Estat´ıstica B´asica
Instrutor:
Dorival Le˜ao
Estatcamp Consultoria em Estat´ıstica e Qualidade
Rua: Adolpho Cattani, 682
Jardim Macarengo CEP: 13560-470 S˜ao Carlos/SP
Fone/Fax: (16) 3376-2047
E-mail: [email protected]
Novembro/2006
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estatística e probabilidade, Notas de estudo de Estatística
estatística e probabilidade
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Estat´ıstica B´asica
Instrutor: Dorival Le˜ao
Estatcamp Consultoria em Estat´ıstica e Qualidade
Rua: Adolpho Cattani, 682 Jardim Macarengo CEP: 13560-470 S˜ao Carlos/SP Fone/Fax: (16) 3376- E-mail: [email protected]
Novembro/
ii
v
vii
- 1 Introdu¸c˜ao Sum´ario
- 2 Coleta de Dados
- 2.1 Dados Quantitativos
- 2.1.1 Dados Quantitativos Discretos
- 2.1.2 Dados Quantitativos Cont´ınuos
- 2.2 Dados Qualitativos
- 2.2.1 Construindo um Diagrama de Pareto
- 2.1 Dados Quantitativos
- 3 Gr´aficos
- 3.1 Distribui¸c˜ao de Freq¨uˆencias e Histograma
- 4 Medidas de Posi¸c˜ao
- 4.1 M´edia Aritm´etica
- 4.2 Mediana
- 5 Medidas de Dispers˜ao
- 5.1 Amplitude
- 5.2 Variˆancia
- 5.3 Desvio Padr˜ao
- 6 Estat´ısticas Descritivas
- 6.1 Box-Plot
- 7 Probabilidades
- 7.1 Introdu¸c˜ao
- 7.2 Defini¸c˜oes
- 7.3 Distribui¸c˜ao de Probabilidade Discreta
- 7.3.1 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Acumulada Sum´ario iii
- Probabilidade Discretas 7.3.2 Rela¸c˜ao entre a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Acumulada e a Distribui¸c˜ao de
- 7.3.3 Esperan¸ca de Vari´aveis Aleat´orias Discretas
- 7.3.4 Variˆancia de Vari´aveis Aleat´orias Discretas
- 7.3.1 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Acumulada Sum´ario iii
- 7.4 Modelos Probabil´ısticos Discretos
- 7.4.1 Distribui¸c˜ao Binomial
- 7.4.2 Distribui¸c˜ao de Poisson
- 7.4.3 Distribui¸c˜ao Geom´etrica
- 7.4.4 Distribui¸c˜ao Hipergeom´etrica
- 7.5 Exerc´ıcios
- 7.6 Distribui¸c˜oes de Probabilidade Continua - de Probabilidade Cont´ınua 7.6.1 Rela¸c˜ao entre a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Acumulada e a Fun¸c˜ao densidade
- 7.6.2 Esperan¸ca de Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas
- 7.6.3 Variˆancia de Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas
- 7.7 Modelos Probabil´ısticos Cont´ınuos
- 7.7.1 Distribui¸c˜ao Uniforme
- 7.7.2 Distribui¸c˜ao Normal
- 7.8 Modelos Probabil´ısticos para o Tempo de Falha
- 7.8.1 Distribui¸c˜ao Exponencial
- 7.8.2 Distribui¸c˜ao de Weibull
- 7.8.3 Distribui¸c˜ao de Gumbel
- 7.8.4 Distribui¸c˜ao Log-normal
- 8 A Distribui¸c˜ao Normal
- 9 Teorema do Limite Central
- 10 Teste para Normalidade
- 10.1 Papel de Probabilidade
- 10.2 Teste de Kolmogorov - Smirnov
- 10.3 Teste Anderson-Darling
- 11 Indicadores da Qualidade Sum´ario iv
- 11.1 Rendimento de um Produto
- 11.2 Intervalo de confian¸ca para o rendimento
- 11.3 Defeitos por milh˜ao de oportunidades (DPMO)
- 11.4 Intervalo de confian¸ca para o DPMO
- 11.5 Rendimento: An´alise da resposta do processo (Rolled Throughput Yield)
- 11.6 Exerc´ıcios
- 11.7 M´etrica da Qualidade: SIGMA
- 12 Defini¸c˜oes
- A Tabela Normal Padr˜ao - 6σ
- Referˆencias Bibliogr´aficas
- 2.1 Classifica¸c˜ao dos Dados Lista de Figuras
- 2.2 Diagrama de Pareto
- 2.3 Diagrama de Pareto - Relativo a Custos
- 3.1 Histograma - Frequˆencia Absoluta
- 3.2 Histograma - Porcentagens
- 3.3 Histograma - Frequˆencia Absoluta
- 3.4 Histograma - Porcentagens
- 6.1 Constru¸c˜ao do Boxplot
- 6.2 Compara¸c˜ao entre dois Boxplots
- 7.1 Gr´afico da fun¸c˜ao densidade de probabilidade da Uniforme
- 7.2 Gr´afico da fun¸c˜ao de confiabilidade
- 7.3 Gr´afico da fun¸c˜ao taxa de falha da distribui¸c˜ao Weibull
- 7.4 Gr´afico da fun¸c˜ao densidade da distribui¸c˜ao Log-Normal
- 8.1 Distribui¸c˜ao Normal
- 8.2 Areas sob a Curva Normal .´
- 8.3 Distribui¸c˜ao Normal Padronizada
- 8.4 Area sob a curva normal´
- 8.5 Area sob a curva normal´
- 8.6 Area sob a curva normal´
- 8.7 Area sob a curva normal´
- 8.8 Area sob a curva normal´
- 8.9 Area sob a curva normal´
- 8.10 Area sob a curva normal´
- 8.11 Area sob a curva normal´ Lista de Figuras vi
- 9.1 Histograma-Dados Exponenciais
- 9.2 M´edia de Grupos de
- 9.3 M´edias dos 5 Grupos
- 10.1 Papel de Probabilidade para o exemplo 10.1.
