Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comandos básicos para a utilização do geogebra
Tipologia: Notas de estudo
Oferta por tempo limitado
Compartilhado em 18/10/2009
5
(1)1 documento
1 / 73
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Em oferta
Última alteração na versão original: Outubro 11, 2007
Autores Markus Hohenwarter, [email protected] Judith Preiner, [email protected]
Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, [email protected] Última alteração: Outubro 14, 2007
GeoGebra Online Website: www.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University.
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente.
Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos.
Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.
De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas:
Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de entrada e pressionando Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1) B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = PontoMédio[B, C] M_b = PontoMédio[A, C] s_a = Recta[A, M_a] s_b = Recta[B, M_b] S = Intersecção[s_a, s_b]
Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas. Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3 , seguido de Enter , e compare os resultados usando o comando Relação[S, S1].
Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de
A , B , e C. Pode fazer isto seleccionando o modo Mover com o rato e arrastando os pontos.
Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada e pressione a tecla Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Segmento[A, B] T = A + 7/10 (B - A) Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser: A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Segmento[A, B] v = Vector[A, B] T = A + 7/10 v
Em seguida podemos introduzir um número t , usando, por
exemplo, o modo Selector e então redefinir T da maneira
seguinte: T = A + t v (veja Redefinir). Variando t , pode ver o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v.
Duas equações lineares em x e y podem ser representadas graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersecção[g, h]
Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato
(MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar Redefinir. Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas
O GeoGebra permite investigar raizes, extremos locais e pontos de inflexão de funções polinomiais. Insira no campo de entrada as seguintes linhas e pressione Enter no fim de cada linha: f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1 R = Raiz[f] E = Extremo[f] I = PontoDeInflexão[f]
No modo Mover pode mover o gráfico da função polinomial f com o rato. A primeira e segunda derivadas de f também podem ser obtidas: insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: Derivada[f] Derivada[f, 2]
Para introduzir o conceito de integral, o GeoGebra oferece a possibilidade de visualizar as somas inferior e superior de uma função como rectângulos. Insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = SomaInferior[f, a, b, n] U = SomaSuperior[f, a, b, n]
Modificando a , b , ou n (veja Animação; veja o modo Selector ) pode ver o impacto destes três parâmetros nas somas inferior e superior. Para mudar o incremento de n para 1 clique com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) em n e seleccione Propriedades.
O integral definido pode ser mostrado usando o comando Integral[f, a, b], ao passo que uma primitiva F é criada usando F = Integral[f].
Neste capítulo vamos explicar como usar o rato para criar e modificar objectos no GeoGebra.
A janela geométrica mostra a representação gráfica de pontos, vectores, segmentos, polígonos, funções, rectas e cónicas. Sempre que o rato é movido sobre um de tais objectos aparece a respectiva descrição. Nota: às vezes, a janela geométrica é chamada zona gráfica.
Existem várias maneiras de dizer ao GeoGebra como deve reagir a cada clique do rato na janela geométrica (veja Modos). Por exemplo, clicando na zona gráfica pode criar um novo ponto (veja o
modo Novo Ponto), intersectar objectos (veja também o modo Intersecção de dois objectos), ou criar uma circunferência (veja o modo Circunferência dados o centro e um ponto).
Nota: fazendo duplo clique sobre um objecto na janela de álgebra, abre-se um campo de edição onde pode redefinir tal objecto.
Ao accionar a tecla direita do rato sobre um objecto, surge um menu de contexto onde se pode seleccionar a notação algébrica (coordenadas polares ou cartesianas, equações implícitas ou explícitas, etc.). Aqui também se pode aceder a comandos tais
como Renomear , Redefinir ou Apagar.
No menu de contexto, se escolher Propriedades surge uma caixa de diálogo na qual pode mudar, por exemplo, as seguintes propriedades: cor, tamanho, espessura da recta, estilo das rectas, e preenchimento.
