Baixe Apostila Matrizes e Determinantes e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Apostila: Matrizes e Determinantes
Prof. André Luís Rossi de Oliveira
1 Matrizes
1.1 Conceitos Básicos
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Exemplos :
(1) Considere a tabela abaixo:
Altura (metros) Peso (quilos) Idade (anos) Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz
(2) Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas matrizes abaixo:
[ ]
2 3
x x sen x^ e x^ x
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por
11 12 1 21 22 2
1 2
n n m n ij (^) m n m m mn
a a a a a a A a a a a
× (^) ×
= ⎢^ ⎥^ = ⎡⎣ ⎤⎦
onde (^) aij é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j , a coluna.
Definição : Duas matrizes Am n (^) × = ⎡⎣ a (^) ij ⎤⎦ m n (^) × e Br (^) × s = ⎡⎣ b ij ⎤⎦ r (^) × s são iguais, ou seja, A = B , se elas
têm o mesmo número de linhas ( m^ =^ r ) e colunas ( n^ =^ s ) e todos os seus elementos
correspondentes são iguais ( aij = bij ).
Exemplo : 2
0
2 ln1 (^90 4 0 ) 3 0 9 3 0 cos 90 1 3 0 1 3
⎡ (^) sen^ o ⎤ 3
⎢ ⎥ ⎡^ ⎤
⎢ ⎥ =⎢^ ⎥
⎢ ⎥ ⎢^ ⎥
⎢⎣ −^ ⎥⎦ ⎢⎣^ − ⎥⎦
1.2 Tipos Especiais de Matrizes
Seja uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes
são os seguintes:
A m n (^) ×
(a) Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( m = n ).
[ ]1 1
3 3
× ×
(g) Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, aij = 0 ∀ > i j.
⎡ −^ − ⎤
(h) Triangular Inferior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são iguais a zero, isto é, aij = 0 ∀ < i j.
(i) Simétrica: É uma matriz quadrada onde aij = a (^) ji ∀ i , j.
1.3 Operações com Matrizes
Adição: A^ +^ B^ =^ ⎡⎣ a^ ij^ + bij^ ⎤⎦ m n (^) × , onde Am n (^) × = ⎡⎣^ aij ⎤⎦^ e Bm n (^) × = ⎡⎣ bij ⎤⎦.
Exemplo :
⎡ −^ ⎤ ⎡ −^ ⎤ ⎡ −
Propriedades da adição: Dadas as matrizes A , B e C de mesma ordem mxn , temos:
(i) A + B = B + A (comutatividade)
(ii) A + ( B + C ) = ( A + B )+ C (associatividade)
(iii) A + 0 = A , onde 0 é a matriz nula mxn.
Demonstração : Exercício!
Multiplicação por escalar: k A. =^ ⎡⎣ ka^ ij ⎤⎦ m n (^) × , onde A = ⎡⎣^ aij ⎤⎦ (^) m n × e k é um número real.
Exemplo :
⎡ −^ ⎤ ⎡ −
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais ,
temos:
k k , 1 (^) e k 2
(i) k ( A + B )= kA + kB
(ii) ( k 1 + k 2 ) A = k A 1 + k A 2
(iii) 0. A = 0
(iv) k 1 ( k A 2 ) =( k k 1 2 ) A
Demonstração : Exercício!
Transposição: Dada uma matriz A = ⎡⎣^ aij ⎤⎦ (^) m n × , a matriz transposta de A é definida como
AT = ⎡⎣ b (^) ij ⎤⎦ n m (^) × , cujas linhas são as colunas de A , isto é, bij = a (^) ji ∀ i , j.
Exemplos:
1 1 2 3 2 1 2 3 1
x x x x A x x Ax x x x x
⎡ ⎤ ⎡ − ⎤ ⎡^ −^ +^ + ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =^ ⎢^ ⎥=⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −^ +^ + ⎦ ⎣
⎡ ⎤ ⎡^ + ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎤^ = ⎢^ + ⎥=⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥^ ⎢^ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦^ ⎢^ + ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +^ +
= ⎢^ − ⎥^ = ⎢^ ⎥ = − +
⎢⎣ (^) − − ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ − x 2 (^) 3 x 3
Propriedades:
(i) Em geral, AB ≠ BA.
Exemplo : Se , então
A B
= ⎢^ − − ⎥^ =⎢
0 0 0 e 22 12 2 0 0 0 11 6 1
AB BA
= ⎢^ ⎥^ = ⎢−
⎣ ⎦ ⎣ −^ −⎥⎦
É importante perceber que AB = 0 sem que A = 0 ou B = 0. Desde que estejam bem definidas as operações, as seguintes propriedades são válidas:
(ii) AI = IA = A
(iii) A ( B + C )= AB + AC
(iv) ( A + B C ) = AC + BC
(v) ( AB C ) = A BC ( )
(vi) ( AB ) T^ = B AT^ T
(vii) 0. A = 0 e A .0 = 0
1.4 Matriz Inversa
Definição : Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A , denotada por , é aquela
que satisfaz a condição.