- 10.2 Papel de Probabilidade do Teste Anderson-Darling
- 11.1 Gr´afico da Estrat´egia de Rompimento
- 11.2 Gr´afico de Pareto
- 11.3 Gr´afico do Rendimento Cl´assico
- 11.4 Gr´afico do Rendimento do Processo
- 11.5 Areas sob a Curva Normal .´
- 11.6 Limites de Varia¸c˜ao
- 2.1 N´umero de Pe¸cas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apura¸c˜ao) Lista de Tabelas
- 2.2 Diˆametro do Eixo de 200 Motores
- 2.3 Diˆametro do Eixo de 200 Motores (Com Apura¸c˜ao)
- 2.4 Tipos de problemas Numa Ind´ustria de Computadores
- 3.1 Diˆametro do Eixo de 200 Motores (Sem Apura¸c˜ao)
- 3.2 Distribui¸c˜ao de Frequˆencias dos Diˆametros dos Eixos
- 3.3 Crit´erio Para Determinar os Intervalos
- 3.4 N´umero de Pe¸cas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apura¸c˜ao)
- 3.5 Distribui¸c˜ao de Frequˆencias dos Dados do exemplo 2.1
- 7.1 Tabela do Exerc´ıcio
- 7.2 Tabela de probabilidade da distribui¸c˜ao geom´etrica
- 9.1 Dados Exponenciais
- 10.1 Constru¸c˜ao do papel de probabilidade.
- 10.2 Tabela de Valores para Dn
- 10.3 Resumo do C´alculo de Dn
- 10.4 Teste de Kolmogorov - Smirnov
- 10.5 Teste de Kolmogorov - Smirnov
- 10.6 Tabela de pontos percentis
- 10.7 Calculando o valor de A
- 11.1 Resumo dos Dados
- 11.2 Colheitadeira de Cana
- 11.3 DPMO
- 11.4 Dados
- 11.5 Colheitadeira de Cana Lista de Tabelas viii
- 11.6 Resumo dos Dados
- 11.7 Coleta de Dados
- 11.8 Coleta de Dados
- 11.9 Coleta de Dados
- A.1 Tabela Normal 6σ
Cap´ıtulo 2
Coleta de Dados
Uma popula¸c˜ao ´e um agregado de elementos (finitos ou n˜ao) para o qual deseja-se obter informa¸c˜oes sobre algumas de suas caracter´ısticas. Duas popula¸c˜oes s˜ao consideradas distintas se uma delas cont´em um elemento que n˜ao est´a contido na outra popula¸c˜ao. Como exemplo de popula¸c˜ao temos a produ¸c˜ao di´aria de um empresa, o conjunto de resultados de medi¸c˜ao de uma haste de a¸co realizada com um micrˆometro, entre outras. A amostra ´e uma parcela de uma popula¸c˜ao que pode conter informa¸c˜oes sobre a popula¸c˜ao. Para estudarmos adequadamente uma popula¸c˜ao atrav´es de uma amostra devemos planejar a coleta de dados.
Planejando a Coleta de Dados
- Qual a pergunta a ser respondida?
- Como comunicar a resposta obtida?
- Qual ferramenta de an´alise pretende-se usar e como ser˜ao comunicados os resultados?
- Quais tipos de dados s˜ao necess´arios para utilizar as ferramentas desejadas e responder a pergunta?
- Onde acessar estes dados?
- Como coletar esses dados com o m´ınimo de esfor¸co e de erro?
