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Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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11 aa^ EDIÇÃOEDIÇÃO
Estas breves notas sobre o SIMULINK versão 2.0 baseadas nas obras ”The Student Edition of SIMULINK” e “Mastering SIMULINK” dos autores James B. Dabney e Thomas L. Harman resultam do trabalho dedicado de alunos da Faculdade de Engenharia da UERJ, tanto de forma direta como indireta. De forma direta envolveu-se no trabalho o aluno e bolsista de Iniciação Tecnológica do Projeto REENGE César Cunha de Souza. Um extenso grupo de pessoas se envolveu também ativamente dando suporte de hardware, software e ainda o valioso apoio pessoal nas tarefas diárias do laboratório. Neste grupo incluem-se não só alunos como os também bolsistas Hélio Justino Mattos Filho e Karla Karraz Valder, os estagiários Fábio da Silva Porto, Flávia Delduque Lima, Hellen Nathalia Trevisan, Marcos Paulo dos Santos, Valdeir Gomes de Araújo Filho, como também os funcionários do Laboratório de Engenharia Elétrica, cujos membros contribuíram valorosamente dando suporte e infra-estrutura para que este trabalho fosse bem sucedido. Um muito obrigado à equipe do LEE formada por Alberto Avelar Santiago, André Vallim Stachlewski, Antônio Marcos Medeiros Corrêa, José Emílio Gomes, Jair Medeiros Júnior, João Elias Souza da Costa, Luiz Roberto Franco Fagundes Filho, Marcos Augusto Mafra, Paulo Bulkool Batalheiro, Sueli Ferreira dos Santos e a Srta. Carla Aparecida Caldas de Almeida. Um reconhecimento especial deve ser feito ao diretor da Faculdade de Engenharia Dr. Nival Nunes de Almeida, coordenador geral do REENGE por ter possibilitado inúmeras atividades não só no LEE em particular mas em toda a Faculdade de Engenharia. À Prof.a^ Maria Eugênia Mosconi de Gouveia, vice-diretora da Faculdade de Engenharia, que em trabalho conjunto com o diretor vem se empenhando em viabilizar as solicitações de estágio interno no LEE. Um muito obrigado também à aqueles colaboradores silenciosos que de forma direta ou indireta contribuíram para o êxito deste trabalho. O nosso agradecimento ao CNPq que mediante os recursos alocados pela FINEP, patrocinou as bolsas que permitiram este trabalho.
Bernardo Severo da Silva Filho Orientador e Chefe do Lab. de Engenharia Elétrica
Índice
Índice
Cap.1 - Introdução Teórica
A representação dos sistemas físicos por meio de equações nem sempre deixa clara a relação entre as funções de entrada e de saída desses sistemas. É portanto conveniente e desejável sistematizar a descrição matemática de um sistema, de tal forma que aquela relação seja expressa claramente.
Uma forma de apresentação das equações diferenciais de um sistema consiste no emprego de Diagramas de Bloco , em que cada bloco representa uma operação matemática, associando pares entrada-saída.
Quando o sistema é linear, ou puder ser linearizado, é possível tomar as transformadas de Laplace das equações do sistema, considerando condições iniciais nulas.
A relação entre cada grandeza de saída e a correspondente grandeza de entrada se chama função de transferência.
Usando as transformadas de Laplace, essas funções são em geral, funções de s. Quando essas funções são colocadas em vários blocos, o diagrama é chamado Diagrama de Bloco.
Em geral, os diagramas de bloco são úteis na visualização das funções dos diversos componentes do sistema, bem como permitem estudos de “signal-flow”.
Os diagramas e bloco são mais fáceis de desenhar do que os circuitos que eles representam. Partindo-se de um diagrama de bloco, é possível, mediante a utilização de regras especiais, denominadas “Álgebra dos diagramas de Bloco” reduzir o diagrama a um único bloco e, assim, achar a função global de transferência do problema, sem necessidade de resolver o sistema inicial de equações diferenciais que, algumas vezes, exige muito tempo devido ao elevado número de equações envolvidas.
1.1.1 - Símbolos
Os símbolos utilizados na técnica de diagramas de bloco são muito simples, e se encontram representados a seguir:
Variável X(s)
Operador
Variável de entrada – X(s) Variável de saída – Y(s) Função de transferência – G(s) Relação representada – Y(s)=G(s) X(s)
Somador
Relação representada
F(s) = X(s) ± Y(s)
Tomada de Variável
Observar que a tomada de uma variável não altera seu valor. A variável X(s) chega ao nó e as variáveis transmitidas são iguais a X(s).
