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Material excelente para quem está começando a utilizar o Maxima na resolução de problemas matemáticos
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Não perca as partes importantes!
Orientação e Revisão de Zélia da Rocha
Centro de Matemática da Universidade do Porto Dezembro 2009
Autora:
Bruna Santos é aluna de licenciatura em Matemática na Faculdade de Ciências da
Universidade do Porto e bolseira de integração na investigação do Centro de
Matemática da Universidade do Porto / Fundação para a Ciência e a Tecnologia.
Orientação e Revisão:
Zélia da Rocha é professora no Departamento de Matemática da Faculdade de
Ciências da Universidade do Porto desde de 1994, sendo responsável por disciplinas das
áreas de Cálculo Automático, Análise Numérica, Teoria de Aproximação e Polinómios
Ortogonais e Aplicações. Durante estes anos, tem orientado vários alunos de Prática
Pedagógica de Ensino Supervisionada, de Mestrado e de Doutoramento em Matemática
Aplicada, sendo autora de vários artigos científicos, nas áreas de Matemática, Calculo
Científico e Programação Simbólica.
Agradecimentos:
Este espaço é dedicado a todos aqueles que deram a sua contribuição para que
este livro fosse realizado.
Em primeiro lugar, agradeço à Professora Doutora Zélia da Rocha pela forma
como orientou o meu trabalho. Agradeço por ter acreditado, desde sempre, nas minhas
capacidades e neste tutorial. As notas dominantes da sua orientação foram
determinantes para o desenvolvimento deste manual assim como a cordialidade com
que sempre me recebeu. Estou grata pela liberdade de acção que me permitiu, pois foi
decisiva para que este trabalho contribuísse para o meu desenvolvimento pessoal e
académico.
Gostaria de agradecer ao Professor Doutor Sílvio Gama pelos valiosos
comentários sobre Estatística.
Um agradecimento especial ao Arlindo Trindade, por ter estado sempre na
retaguarda, apoiando e incentivando mais este passo no meu percurso.
Deixo também uma palavra de agradecimento à Maria Freitas pelo o incentivo
para escrever mais e melhor.
A todos os outros que me ajudaram a desenvolver este trabalho e cujo nome não
foi aqui mencionado deixo aqui o meu agradecimento sincero.
Por fim, informo que a última parte deste trabalho foi realizada durante a
vigência de uma Bolsa de Integração à Investigação, financiada pela Fundação para a
Ciência e a Tecnologia, através do Centro de Matemática da Universidade do Porto,
instituições às quais agradeço.
Porto, 21 de Dezembro de 2009
Bruna Santos
Ao meu pai
“Preciso acreditar que algo extraordinário é possível.”
Um pouco de história…
Um software livre é, segundo a definição criada pela Free Software Foundation,
qualquer programa de computador que pode ser instalado, explorado e distribuído sem
qualquer restrição. Um exemplo de um software livre é o MAXIMA.
O MAXIMA é derivado do sistema Macsyma , o lendário sistema de álgebra
computacional desenvolvido entre os anos de 1968 e 1982 no Instituto de Tecnologia
de Massachusetts ( MIT ) como parte do Projecto MAC. O MIT enviou uma cópia do
código fonte do Macsyma para o Departamento de Energia em 1982, sendo que essa
versão é agora conhecida como Macsyma DOE. Essa cópia foi mantida pelo Professor
William F. Schelter da Universidade do Texas entre 1982 e 2001, ano do seu
falecimento.
Em 1998, Schelter obteve permissão do Departamento de Energia para colocar
disponível o código fonte do Macsyma DOE sob a Licença Pública GNU e em 2000 ele
iniciou o projecto MAXIMA no SourceForge para manter e desenvolver o Macsyma
DOE, agora chamado MAXIMA.
Um sistema de computação algébrica, como o MAXIMA , permite manipular e
explorar expressões matemáticas de maneira simbólica e interactiva. O usuário
digitaliza na janela do programa algumas fórmulas, comandos e o sistema avalia-os
devolvendo uma resposta que pode ser manipulada posteriormente, caso seja necessário.
É-nos permitido também obter soluções numéricas aproximadas e visualizar
graficamente quer dados, quer funções matemáticas. O MAXIMA , como se trata de um
software do tipo “freeware”, com funcionalidades similares aos softwares
comercializados, não estimula o uso de cópias não autorizadas.
Os objectivos deste capítulo introdutório são:
Adquirir uma ideia geral do que é o MAXIMA e como instala-lo; Introduzir comandos e obter respostas na janela;
Formatar números e expressões;
Familiarizar-se com algumas constantes, operadores e comandos básicos;
Como guardar o trabalho no ambiente do WxMaxima.
