Baixe Apostila Métodos Numéricos e outras Resumos em PDF para Métodos Numéricos em Engenharia, somente na Docsity!
I
INTRODUÇÃO
Anteriormente, o Cálculo Numérico era ensinado usando-se calculadoras científicas como uma ferramenta auxiliar. Posteriormente, alguns professores utilizaram alguma linguagem de programação no lugar de usar as calculadoras. Estas duas opções geravam custos aos alunos e nem todos podiam adquirir a calculadora ou o software de programação para a resolução dos exercícios. Hoje em dia, pode-se dizer que a grande maioria dos alunos tem um computador em casa ou pode acessá-lo numa Lan House ou usá-lo na própria Universidade. Com essa facilidade de acesso, resolvi confeccionar essa apostila que versa sobre a utilização do Microsoft Excel (ou do Broffice Calc ) na resolução de exercícios de Cálculo Numérico com o intuito de auxiliar no manuseio desses softwares e também proporcionar um melhor entendimento das disciplinas que utilizam métodos numéricos. Esta apostila serve como um texto básico destinando-se principalmente aos alunos e Professores de vários cursos da Universidade Federal de São João del-Rei que têm o Cálculo Numérico na sua grade curricular. Procurou-se detalhar os passos para a utilização das várias opções de fórmulas e gráficos que o Excel dispõe, numa linguagem o mais popular possível. Um dos objetivos principais é incentivar os professores a usarem os vários recursos da Informática que melhoram consideravelmente o desenvolvimento do Ensino- Aprendizagem com economia de tempo, tornando as aulas mais atrativas e com melhor visualização dos problemas a serem resolvidos.
1. ERROS
Erros são cometidos em medições, quando usamos um aparelho de medir, não aferido (que nos dá o valor não exato ou achado), no lugar de um aferido (que nos dá o valor exato). Também encontramos erros quando usamos algum método iterativo. Nos dois casos acima podemos usar o erro absoluto e/ou o erro relativo.
1.1. Erro absoluto em medições (Eam) Quando se compara um valor exato ve com outro valor calculado (aproximado) vc , o erro absoluto Eam é o módulo, do valor exato menos o valor aproximado:
1.2. Erro absoluto em iterações (Eai) Nesses processos consideramos o valor de ai como o atual e o valor de ai- 1 como o anterior. O erro absoluto é o módulo, do valor atual menos o anterior, ou seja:
1.3. Erro relativo em medições (Erm) O erro relativo em medições é o módulo, do valor exato menos o valor aproximado sobre o valor exato:
1.4. Erro relativo em iterações (Eri) É o módulo, do valor atual menos o valor anterior sobre o valor atual, ou seja:
Observações:
- Alguns autores representam o erro absoluto pelo símbolo ∆ e o erro relativo pelo símbolo δ.
- No Excel (ou no Calc ) o valor atual é aquele que está na mesma linha do cursor e o valor anterior é o que está na linha anterior à posição do cursor.
- Ao efetuarmos uma medição podemos usar vários dispositivos como o metro ou a fita métrica ou a régua ou a trena ou o palmo, etc.
Eam = |ve – vc|
vc
ve vc vc E Eam rm
= =^ −
Eai = |ai – ai- 1 |
a
a a
i
i i i ri ai a
E = E =^ − −^1
No Excel (ou Calc ), conforme Tabela 1, teremos:
A B C D E F G H I 1 =ABS((A5-B5)/A5) =ABS((F5-G5)/F5) 2 3 4 V exato V aprox Ea (cm) Er V exato V aprox Ea (cm) Er 5 5000000 4999999,9 0,1 0,00000002 3 2,9 0,1 0, 6 7 =ABS(A5-B5) =ABS(F5-G5)
Rolo de fio Cano
Tabela 1
Exercício 1. 2 : Supondo que você está usando a seguinte função de iteração: 𝒙𝒊 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒊−𝟏)
Determine o erro absoluto e o erro relativo até a quarta iteração, supondo-se que o valor inicial x 0 é 0,5.
Resolução : 𝒙𝟎 = 𝟎, 𝟓 1ª iteração
𝒙𝟏 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟎) = 𝒔𝒆𝒏(𝟎, 𝟓) = 𝟎. 𝟔𝟗𝟐𝟒𝟎
𝑬𝒂 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟐𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟐𝟒𝟎
𝑬𝒓 = 𝟎,^ 𝟔𝟗𝟐𝟒𝟎 𝟎, 𝟔𝟗𝟐𝟒𝟎^ −^ 𝟎 ,^ 𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟕𝟖𝟕
2ª iteração
3 ª iteração
𝒙𝟑 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 = 𝒔𝒆𝒏 𝟎, 𝟕𝟗𝟖𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓 𝑬𝒂 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓 − 𝟎𝟕𝟗𝟖𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟓𝟔
𝑬𝒓 = 𝟎,^ 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓 𝟎, 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓^ −^ 𝟎,^ 𝟕𝟗𝟖𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟏𝟖
4 ª iteração
𝒙𝟒 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑) = 𝒔𝒆𝒏(𝟎, 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓) = 𝟎, 𝟖𝟔𝟓𝟒𝟒
𝑬𝒂 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟓𝟒𝟒 − 𝟎, 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟗
𝑬𝒓 = 𝟎,^ 𝟖𝟔𝟓𝟒𝟒 𝟎, 𝟖𝟔𝟓𝟒𝟒^ −^ 𝟎,^ 𝟖𝟒𝟔𝟓𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟖𝟐
No Excel (ou Calc), Tabela 2 , teremos:
=RAIZ(SEN(B2)) =ABS(B3-B2) =ABS((B3-B2)/B3) A B C D 1 i Xi Ea Er 2 0 0, 3 1 0,69240562 0,192406 0, 4 2 0,79899353 0,106587913 0, 5 3 0,8465545 0,047560965 0, 6 4 0,865449 0,018894507 0, Tabela 2
Observações:
- Os valores de i na coluna A representam as iterações.
- Repare que, no cálculo dos erros da 1ª iteração, o valor atual está na célula B3 e o valor anterior está na célula B.
- Na iteração 0 não podemos calcular nem o Ea nem o Er pois temos um valor atual ( 0,5 ) mas não temos o valor anterior.
x² – exp(x) = sen(x) + 2 x² - 2 = sen(x) + exp(x) E assim por diante, sendo que o (s) membro (s) de um lado da equação representa (m) f 1 (x) e o (s) membro(s) do outro lado representa (m) f 2 (x).
- Traçar as duas curvas y = f 1 (x) e y = f 2 (x) no mesmo gráfico.
- Onde as duas curvas se interceptar (em) será (ão) a (s) raiz (es) da equação. Observação : Se tiver mais de um ponto de intercessão, escolher um intervalo específico, de modo a determinar uma raiz de cada vez.
- O valor inicial x 0 será a média do intervalo inteiro onde as curvas se cruzam.
- Determinar as possíveis funções de iteração colocando f(x) na forma:
Observação : Na fórmula acima F(x) é a função de iteração. Uma equação pode originar várias funções de iteração. Por exemplo, se for dada a equação x² - ln(x) + 2x = 0 , as possíveis funções de iteração serão: x² = ln(x) – 2x Extraindo a raiz quadrada dos dois lados, teremos: x² = ln(x) – 2x Dividindo os dois membros por x , obtemos: 2x = ln(x)-x² Dividindo ambos os lados por 2 , teremos:
ln(x) = x² + 2x Aplicando a função inversa do ln nos dois lados, obtemos: x² - ln(x) + 2x = 0 Somando x a ambos os membros x² + x - ln(x) + 2x = x x = x² + x - ln(x) + 2x x = x² + 3 x - ln(x) Observação : Em todas equações usa-se essa última opção de somar x a ambos os lados.
- Determinadas todas as funções de iteração o próximo passo é verificar qual (is) dela (s) leva (m) à convergência, usando o seguinte critério:
x = F(x)
Se |F’(x 0 )| > 1 a função de iteração não leva à convergência.
Se |F’(x 0 )| ≤ 1 a função de iteração pode levar à convergência.
- Para determinar a raiz deve-se então fazer as iterações com a função de iteração que leva à convergência, o critério de parada é o seguinte: Enquanto x xx tolerância, i
i^ −^ i−^1 devem-se fazer mais iterações.
Se x xx tolerância, i
i^ −^ i−^1 então o valor xi dessa i-ésima iteração será a raiz procurada.
- A comprovação do resultado consiste em substituir o valor de xi encontrado, na equação dada para verificar a igualdade de acordo com a tolerância dada. Um parâmetro ideal dessa comprovação é que, na substituição do valor do x i encontrado na equação dada, o resultado deve ser 0 (zero) com, no mínimo, o mesmo número de casas decimais da tolerância que contém o zero. Exemplo : Se a tolerância dada for 0,000001 (5 casas decimais contendo zero) então ao substituir a raiz encontrada na equação o resultado deve dar zero com, no mínimo, 5 casas decimais (0,00000#). Exercício 2. Seja o problema de se determinar, pelo Método de Iteração Linear, uma raiz positiva da
equação abaixo, com a tolerância dada igual a 0,000 0 1.
x^2 – cos(x) – 2 = 0 Equação 1
Fazemos x^2 = cos(x) + 2 e traçamos as duas curvas: y = x^2 e y = cos(x) + 2 no mesmo gráfico. Onde se interceptarem as curvas são as raízes da equação. Como se pede uma raiz positiva, escolhemos os valores de x ≥ 0, mostrado na Tabela 3:
A B C 1 2 =A5^2 =COS(A5) + 2 3 4 x y = x² y = cos(x) + 2 5 0 0 3 6 1 1 2, 7 2 4 1, 8 3 9 1, 9 4 16 1, 10 5 25 2,
Dados das curvas
Tabela 3
Com os dados da Tabela 3 , plota-se o Gráfico 1 , com as duas curvas:
x = x² + x – cos(x) – 2
Agora testamos qual (is) função (ões) de iteração pode (m) levar à convergência do método, aplicando as condições: Se | F’(x 0 ) | > 1 então o método não converge. Se | F’(x 0 ) | 1 então o método pode convergir.
Verificando a convergência das funções de iteração encontradas:
a)
Como o resultado é > 1 não converge.
b).
Como o resultado é < 1 então pode convergir. a)
Como o resultado é > 1, então não converge b) Como o resultado é > 1 logo, não converge.
Vamos usar então as duas primeiras funções de iteração encontradas, (a) e (b) , para exemplificar os dois casos: o da convergência e o da não convergência.
Iterações com a função que não converge: (Mostrado na Tabela 4 )
A B C D E 1 =(COS(B6)+2)/B 2 =ABS((B7-B6)/B7) 3 =SE(C7<$E$6;"RAIZ";"Mais iter") 4 5 i xi E relativo Raiz Tol 6 0 1,5 0, 7 1 1,38049 0,08656956 Mais iter 8 2 1,58578 0,12945687 Mais iter 9 3 1,25176 0,26684375 Mais iter 10 4 1,84832 0,32276027 Mais iter 11 5 0,93383 0,97929082 Mais iter 12 6 2,77862 0,66392227 Mais iter 13 7 0,38334 6,2484323 Mais iter 14 8 7,63661 0,94980229 Mais iter 15 9 0,29014 25,3206869 Mais iter 16 10 10,1959 0,97154369 Mais iter 17 11 0,12582 80,0346463 Mais iter 18 12 23,7805 0,99470906 Mais iter Tabela 4 Observando a Tabela 4 , concluímos que a função de iteração usada não converge , pois o erro relativo não está tendendo para zero decrescentemente.
Observações: a) Se ficar difícil a visualização ou o traçado das setas, pode-se mudar o incremento dos valores de x. b) Para fazer o traçado das setas com mais eficiência, é bom que um dos valores de x seja o do x 0 (nesse exemplo, para x = 1,5 ), o que acarreta na mudança do incremento dos valores de x. c) Especificamente nesse exemplo, o valor de x não pode ser igual a zero , pois resultaria numa divisão por zero.