A solução de equações diferenciais com excitações descontínuas ou de ordem superior a dois é muito trabalhosa através do método clássico. Além disso, a introdução de condições para a determinação das constantes de integração requer a solução de um sistema de equações algébricas em número igual à ordem da equação diferencial. Com o objetivo de facilitar e sistematizar a solução de equações diferenciais ordinárias lineares, a coeficientes constantes, utiliza-se exaustivamente o método da transformada de Laplace. Podem ser enumeradas as seguintes vantagens deste método moderno, que utiliza as transformadas:
X(s)
G(s)
X(s) Y(s)
X(s)
Y(s)
F(s)
X(s) X(s)
X(s)
Os valores s 1 , s 2 ... sn, finitos que anulam o denominador, são chamados zeros do denominador. Estes valores de s, que podem ser reais ou complexos, também tornam |F(s)| infinito e, e decorrência são chamados pólos de F(s). Em conseqüência, os valores s 1 , s 2 ... sn são referidos como zeros do denominador ou pólos finitos da função completa, isto é, há n pólos de F(s).
A transformada F(s) pode ser expressa como uma soma de frações. Se os pólos são simples (não repetidos), o número de frações é igual a n (número de pólos de F(s)). Em tais casos a função F(s) pode ser expressa sob a forma
n
n
k
k
2
2
1
1
O problema agora é a determinação das constantes A 1 , A 2 , ..., An correspondentes aos pólos s 1 , s 2 ... sn. Os coeficientes A 1 , A 2 , ..., An são chamados resíduos de F(s) nos pólos correspondentes.
1.2.3 - Propriedades das Transformadas de Laplace
Função Transformada
Af(t) AF(s)
f 1 (t)+f 2 (t) F 1 (s)+F 2 (s)
2
(^2) F(s)-sf(0)-f(0)
n
n S
n F(s)- (^) ∑ =
n
k
n k
k
1
∫ f^ ( t^ ) dt [ ] 0
∫ =
t
∫
t
0
f(t-a)1(t-a),
1(t-a)=
t a
t a 0 ,
Cap.1 - Introdução Teórica
tf(t)
t^2 f(t)
2
t ∫
∞
s
aF(as)
f 1 (t)*f 2 (t)=
= −
− =
t
t
f tf t d
f t f d
0
1 2
0
1 2
() ( )
( ) ( )
λ λ
λ λ λ
F 1 (s).F 2 (s)
f(t).g(t)
Os problemas de engenharia que utilizam a transformada Z surgiram da análise de sistemas de controle a dados amostrados, durante a Segunda Guerra Mundial, quando tais sistemas adquiriram proeminência. Sistemas a dados amostrados operam com funções discretas no tempo (ou amostrados), pou uma ou duas razões. Pode ser que os dados sejam disponíveis somente em instantes discretos (como num radar de exploração). É possível, por outro lado, que o uso dos dados amostrados permita projetar um sistema desempenho dinâmico melhor que o possível com dados contínuos no tempo. Como a transformada de Laplace era a principal ferramenta para estudar sistemas de controle contínuos no tempo, sua extensão a sistemas de dados amostrados era inteiramente natural.
A introdução da transformada Z é motivada pelas mesmas considerações que fazem a transformada de Laplace útil: as equações de diferenças que governam o comportamento do sistema discreto são transformadas em equações algébricas, freqüentemente mais simples de resolver que as equações originais, e capazes de dar melhor visão daquele comportamento.
Cap.1 - Introdução Teórica
1.3.2 - Transformadas de Funções Comuns
Função f(n)
Transformada Z F(z)
Raio de Convergência
n
1 2
1
−
1.3.3 - Inversão da Transformada Z
Para determinar o sinal f(n) correspondente a uma dada F(z), isto é, para gerar f(n), é necessário desenvolver F(z) em série de potências de z-1. Como, em qualquer região de convergência, o desenvolvimento em série de potências é única. O método a empregar é uma questão de conveniência.
Obviamente, o método mais simples é procurar numa tabela adequada a função discreta no tempo no tempo correspondente à transformada que se quer inverter. É possível inverter a maioria das transformadas Z que aparecem em problemas de engenharia, por meio de uma pequena tabela e a técnica de decomposição em frações parciais.
Uma técnica mais elegante e geral é de usar a fórmula de inversão:
∫
−
C
n
1
singularidades de F(z)zn-1.
O cálculo real da equação anterior é muito eficientemente executado por meio do cálculo de resíduos. Especificamente, a equação pode ser escrita como:
f(n) = soma de resíduos do produto F(z) zn-1,
em seus pólos internos ao círculo de convergência de F(z).
Observe que, quando n = 0, F(z) zn-1^ pode ter um pólo na origem mesmo quando F(z) não tem o resíduo de F(z) z-1^ deve ser aí calculado.
Um terceiro método, que pode ser aplicado quando F(z) é racional, é exprimir numerador e denominador de F(z) em polinômios em z-1; então, usando a “divisão contínua” da álgebra, dividir o numerador pelo denominador, e assim obter uma série em potências z-1. Este método que não tem similar na transformada de Laplace é muito eficiente quando falta conhecimento dos pólos de F(z) e as tabelas de transformada Z ou a fórmula de inversão não podem ser usadas. Somente os valores de f(n), e não sua expressão geral, podem ser assim obtidos.