O Máxima é um potente software livre, que permite:
I. Efectuar cálculos numéricos e simbólicos;
II. Traçar gráficos bidimensionais e tridimensionais;
III. Elaborar implementações computacionais eficientes e precisas;
Para descarregar o MAXIMA , para o sistema operativo Windows, utilize o link:
http://sourceforge.net/projects/MAXIMA/files/MAXIMA/5.10.0-Windows/MAXIMA- 5.10.0b.exe/download
Após descarregar o programa, prossiga a instalação atendendo às recomendações
apresentadas. Pode optar-se pelas interfaces:
I. WxMaxima;
II. xMAXIMA;
Embora, ambos produzam os mesmos resultados, a interface WxMaxima revela-
se mais interactiva com o utilizador do que a xMAXIMA, motivo pelo qual foi
escolhida para desenvolver este manual. O MAXIMA está disponível para outros
sistemas operativos, por exemplo, o Linux. Para mais informações sobre o Máxima para
outros sistemas operativos consulte a página:
http://MAXIMA.sourceforge.net/
Após a instalação do Máxima, aparece uma janela com a seguinte apresentação
(se optar pelo wxMáxima):
O número de Euler:
(%i4) float(%e); (%o4) 2.
Uma ferramenta importante no MAXIMA é a capacidade de atribuir e manipular
variáveis. Uma variável, em programação, é um identificador ao qual se pode atribuír
valores. No MAXIMA a instrução de atribuição concretiza-se empregando o símbolo :.
(%i1) a:7;
(%o1) 7
Se pretendemos visualizar o valor da variável a , utilizamos o comando print****.
(%i2) print(a);
(%o2) 7
Podemos manipular as variáveis efectuando, por exemplo, operações aritméticas:
(%i3) b:3;
(%o3) 3
(%i4) c:a+b;
(%o4) 10
(%i5) 2c;*
(%o5) 20
(%i6) bc;*
(%o6) 30
(%i6) bc $* Empregando $ o resultado da expressão não é impresso no ecrã
(%i7) c^b;
(%o7) 1000
(%i8)(%);
(%o8) 1000 Quando se utiliza o símbolo % acede-se ao último valor calculado e
armazenado na memória do MAXIMA.
1
1 Cada vez que um novo valor é calculado, o valor anterior é perdido.
Se, após a realização de operações na interface do wxMáxima, pretendemos voltar a
utilizar o trabalho, devemos seguir os seguintes passos:
2 Opção “Save As”
1.6.2 Operadores Relacionais:
O objectivo dos operadores relacionais é fornecer respostas do tipo verdadeiro e
falso a comparações. Assim, se a comparação for verdadeira vale true , se for falsa, vale
false.
O MAXIMA possui operadores relacionais que podem ser usados para comparar
números, variáveis, expressões, matrizes, etc.
Comando Descrição
> Maior
>= Maior ou igual
< Menor
<= Menor ou igual
= Igualdade
# Negação da igualdade Tabela 1-3:Operadores Relacionais
1.6.3 Funções Matemáticas Elementares:
Comando Descrição do Comando
abs (expressão) Calcula o valor absoluto da expressão. Se
a expressão for um número complexo,
retorna o módulo: |x+iy|=
2 2 x + y
factorial (x)
x!
Factorial de um número, x.
sqrt(x) Raiz quadrada de x.
x^(a/b) Raiz de índice b e expoente a
log(x) Calcula o logaritmo neperiano de x.
2
exp(x) Calcula a exponencial de x.
Tabela 1- 3 Funções Matemáticas Elementares
1.6.4 Funções Trigonométricas:
As funções trigonométricas, no MAXIMA, supõem que os ângulos estejam
representados em radianos.
(^2) O MAXIMA não possui uma função interna para o logaritmo de outra base, assim a definição
log( )
log( ) log : a
b a b =^ será útil.
Função Trigonométrica Descrição
sin(x) , sinh (x) Seno, Seno hiperbólico
cos(x) , cosh(x) Cosseno , Cosseno hiperbólico
tan(x) , tanh(x) Tangente, Tangente hipérbolica
acos(x) Arco-seno
asin(x) Arco-cosseno
atan(x) Arco-tangente Tabela 1- 4 : Funções Trigonométricas
1.7.1 Números Decimais
A obtenção de uma representação decimal de um número real é feita por duas formas:
I. float(expressão)
II. Após a expressão a calcular, acrescentar uma vírgula e a palavra numer.
Exemplo - 1: Calcule o valor de "! e e 7
na forma decimal.
Resolução:
(%i1) %pi-%e;
(%o1) %pi-%e
(%i2) float(%);
(%o2) 0. 42331082513075
(%i3) %pi/7, numer;
(%o3) 0. 44879895051283
Exemplo 1- 1
Em cálculo numérico, por vezes, os resultados e os cálculos efectuados
necessitam de ser expressos com um determinado número de casas decimais e/ou
algarismos significativos. Podemos estabelecer essa precisão mediante a fixação de um
valor à variável interna global fpprec (float point precision), que por defeito no Máxima
é 16) ou através do menu Numeric do WxMaxima; na opção “ Set Precision ”.
Exemplo - 2: Calcule o valor de e com 25 casas decimais:
