano vertical xOy estão representadas abaixo.

x

y

B

A

0

Suas equações são, respectivamente, y 1 2

5 2 x 21 3xe

y 1 2

5 x 21 x,nas quais x e y estão em uma mesma unida-

de u. Essas partículas atingem, em um mesmo instante t, o ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre as partículas, nesse instante t, na mesma unidade u, equivale a: a) 6

b) 8

c) 10

d) 20 Solução:

y 1 2

5 2 x 21 3x;

x b 2a

3 2 1 2

v 5 2^5 2

5  

 

y 1 2

3 3 3 9 v 2 5 2 21? 5

y 1 2

5 2 x 21 x

x b 2a

1 2 1 2

v 5 2^5 2

5  

 

y 1 2

1 1 1 v 2 5 2 21 5

x

y

B

A

0

4

1 3

2

d

9 2

1 2

d 2 5 4 2 1 22 5 20 →d 5 20