1.3.4 - Propriedades da transformada Z
Propriedade Função do tempo Transformada Z
Diferenças a. Avançadas
b. atrasadas
∑
−
=
− −
1
0
1
k
j
k j j
k
∑
−
=
− −−
−
1
0
1 1
1
k
j
k j j
k
Somas ∑ =−∞
n
k
∑
−
=−∞
−
−
1 1
1
k
j
k k
−
−
=
( )− (^) ∑ ( )
1
0
1
−
−
Convolução ∑ =
n
k
0
Produto de duas funções
∫
−
C
z →∞
1
z
− →
1
−
Para acessar o SIMULINK deve-se primeiro abrir o MATLAB, pois apesar de ser uma aplicação específica, este não trabalha independente e utiliza suas ferramentas de cálculo.
A partir do Windows 95/98, deve-se clicar duas vezes no ícone do MATLAB. Aberto o programa deve-se então clicar no ícone “Start Simulink” na barra de ferramentas do MATLAB ou digitar “simulink” na linha de comando e pressionar enter logo em seguida, como mostrado a seguir:
Exemplificando a utilização do SIMULINK, temos um modelo a criar. Este deve resolver a equação diferencial:
Sendo o SIMULINK uma extensão do MATLAB, este deve então ser carregado a partir do MATLAB. Inicie o SIMULINK clicando no seu ícone na barra de ferramentas do MATLAB, como mostrado na figura :
Duas janelas se abrirão na tela. A primeira janela é a biblioteca de blocos do SIMULINK mostrado na figura. A segunda é uma janela em branco para construção do modelo, nomeada untitled até que seja salvo com outro nome.
(1) Todos os comandos do MATLAB são em letras minúsculas. (2) O MATLAB é sensível ao tipo de fonte (maiúsculo ou minúsculo). Por exemplo: a variável x é diferente à variável X.
Cap.2 – Conhecendo o SIMULINK
Dê um click duplo no ícone Sources na janela de bibliotecas do SIMULINK.
Arraste o bloco de onda senoidal (Sine Wave) para a janela do modelo. Uma cópia deste bloco deve ser criada nesta janela.
Cap.2 – Conhecendo o SIMULINK
Dê um duplo click no bloco SCOPE e na barra de menu do SIMULINK clique SIMULATION:START. A simulação será executada, resultando no gráfico gerado no bloco SCOPE, mostrado a seguir:
Para verificar se o gráfico gerado representa a solução da equação diferencial desejada, deve-se resolver a mesma analiticamente, cujo resultado é:
que corresponde ao gráfico apresentado.
O modelo anterior serviu como exemplo de implementação no SIMULINK, mas está longe de representar um caso usual de utilização do software devido à pequena quantidade de blocos e ligações. Agora será usado um modelo de um processo biológico para ilustrar vários níveis adicionais de dificuldade na implementação.
Scheinerman descreveu um modelo simples do crescimento de bactérias isoladas do ambiente externo num pote. Admite-se que as bactérias nascem numa taxa proporcional ao número de bactérias presentes e que elas morrem a uma taxa proporcional ao quadrado do número de bactérias presentes. Se x representa o número de bactérias presentes, a taxa em que as bactérias nascem é definida por
E a taxa em que elas morrem
A taxa total de mudança na população de bactérias é a diferença entre a natalidade e a mortalidade de bactérias. O sistema pode ser então descrito pela equação diferencial a seguir:
Obs.: A integral é definida entre to e tF. Para to = 0, cos(t)=1.
Partindo disto será então construído o modelo do sistema dinâmico supondo que b=1 bactéria/hora e p=0,5 bactéria/hora. Será determinado o números de bactérias contidas no pote após 1 hora, admitindo que inicialmente existiam 100 bactérias presentes.
Crie uma nova janela de modelo na barra de menu escolhendo FILE:NEW.
Este é um sistema de 1a^ ordem, o que quer dizer que requer somente um integrador
o biblioteca linear e arraste o integrador para a janela do modelo, seguindo a posição mostrada na figura:
Ainda na biblioteca Linear arraste dois blocos de ganhos (Gain) para a janela do modelo e posicione-os como na figura. O SIMULINK exige que cada bloco tenha seu nome único. Devido a isto, o segundo bloco de ganho será nomeado GAIN1. Arraste ainda um bloco de soma (Sum) e a seguir feche a janela da biblioteca linear.
Abra agora a biblioteca de blocos não lineares (Nonlinear) e arraste um bloco de produto (product) para a posição mostrada. Este bloco será utilizado para calcular o
É boa técnica fechar todas as janelas que não estão sendo utilizadas. Isto favorece uma melhor utilização da memória disponível no microcomputador.