Os objectos geométricos podem ser visíveis (exibir) ou não
(esconder). Use o modo Exibir / esconder objecto ou o Menu de
Nota: usando a coluna Ponto de quebra, no submenu Exibir do menu Protocolo , pode definir certos passos da construção como pontos de quebra, o que lhe permite agrupar objectos. Assim, quando navega na sua construção, os objectos de cada grupo são mostrados simultaneamente.
O GeoGebra oferece uma barra de navegação para navegar através dos passos de uma construção já realizada. No menu Exibir , seleccione Barra de navegação para passos da construção e verá a barra de navegação na base da zona gráfica.
Pode redefinir um objecto usando o seu Menu de Contexto. Isto é muito útil para posteriores alterações na sua construção. Também pode abrir a caixa de diálogo Redefinir , seleccionando primeiro o modo Mover e fazendo depois um duplo clique sobre um objecto dependente na janela de álgebra.
Exemplos:
Para colocar um ponto livre A numa recta h seleccine Redefinir para o ponto A e insira Ponto[h] no campo de entrada da caixa de diálogo que aparece. Para remover o ponto A da recta h clique sobre este e redefina-o, atribuindo-lhe coordenadas.
Um outro exemplo é a conversão de uma recta h , definida por dois pontos A e B, no segmento [A,B]. Para tal, seleccione Redefinir e insira Segmento[A, B] no campo de entrada da caixa de diálogo que aparece. De modo análogo, pode converter o segmento [AB] na recta AB.
Redefininir objectos é uma ferramenta muito versátil para alterar uma construção. Mas tenha cuidado, pois isso pode alterar também a ordem dos passos da construção, no Protocolo de Construção.
O diálogo de propriedades permite-lhe modificar propriedades dos objectos (cor, espessura, etc.). Pode abrir uma caixa de diálogo por
dois processos: clicar com o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) sobre o objecto e seleccionar Propriedades , ou seleccionar Propriedades no menu Editar.
No diálogo de propriedades, os objectos são organizados por tipos (pontos, rectas, circunferência, etc.), o que permite tratar um grande número de objectos simultaneamente. Na coluna Objectos pode seleccionar um grupo e atribuir-lhe a mesma propriedade. Se o grupo incluir apenas objectos do mesmo tipo, basta clicar sobre o nome desse tipo e depois atribuir a propriedade. Se o grupo incluir objectos de tipos diferentes, clique sobre o nome de um deles, pressione a tecla CTRL e depois vá clicando sobre o nome dos restantes para os seleccionar, atribuindo-lhes depois a propriedade. Após a atribuição da(s) propriedade(s), pode fechar a caixa de diálogo, pois elas ficam automaticamente gravadas.
Os seguintes modos podem ser seleccionados e activados nos menus da barra de ferramentas. Clique na pequena seta situada no canto inferior direito de um ícone para obter um menu com outros modos. Nota: em todos os modos de construção pode criar facilmente novos pontos clicando na zona gráfica.
Marcar um Objecto
Marcar um objecto significa clicar nele com o botão esquerdo do rato.
Renomeação Rápida de Objectos
Para renomear um objecto já existente ou acabado de criar, basta abrir o diálogo Renomear para esse objecto.
Nota: o número que segue o nome do modo codifica esse modo na interface JavaScript e serve para personalizar a barra de ferramentas.
Mover (cod 0)
Neste modo pode mover e situar objectos livres com o rato. Se
seleccionar um objecto clicando nele no modo Mover , pode:
Ampliar (cod 41)
Clique em qualquer lugar da zona gráfica para ampliar (veja Zoom)
Reduzir (cod 42)
Clique em qualquer lugar da zona gráfica para reduzir (veja Zoom)
Exibir / esconder objecto (cod 27)
Clique num objecto para o exibir ou esconder. Nota: clicando num objecto para o esconder, este é destacado; para que o objecto se esconda de facto, basta clicar sobre o ícone de outro modo, na barra de ferramenras.
Exibir/esconder rótulo (cod 28)
Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rótulo.