- Quais informa¸c˜oes adicionais ser˜ao necess´arias para estudos futuros, referˆencias ou reco- nhecimento? Os Dados podem ser classificados como:
- Coleta de Dados 3
Figura 2.1: Classifica¸c˜ao dos Dados
2.1 Dados Quantitativos
Neste caso a caracter´ıstica observada assume valores num´ericos. Este tipo de dado pode ser ainda classificado como discreto ou cont´ınuo.
2.1.1 Dados Quantitativos Discretos
Neste caso os dados observados formam um conjuto finito ou enumer´avel de n´umeros.
Exemplo 2.1. Foram observados 20 lotes de 1.000 pe¸cas cada um. O n´umero de pe¸cas de- feituosas encontradas em cada lote foi: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10.
Podemos fazer a apura¸c˜ao atrav´es de uma tabela (Tabela 2.1). N´umero de pe¸cas Apura¸c˜ao N´umero de lotes Defeituosas 7 / 1 8 / / 2 9 / / / / / 5 10 / / / / / / / / 8 11 / / / 3 12 / 1 Tabela 2.1: N´umero de Pe¸cas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apura¸c˜ao)
Vemos ent˜ao que a vari´avel n´umero de pe¸cas defeituosas assume valores inteiros:... , 7 , 8 , 9 ,.. .. Logo, ´e uma vari´avel discreta.
2.1.2 Dados Quantitativos Cont´ınuos
S˜ao os que decorrem de mensura¸c˜oes. Os poss´ıveis valores incluem “todos” os n´umeros do intervalo de varia¸c˜ao da caracter´ıstica medida, isto ´e, todos os poss´ıveis valores pertencem a um
- Coleta de Dados 5
Veja que, ao se estabelecer intervalos, est´a-se admitindo que o eixo pode assumir qualquer valor entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive.
2.2 Dados Qualitativos
Os dados qualitativos apresentam como poss´ıveis realiza¸c˜oes uma qualidade (ou atributo) do indiv´ıduo pesquisado. Dentre os dados quantitativos podemos fazer uma distin¸c˜ao entre dois tipos: dado quali- tativo nominal, para o qual n˜ao existe nenhuma ordena¸c˜ao nas poss´ıveis realiza¸c˜oes, e dado qualitativo ordinal, para o qual existe uma ordem em seus resultados. Sexo, estado civil, s˜ao exemplos de dados qualitativos nominais. J´a grau de instru¸c˜ao ´e um exemplo de dado qua- litativo ordinal, pois ensinos fundamental, m´edio e superior correspondem a uma ordena¸c˜ao.
Exemplo 2.3. Uma ind´ustria de computador preocupada com v´arios defeitos que um de seus produtos vem apresentando, fez um levantamento e constatou os seguintes problemas que foram designados da seguinte forma:
- A : Defeito na cobertura pl´astica.
- B : Defeito no teclado.
- C : Defeito na fonte de energia.
- D : Soldas soltas.
- E : Defeito na placa da unidade de processamento.
- F : Defeito no visor.
- G : Outros. Nesta situa¸c˜ao consideremos uma vari´avel T como sendo o tipo de defeito encontrado no produto. Portanto a vari´avel T pode assumir os valores T = A, T = B, · · ·. Assim, para um computador com defeito na cobertura pl´astica temos que T = A, por exemplo. Numa segunda fase tabelamos (tabela 2.4) os valores observados. Assim, podemos ver que os dados A, B, ... s˜ao dados qualitativos nominais.
- Coleta de Dados 6
Tipo de Problemas (T) Frequˆencia A 10 B 20 C 55 D 80 E 25 F 3 G 7 Tabela 2.4: Tipos de problemas Numa Ind´ustria de Computadores
Na figura 2.2 temos o Diagrama de Pareto referente a estes dados.
Figura 2.2: Diagrama de Pareto
2.2.1 Construindo um Diagrama de Pareto
- Selecione os problemas a serem comparados e estabele¸ca uma ordem atrav´es de:
- Coleta de Dados 8
Principais Defeitos No^ de Embalagens Custo por Unidade Custo do Defeito Defeituosas Defeituosa (R$) (R$) N´umeros Trocados 28 0,05 1, Caracteres Errados 28 0,05 1, Amassada 4 1,00 4, Perfurada 3 0,05 0, Impress˜ao Ileg´ıvel de Dados 2 0,05 0, Rasgada 2 1,00 2, Outros 1 0,05 0, TOTAL 68
Figura 2.3: Diagrama de Pareto - Relativo a Custos
A exposi¸c˜ao dos dados pode ser feita atrav´es de tabela e/ou gr´aficos. Aproveitando os exemplos anteriores poder´ıamos apresentar os dados atrav´es de suas respectivas tabelas, com a ressalva de que dever´ıamos eliminar a coluna “Apura¸c˜ao”, para uma apresenta¸c˜ao mais elegante. Tamb´em ´e l´ogico que se contarmos com um computador esta coluna n˜ao faz sentido. In´umeros gr´aficos auxiliam na apresenta¸c˜ao e interpreta¸c˜ao dos fatos, mas destacaremos os mais usuais em ind´ustrias.
