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GeoGebra é um software de matemática que reúne geometria, álgebra e cálculo. O seu autor é o professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo na Áustria. Por um lado, GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite realizar construções tanto com pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas como com funções que a posteriori podem modificar-se dinamicamente. Por outra parte, pode-se inserir equações e coordenadas directamente. Assim, GeoGebra tem a potência de trabalhar com
Tipologia: Notas de estudo
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24 de Junho de 2006
Capítulo 1
O que é o GeoGebra****?
GeoGebra é um software de matemática que reúne geometria, álgebra e cálculo. O seu autor é o professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo na Áustria.
Por um lado, GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite realizar construções tanto com pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas como com funções que a posteriori podem modificar-se dinamicamente.
Por outra parte, pode-se inserir equações e coordenadas directamente. Assim, GeoGebra tem a potência de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos; permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raízes ou extremos.
Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra : uma expressão na janela algébrica corresponde-se com um objecto na janela de desenho ou janela de gráficos e vice- versa.
Capítulo 2
Exemplos Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos ver alguns exemplos.
2.1. Triângulo e ângulos
Para começar, há que seleccionar a opção Novo ponto (ver 3.2) na barra de ferramentas e dar um clique três vezes na área gráfica ou de desenho para criar os três vértices A, B e C do triângulo.
De seguida passa-se a escolher a opção Polígono e dar um clique sobre os pontos A, B, C e, novamente, sobre A para criar o triângulo P na janela algébrica, pode ver-se a área do triângulo.
Para passar aos ângulos do nosso triângulo, temos que escolher a opção Ângulo na barra de ferramentas e dar um clique sobre o triângulo.
Agora, passa-se a escolher a opção Mover e arrastam-se os vértices para alterar dinami-
camente o triângulo. Se não precisar da janela de Álgebra e/ou do Sistema de eixos coordenados, podem-se esconder através do menu Exibir.
2.3. Centróide de três pontos A, B, C
Vamos agora, construir o centróide de três pontos ou baricentro/centro de gravidade do triângulo definido pelos três pontos - ponto de intersecção das suas medianas (segmentos de recta que unem um vértice com o ponto médio do lado oposto). De três pontos introduzindo as seguintes linhas como entradas no campo de texto/linha de comandos (accionando Enter ao finalizar cada linha). Pode, também utilizar o rato para realizar esta construção utilizando as correspondentes opções (ver 3.2) na barra de ferramentas.
( ) ( ) ( )
A alternativa será calcular o centróide directamente como:
( ) 1
e comparar ambos resultados utilizando o comando :
Podemos agora, explorar se é correcto para outras posições de A, B, C. Fazemo-lo seleccionando com o rato , a opção Mover (parte esquerdo da barra de ferramentas) e
arrastando um dos pontos.
2.4. Dividir [AB] de acordo com a relação 7 : 10
Como o GeoGebra permite operar com vectores, resolução é simples.
De outra maneira:
Na etapa seguinte poderemos introduzir um número (por exemplo, usando um slider ou
selector (3.2.10)) e redefinir o ponto como
ver-se que o ponto
Outro modo de fazê-lo:
É possível também definir geometricamente a tangente ao gráfico de uma função da seguinte maneira:
De seguida, seleccionamos a opção Mover e arrastamos o ponto ao longo do gráfico da função com o rato. A recta tangente , também se modifica dinamicamente.
2.7. Exploração de funções polinomiais
Com o GeoGebra podemos explorar raízes, extremos e pontos de inflexão de funções polinomiais.
Capítulo 3
Janela de desenho ou janela geométrica
Vamos agora explicar como utilizar o rato com GeoGebra.
3.1. Notas gerais
A janela de gráficos (a da direita) mostra os pontos, vectores, segmentos, polígonos, funções, rectas e cónicas graficamente. Quando o rato se desloca sobre um objecto aparece a sua descrição. A janela de janela de gráficos denomina-se zona gráfica em determinado tipo de situações. Há vários modos de “dizer” ao GeoGebra como reagir a cada entrada do rato (Novo ponto, intersecção, circunferência definida por três pontos,...). Estas questões explicar-se-ão detalhadamente mais à frente (3.2). Ao dar um clique sobre um objecto na janela algébrica abre-se um menu que permite alterar determinadas propriedades do objecto. Se dermos um duplo clique sobre um objecto na janela de desenho ou gráfica surge um menu que permite também alterar as propriedades desse objecto (por exemplo a cor, a espessura, do gráfico de uma função ). Ao dar um clique duplo sobre um objecto na janela de álgebra surge uma janela para redefinir o comando.
3.1.1. Menu de contexto
Ao accionar a tecla direita do rato sobre um objecto, surge u menu de contexto donde se pode seleccionar la notação algébrica (coordenadas polares ou cartesianas, equações implícitas ou explícitas,...). A também se pode aceder aos comandos como Editar, Redefinir, ….
m
qui
Ao seleccionar Propriedades surge uma caixa de diálogo, onde se podem modificar a cor, medida, grossura do traço, o estilo, sombreado , etc.
3.1.7. Refazer (Ctrl+Y)
Um objecto pode ser redefinido utilizando o seu menu de contexto (3.1.1). Este é muito útil para introduzir alterações na sua construção. Também pode abrir-se a caixa de diálogo com que se redefin e, dando um, clique duplo sobre um objecto dependente.
Ponto[h]
Para eliminar o ponto desta recta e "libertá-lo" novamente, redefine-se o ponto de
coordenadas livres como (^ 3,2^ ).
que tem-nos como extremos: Com o botão do lado direito dá-se um clique para abrir o menu de contexto, escolhe-se a opção Redefinir e introduz-se: Segmento[A,B].
A ferramenta que permite a redefinição de objectos é muito versátil para uma modificação retrospectiva do que foi construído. Convém recordar que de este modo também é possível mudar a ordem das etapas de construção dentro do protocolo de construção. (3.1.6).
3.2. Opções
As seguintes opções podem activar-se na barra de menus. É necessário dar um clique sobre a seta à direita do ícone para passar às outras opções desse menu. Marca-se um objecto quando se dá um clique sobre este com o rato. Em qualquer opção de construção podem-se criar facilmente novos pontos, simplesmente dando um clique sobre a área de desenho ou gráfica.
Mover
Para arrastar e soltar objectos livres com o rato. Selecção de um objecto dando um duplo clique na opção de Mover para poder Eliminar accionando a tecla Del Deslocá-lo através das teclas de movimento de curso r(ver 4.1.2) Para seleccionar vários objectos, deve-se manter accionada a tecla Ctrl.
Rotação à volta de um ponto
Selecciona-se em primeiro lugar o ponto que será o centro de rotação. A seguir podem-se rodar objectos livres em volta deste ponto, simplesmente arrastando-os com o rato.
Relação entre dois objectos
Para marcar um par de objectos e obter informação sobre as suas relações (4.3.1).
Deslocar a Zona de desenho ou de gráficos
Para arrastar e soltar a área gráfica e deslocar a origem do referencial também se pode deslocar a área gráfica accionando a tecla Ctrl e arrastando-a com o rato.
3.2.2. Ponto
Novo ponto
Ao dar um clique sobre a zona gráfica ou de desenho cria-se um novo ponto. As suas coordenadas ficam estabelecidas ao largar o botão do rato novamente. Ao dar um clique sobre um segmento, recta ou cónica cria-se um ponto sobre o objecto em causa. Ao dar um clique sobre a intersecção de dois objectos cria-se o ponto de intersecção.
Intersecção de dois objectos
Os pontos de intersecção de dois objectos podem determinar-se de duas maneiras: a) Marcar dois objectos: determinam-se todo os pontos de intersecção (se for possível) b) Ao dar um clique sobre a intersecção de dois objectos: só se cria este único ponto de intersecção. Para segmentos, semi-rectas ou arcos pode especificar-se se deseja permitir a intersecção de pontos periféricos (propriedades, 3.1.1). Este pode utilizar-se para conseguir la intersecção de pontos que fazem parte do prolongamento de um objecto. Por exemplo, o prolongamento de um segmento ou uma semi-recta é uma recta.
Ponto Médio
Dar um clique sobre:
3.2.3. Vector
Vector entre dois pontos
Marca o ponto que defina a origem e o ponto que define a extremidade do vector.
Vector definido a partir de um ponto
e o vector de A até B.
3.2.4. Segmento de recta
Segmento de recta entre dois pontos
Ao marcar dois pontos A e B estabelece-se um segmento de recta entre A e B. Na janela algébrica poderá ver-se o comprimento do segmento de recta.
Segmento de recta com um dado comprimento a partir de um ponto
Ao dar um clique sobre um ponto A que é um dos extremos do segmento e especificar o comprimento desejado surge a janela que permite inserir o respectivo comprimento do segmento de recta. Deste modo se criará um segmento de recta con um comprimento fixo entre o ponto A e o ponto B que será o seu outro extremo. O extremo B pode rodar-se ma opção Girar em torno de um ponto do extremo inicial A.
3.2.5. Semi-recta
Semi-recta dados dois pontos
Ao marcar dois pontos A e B cria-se una semi-recta que parte de A (origem) e passa por B. Na janela algébrica pode-se ver a equação correspondente da recta suporte.