A −^1
AA −^1 = A −^1 A = I
Obs.: (i) Nem toda matriz quadrada possui inversa. Se uma matriz quadrada possui
inversa, ela é chamada de não-singular. Se ela não possui inversa, é chamada de singular.
(ii) Se existe a matriz inversa, então ela é única.
Exemplos : Se e
A = ⎡⎢^ ⎤⎥
B
⎥ , então
AB I
Podemos verificar facilmente que BA = I , de forma que B = A −^1 e A = B −^1.
Propriedades:
(i) ( )
1 1 A A − − =
(ii) ( AB ) −^1 = B −^1 A −^1
Demonstração : Seja C a inversa de AB. Então CAB = I , de forma que
CABB −^1 A −^1 = IB −^1 A −^1 = B −^1 A −^1.
Mas também é verdade que
CABB −^1 A −^1 = CAIA −^1 = CAA −^1 = CI = C ,
o que implica C = B −^1 A −^1.
Exemplo : Considere o sistema
1 2 3 1 2 3 1 2 3
x x x x x x x x x
⎧^ +^ −^ =
. A sua forma matricial é
1 2 3
x x x
Operações Elementares
(i) Permuta da i -ésima e j -ésima linhas ( Li ↔ Lj )
Exemplo : L 1^ ↔ L 2
2 0 4 2 4 2 2 0 5 1 5 1
(ii) Multiplicação da i -ésima linha por um escalar (número real) não nulo k ( Li → kLi )
Exemplo : L 3 (^) → − 2 L 3
2 0 2 0 4 2 4 2 5 1 10 2
j
(iii) Substituição da i -ésima linha pela i -ésima linha mais k vezes a j -ésima linha ( Li → Li + kL )
Exemplo : L 2 (^) → L 2 + 3 L 1
Se A e B são matrizes mxn , dizemos que B é linha-equivalente a A se B pode ser
obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. A
notação para isso é A → B ou A ∼ B.
Exemplo : , pois
2 2 1 3 3 1
2 2 3 3 2
4 3
4
L L L L L L
L L L L L
→ − → +
→− → −
⎯⎯⎯⎯→ ⎢^ ⎥^ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢^ ⎥
Teorema : Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes, ou
seja, toda solução de um dos sistemas também é solução do outro.
Demonstração : Não será apresentada.
Forma Escada
Definição : Uma matriz mxn é linha-reduzida à forma escada se:
(a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1; (b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero; (c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linha não nulas; (d) Se as linhas 1, são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna , então
… , r k i k 1 (^) < k 2 (^) < " < kr.
Exemplo s:
Podemos interpretar a matriz A como sendo a matriz ampliada do seguinte sistema
linear:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
x x x x x x x x x
⎧^ +^ +^ =
Pelo que foi demonstrado acima, esse sistema é equivalente ao seguinte sistema:
1
2
3
x
x
x
Soluções de Sistemas de Equações Lineares
Considere o sistema formado de apenas uma equação e uma incógnita. Nesse
caso, há três possibilidades:
ax = b
(i) a ≠ 0 : Existe uma única solução x b a
(ii): a = 0 e b = 0 : Neste caso, o sistema torna-se 0 x = 0 e qualquer número real é uma
solução.
(iii) a = 0 e b ≠ 0 : Neste caso, o sistema torna-se 0 x = b e não possui solução.
Analogamente, no caso de um sistema de m equações lineares e n incógnitas, há três
casos possíveis: uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. No primeiro
caso, o sistema é dito possível (ou compatível) e determinado, no segundo, possível e
indeterminado, e, no terceiro, impossível (ou incompatível).
O seguinte teorema traz alguns resultados sobre a existência de soluções.
Teorema :
(i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da
matriz ampliada é igual ao posto da matriz de coeficientes;
(ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n , a solução é única.
(iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p<n , podem ser escolhidas n-p incógnitas, e
as demais p incógnitas serão dadas em função destas.
Exemplos :
(1) O sistema com matriz ampliada
tem solução única, dada por
x 1 (^) = 5, x 2 (^) = −1, x 3 = − 2 , já que o posto da matriz de coeficientes ( pc ) é igual ao da matriz
ampliada ( pa ), pc = pa = 3 , e o número de incógnitas é igual ao posto.
(2) Para o sistema com matriz ampliada
, temos
pc = pa = 2, m = 2, n = 3, p = 2 , de maneira que há infinitas soluções, dadas por 1 3 2 3
x x x x
(3) O sistema com matriz ampliada
é impossível, pois pc = 2, pa =3.
(4) Considere o sistema. A matriz ampliada do sistema pode ser
transformada na forma escada através das seguintes operações.
1 2 3 4 1 2 3 4
x x x x x x x x
⎧^ +^ +^ +^ =
1 3 1 2 0 L^ → L^^ −^ L^ 0 1 2 1 0 L^ → L^^ − L 0 1 2 1 0
⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯→^ ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯→⎢
⎣ −^ ⎦ ⎣ − ⎦ ⎣
que também estão relacionados à matriz de coeficientes do sistema, dada por
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a a a a a a a
Os denominadores mencionados acima são chamados de determinantes das matrizes
de coeficientes.