Traçado do gráfico da divergência, usando a função de iteração que diverge:
Os dados são mostrados na Tabela 6 :
A B C
1 =A
2 =(COS(A4) + 2)/A
3 x y = x y = (cos(x) + 2)/x
Tabela 6
Traçado das curvas y = x e y = cos( x^ x ) +^2 , mostrado no Gráfico 2 :
GRÁFICO DA DIVERGÊNCIA
0
1
2
3
4
5
6
7
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3, X
Y^ y = x y = (cos(x) + 2)/x
RAIZ
Gráfico 2
Analisando o Gráfico 2 , verificamos que as setas estão se afastando do ponto de interseção das duas curvas (esse ponto é a raiz), mostrando assim a não convergência dessa função de iteração. Traçado do gráfico usando a função de iteração que converge:
x i =^ cos(^ xi − 1 ) +^2.^ Dados mostrados na^ Tabela 7 :
A B C
1 =A
2 =RAIZ(COS(A4)+2)
3 x y = x y = raiz(cos(x) +2) 4 0,5 0,5 1, 5 1 1 1, 6 1,5 1,5 1, 7 2 2 1, 8 2,5 2,5 1, 9 3 3 1, 10 3,5 3,5 1, Tabela 7
Convergência alternada : as setas vão de encontro à raiz, alternando iterações à esquerda e à direita da raiz, ver Gráfico 5 :
Divergência direta : as setas se afastam da raiz ou só pela esquerda ou só pela direita da raiz, veja Gráfico 6 :
x
y
y = F(x) y = x
x 2 x 1 x 0
Gráfico 6
x 0 x 2 x^1 x
y
y = x y = F(x)
Gráfico 5
- Divergência alternada : as setas se afastam da raiz alternando entre à esquerda e à direita da raiz, conforme Gráfico 7 :
Exercício 2.2. Determinar a raiz negativa da equação sen(x) – x² - 20 = 0 , pelo M.I.L., com tolerância = 0,00002. A determinação de x 0 e as funções de iteração são mostradas na Tabela 8 :
Tabela 8
y
x
y =F(x) y = x
Gráfico 7
Os passos usados para cálculo da raiz são semelhantes ao do MIL; a diferença básica é que no MNR não se determinam várias funções de iteração nem é testada a convergência.
Dada a equação na forma f(x) = 0 , o primeiro passo é passar um ou mais termos para o segundo membro ficando na forma f 1 (x) = f 2 (x).
Traçar as duas curvas y = f 1 (x) e y = f 2 (x) no mesmo gráfico.
Onde as duas curvas se interceptar (em) será (ão) a (s) raiz (es) da equação. Observação : Se tiver mais de um ponto de intercessão, escolher um intervalo específico, de modo a determinar uma raiz de cada vez.
O valor inicial x 0 será a média do intervalo inteiro onde as curvas se cruzam.
No MNR usa-se somente uma função de iteração que converge e é dada também por:
Para determinar a raiz deve-se então fazer as iterações com essa função de iteração que leva à convergência.
O critério de parada é o seguinte: Enquanto x xx tolerância, i
i^ −^ i−^1 devem-se fazer mais iterações.
Se x xx tolerância, i
i^ −^ i−^1 então o valor xi da i-ésima iteração será a raiz procurada.
- A comprovação do resultado consiste em substituir o valor de xi encontrado, na equação dada para verificar a igualdade de acordo com a tolerância dada. Um parâmetro ideal dessa comprovação é que, na substituição do valor do x i encontrado na equação dada, o resultado deve ser 0 (zero) com, no mínimo, o mesmo número de casas decimais da tolerância.
Observação : Para efeito de comparação, será usada a mesma equação usada no exercício usado no MIL.
Exercício 2.
Determinar, pelo Método Newton-Raphson, a raiz positiva da equação abaixo, com a
tolerância dada igual a 0,000 0 1.
x^2 – cos(x) – 2 = 0 Equação 2
Observação : Usamos os mesmos passos usados no MIL para a determinação de x 0. Fazemos x^2 = cos(x) + 2 e traçamos as duas curvas: y = x^2 e y = cos(x) + 2 no mesmo gráfico. Onde se interceptarem as curvas são as raízes da equação. Como se pede uma raiz positiva, escolhemos os valores de x ≥ 0, conforme Tabela 8:
A B C D
2 =A5^2 =COS(A5) + 2
4 x y = x² y = cos(x) + 2 5 0 0 3 6 1 1 2, 7 2 4 1, 8 3 9 1, 9 4 16 1, 10 5 25 2,
Dados das curvas
Tabela 8
Com os dados da Tabela 8 , usando-se um gráfico de linha são traçadas as duas curvas, conforme o Gráfico 9 :
Gráfico 9
Observação : Em alguns casos fica difícil enxergar o intervalo onde está a raiz, deve-se então ir diminuindo o incremento dos valores de x até conseguir a visualização.
Raiz