Copiar estilo visual (cod 35)
Este modo modo permite-lhe copiar as propriedades visuais (cor, tamanho, estilo das rectas, etc.) de um objecto para outros. Para o fazer, seleccione primeiro o objecto cujas propriedades quer copiar e depois clique em todos os objectos que devem adoptar essas propriedades.
Apagar objectos (cod 6)
Clique em qualquer objecto que queira apagar.
Novo ponto (cod 1)
Clicando na zona gráfica cria um novo ponto. Nota: as coordenadas do ponto são fixadas na janela de álgebra logo que o botão do rato é accionado na zona gráfica.
Clicando num segmento, numa recta, num polígono, numa cónica, num gráfico de uma função ou numa curva, cria um ponto nesse objecto (veja o comando Ponto). Clicando na intersecção de dois
objectos cria o respectivo ponto de intersecção (veja o comando Intersecção).
Intersecção de dois objectos (cod 5)
Os pontos de intersecção de dois objectos podem ser criados de duas maneiras:
Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se quer extender os pontos de intersecção (veja Diálogo de Propriedades). Isto pode ser usado para obter os pontos de intersecção situados na extensão de um objecto. Por exemplo, a extensão de um segmento ou de uma semirecta é uma recta.
Ponto médio ou centro (cod 19)
Clique
Vector definido por dois pontos (cod 7)
Marque o ponto origem e o ponto extremidade do vector.
Vector a partir de um ponto (cod 37)
Marcando um ponto A e um vector v , cria o ponto B = A + v e o vector que vai de A para B.
Segmento definido por dois pontos (cod 15)
Marcando dois pontos A e B fixa um segmento entre os dois. O comprimento do segmento fica visível na janela de álgebra.
Recta perpendicular (cod 4)
Marcando a recta g e o ponto A obtém a recta perpendicular a g no ponto.A direcção da nova recta é a de um vector perpendicular a g (veja o comando VectorPerpendicular).
Mediatriz (cod 8)
A recta mediatriz de um segmento de recta é determinada por um segmento s ou por dois pontos A e B. A direcção da mediatriz é a de um vector perpendicular a s ou a AB.
Bissectriz (cod 9)
A bissectriz de um ângulo pode ser definida de duas maneiras:
Tangentes (cod 13)
As tangentes a uma cónica podem ser obtidas de duas maneiras:
Marcando um ponto A e o gráfico de uma função f produz a recta tangente ao gráfico no ponto de abcissa x(A) e ordenada f(x(A)).
Recta polar (cod 44)
Este modo cria a recta polar ou o diâmetro de uma cónica. Pode:
Circunferência dados o centro e um ponto (cod 10)
Marcando um ponto M e um ponto P define a circunferência de centro M contendo P. O raio da circunferência é a distância MP.
Circunferência dados o centro e o raio (cod 34)
Depois de marcar o centro M deve inserir o raio no campo de texto da janela que aparece.
Circunferência definida por três pontos (cod 11)
Marcando três pontos não colineares A , B , e C define a circunferência que contém esses pontos. Se os três pontos forem colineares, a circunferência degenera numa recta.
Cónica definida por cinco pontos (cod 12)
Marcando cinco pontos produz uma cónica que os contém. Nota: se 4 ou mais pontos forem colineares, a cónica não está definida; se forem apenas 3 colineares, degenera numa recta.
Nota: o valor algébrico de um arco é o seu comprimento; o valor algébrico de um sector é a sua área.
Semicircunferência dados dois pontos (cod 24)
Marcando dois pontos A e B obtém uma semicircunferência sobre o diâmetro [ AB ].
Arco circular dados o centro e dois pontos (cod 20)
Marcando três pontos M , A , e B obtém o arco de centro M , iniciado em A e terminado em K, sendo K um ponto (invisível) da semirecta MB. Nota: o ponto B não tem que pertencer ao arco.
Arco circuncircular dados três pontos (cod 22)
Marcando três pontos produz um arco circular que os contém.