Para podermos definir determinante, precisamos da noção de inversão, dada a seguir:
Definição : Dada uma permutação dos inteiros 1, , existe uma inversão quando um
inteiro precede outro menor do que ele.
2, …, n
Podemos agora definir o conceito de determinante.
Definição : O determinante de uma matriz quadrada A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ é definido como
det A ( 1 ) Ja 1 j 1 a 2 j 2 njn ,
ρ
= (^) ∑ − … a
onde J = J ( j 1 , j 2 , … , jn ) é o número de inversões da permutação( j 1 , j 2 , …, jn )e ρ indica
que a soma ocorre sobre todas as permutações de ( 1, 2, …, n )(existem n !permutações).
Podemos fazer as seguintes observações com relação a essa definição.
Obs. : (i) Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha e um,
e apenas um, elemento de cada coluna da matriz;
(ii) O determinante também pode ser definido através da fórmula
det ( 1 ) 1 1 22 n ,
J A = (^) ∑ ρ − a (^) j aj … aj n
Exemplos :
(1) det (^) [ a (^) ]= a
(2) (^11 1211 22 12 ) 21 22
det a a a a a a a a
11 12 13 21 22 23 11 22 33 11 23 32 12 21 33 31 32 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31
det
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Propriedades:
(1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A são nulos, então det A = 0. Dem .: Segue-se imediatamente da observação (i). (2) det A = det AT. Dem. : Se A = ⎡⎣ a (^) ij ⎤⎦ , sabemos que AT = ⎡⎣ b (^) ij ⎤⎦ , onde bij = aji. Sendo assim,
1 2
1 2
1 2
1 2
det 1
1
det ,
n
n
J ij j j nj J j j j n
ij
b b b
a a a
a
ρ
ρ
∑^ b
∑
pela observação (ii).
Exemplo :^ a^ b^ ad bc , a^ c ad bc. c d b d
(3) Se a linha de uma matriz é multiplicada por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante. Dem. : Segue-se imediatamente da observação (i).
Exemplo :^ ka^ kb^ kad kbc k ad ( bc ) ka^ b.
c d c d
(4) A troca da posição de duas linhas (ou colunas) altera o sinal do determinante, mas não o seu valor numérico. Dem. : Quando duas linhas são trocadas, é alterada a paridade do número de inversões dos índices, o que significa que o sinal dos termos é trocado.
Exemplo : , ( ).
a b c d ad bc cb ad ad bc c d a b
onde podemos observar que o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha. Uma
fórmula análoga vale para o desenvolvimento a partir de uma determinada coluna.
Exemplos :
(1)
A
onde 12 ( 1 ) 1 2^2 1 2, 22 ( 1 ) 2 2 1 3 8 e 32 ( 1 )^3 21
∆ = − +^ − = − ∆ = − + = ∆ = −
−
( )
( )
( )
1 1 2
(^13 13 )
(^7 2 ) 2
(^3 7 2 )
C C C
LL LL LL
→ −
→→ ++
2.3 Cálculo da matriz inversa
Definição : A matriz de cofatores de uma matriz An n (^) × é definida como A = ⎡⎣ ∆ ij ⎤⎦.
Exemplo : Considere a matriz
A
= ⎢^ − ⎥
. Então
11 (^ )^ 1 1^12 (^ )1 2^13 (^ )1 3
∆ = − +^ = − ∆ = − +^ −^ = ∆ = − + − = −
e assim por diante, de maneira que
A
= ⎢^ − − ⎥
Definição : Dada uma matriz quadrada A , definimos a matriz adjunta de A como sendo a
transposta da matriz dos cofatores de A.
Exemplo : Para a matriz A do exemplo anterior, temos
19 5 4 19 10 8. 19 11 5
adj A
⎡ −^ − ⎤
= ⎢^ − ⎥
Teorema : AAT = A adj A ( ) = ( det A I ) n.
Dem. : (Para n = 3 )
Considere uma matriz A de dimensão 3x3. Então
11 12 13 11 21 31 21 22 23 12 22 32 31 32 33 13 23 33
ij ,
a a a A adj A a a a c a a a
⎡ ⎤ ⎡^ ∆ ∆^ ∆ ⎤
= ⎢^ ⎥ ⎢^ ∆ ∆ ∆ ⎥^ = ⎡^ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣^ ⎦
onde
11 11 11 12 12 13 13 12 11 21 12 22 13 23
det ,
c a a a c a a a
A
e assim por diante. Podemos verificar que corresponde ao desenvolvimento de Laplace
de
c 12
11 12 13 11 12 13 31 32 33
a a a a a a a a a
, que é igual a zero porque duas linhas são iguais.
Analogamente, cii = det A e cij = 0, i ≠ j , de forma que
det 0 0 0 det 0 det. 0 0 det
A
A adj A A A I A
= ⎢^ ⎥=
Dada uma matriz quadrada A de ordem n que possua inversa, temos que