Cap´ıtulo 3
Gr´aficos
3.1 Distribui¸c˜ao de Freq¨uˆencias e Histograma
Com as tabelas e/ou gr´aficos em m˜aos, tendo uma melhor visualiza¸c˜ao dos dados, muitas vezes j´a temos condi¸c˜oes de interpretar o fenˆomeno em estudo. Entretanto, para alguns casos ainda haver´a necessidade de se efetuar opera¸c˜oes num´ericas para se chegar a conclus˜oes mais s´olidas. Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais freq¨uentemente encontrados na ind´ustria, desenvolveremos inicialmente m´etodos de an´alise para eles. Ou seja, passamos `a sua descri¸c˜ao, atrav´es do que ´e chamado de distribui¸c˜ao de frequˆencias. Dados Cont´ınuos Vejamos o exemplo 2.2, onde a Tabela 2.3 ´e agora apresentada sem a coluna APURAC¸ AO,˜ ou seja:
Diˆametro No^ de motores 4 , 2 4 , 4 12 4 , 4 4 , 6 16 4 , 6 4 , 8 32 4 , 8 5 , 0 64 5 , 0 5 , 2 36 5 , 2 5 , 4 24 5 , 4 5 , 6 12 5 , 6 5 , 8 4 Tabela 3.1: Diˆametro do Eixo de 200 Motores (Sem Apura¸c˜ao)
Note que neste exemplo a vari´avel de interesse ´e o “Diˆametro” enquanto que “N´umero de Motores” ´e a freq¨uˆencia de medidas em cada intervalo.
- Gr´aficos 11
Diˆametro xi fi f ri pi(%) Pi(%) 4 , 2 4 , 4 4,3 12 0,06 6 6 4 , 4 4 , 6 4,5 16 0,08 8 14 4 , 6 4 , 8 4,7 32 0,16 16 30 4 , 8 5 , 0 4,9 64 0,32 32 62 5 , 0 5 , 2 5,1 36 0,18 18 80 5 , 2 5 , 4 5,3 24 0,12 12 92 5 , 4 5 , 6 5,5 12 0,06 6 98 5 , 6 5 , 8 5,7 4 0,02 2 100 Tabela 3.2: Distribui¸c˜ao de Frequˆencias dos Diˆametros dos Eixos
Figura 3.1: Histograma - Frequˆencia Absoluta Figura 3.2: Histograma - Porcentagens Algumas indica¸c˜oes na constru¸c˜ao da distribui¸c˜ao de frequˆencias s˜ao:
- Na medida do poss´ıvel, as classes dever˜ao ter amplitudes iguais.
- Escolher os limites dos intervalos entre duas poss´ıveis observa¸c˜oes.
- O n´umero de intervalos n˜ao deve ultrapassar 20.
- Escolher limites que facilitem o agrupamento.
- Marcar os pontos m´edios dos intervalos.
- Ao construir um histograma, cada retˆangulo dever´a ter ´area proporcional
a frequˆencia relativa correspondente (oua frequˆencia absoluta, o que d´a no mesmo). - Um crit´erio para determinar os intervalos (classes) ´e:
- Gr´aficos 12 Tamanho da Amostra (n) N´umero de Classes (c) 30 a 50 5 a 7 51 a 100 6 a 10 10l a 250 7 a 12 acima de 250 10 a 20 Tabela 3.3: Crit´erio Para Determinar os Intervalos Determina¸c˜ao do tamanho da classe ou intervalo (L):
L = (^) namplitudeo (^) de classes = Rc
onde R ´e o maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.
Como a tabela de frequˆencia, o histograma tem a caracter´ıstica de analisar as rela¸c˜oes essenciais que os dados apresentam, e ainda verificar algumas suposi¸c˜oes. Dados Discretos Consideremos agora o Exemplo 2.1, onde a Tabela 2.1 ´e apresentada sem a coluna APURAC¸ AO.˜ N´umero de Pe¸cas N´umero de lotes Defeituosas 7 1 8 2 9 5 10 8 11 3 12 1 Tabela 3.4: N´umero de Pe¸cas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apura¸c˜ao)
A vari´avel de interesse ´e “N´umero de pe¸cas defeituosas”, enquanto que “N´umero de Lotes” ´e a frequˆencia observada para cada classe da vari´avel de interesse. Com as quantidades j´a definidas, construiremos a tabela completa para este exemplo. Note que a coluna “Ponto M´edio” n˜ao ´e necess´aria, pois se trata de dados discretos.