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ÍNDICE CAPÍTULO 1: EXPRESSÕES NUMÉRICAS 1. Cátculos algébricos 2. Operadores aritméticos 3. Planilhas, células e fórmulas 4. Funções matemáticas Tarefa 1: Expressões Numéricas NS NS A aca CAPÍTULO 2: FÓRMULAS E APLICAÇÕES 9 1. Fórmulas e Aplicações 9 Tarefa 2: Fórmulas e Aplicações 1 CAPÍTULO 3: MATRIZES 23 1. Definição 2. Soma de matrizes 3. Multiplicação de um escalar por uma matriz 20 4. Multiplicação de matrizes 28 Tarefa 3: Matrizes Ja CAPÍTULO 4: FUNÇÕES Fed 1. Definição s” 2. Representações de uma função 3” 3. Assistente de gráfico 38 Tarefa 4: Funções 47 CAPÍTULO 5: FUNÇÃO DO 1º GRAU 53 1. Equação e gráfico 53 2. Retas que “passam pela origem” 5a 3. Retas paralelas 56 4. Exemplos 57 Tarefa 5: Função do 1º grau 67 CAPÍTULO 6: FUNÇÃO DO 2º GRAU 75 1. Equação e gráfico 75 2. Raízes da função do 2º grau 76 3. Vértice da parábola: tm 4. Cálculos das raízes e do vértice com “fórmulas eletrônicas” 78 5. Construção de gráficos de parábolas 81 6. Funções do tipo y=a.x2 84 Tarefa 6: Função do 2º grau 87 CAPÍTULO 7: FUNÇÕES SENO E COSSENO 1. Circunferência Trigonométrica 2. Gráfico da função y=cosx 3. Gráfico da função y=senx 4, Variações na amplitude 5. Variações no período 6. Tabela de exemplos Tarefa 7: Seno e cosseno CAPÍTULO 8: FUNÇÃO EXPONENCIAL 1. Função exponencial de base a 2. Função exponencial de base e Tarefa 8: Funções diversas 131 CAPÍTULO 1: EXPRESSÕES NUMÉRICAS 1. Cálculos aigébricos. Diariamente “fazemos contas”. calculamos o lroco quando pagamos a passagem de ônibus, estimamos nossos gastos mensais, tentamos poupar um pouco a cada mês... Podemos fazer “cálculos simples”, como 7.10=70, ou resolver expressões numéricas, como 21.([5.cos(n/6)+4'] [5/11-2/3]+2/5). Nas expressões, devemos respeitar as operações (somar, subtrair, elevar um número a determinado expoente etc) e os parênteses, colchetes e chaves. Dependendo das operações algébricas, precisamos de uma máquina de calcular ou até mesmo um computador para auxiliar nas “contas”. Podemos também utilizar os recursos de uma planilha eletrônica para executar cálculos algébricos, resolver equações, operar com matrizes, reconhecer relações numéricas e apresentar gráficos. 2. Operadores aritméticos. Os principais operadores algébricos são os citados no quadro abaixo. [ Operador Algébrico Símbolo CAÇÃO [471 | SUBTRAÇÃO Eai | DIVISÃO = EXPONENCIAÇÃO | A Comentário: o argumento pode ser um número ou uma referência a umaf Tarefa 1: Expressões Numéricas. célula (à qual esteja atribuído valor numérico). No caso das funçõesg Nome: — trigonométricas, o argumento é um ângulo em radianos. [Número: Turma: Para calcularmos o valor da expressão 54[7.cos(m/3)+27] [1/3-4/5]+12/7), 7 a » a 1.4 Ê ão 4+ ” auxilio do ç utilizando recursos do Excel, podemos inserir, na célula A31, a fórmula: nais Euizideveriam resolver-a expressão: Das Sor o =B5*((7"COS(PI()/3)+217)"(1/3-4/5)+12/7), conforme ilustrado na figura 1.3. planilha eletrônica. Na figura 1 abaixo estão mostradas as expressões digitadas pela Ana e pelo Luiz : A B 1 Expressão digitada pela Ana |=4+7/2+(3) (1/2) | 2 Expressão digitada pelo Luiz |=4+7/0+(3)"(1/2)) Expressão Numérica: J UTCOSPII MTP Idi 1277] Pad” Figura 1. Expressões digitadas para resolver dx Fig. 1.3: Exemplo de expressão numérica no Excel. Acionando a tecla “enter”, exibe-se o resultado da expressão, ou seja, 298,26. Ana e Luiz obtiveram os mesmos resultados? Em caso negativo, qual dos dois obteve a resposta correta? Justificar a sua resposta. Comentários: e Lembrar de introduzir as fórmulas em células com o sinal de igual; e Usar apenas parênteses (não usar chaves ou colchetes); e A função que “retorna o valor de x” no Excel é PI(). e O “significado” da função cosseno será discutido no capítulo 7. Na tabela a seguir, estão expostas algumas expressões numéricas e a: tórmulas a serem digitadas em células do Excel para a sua execução. Expressão Numérica . Fórmula no Excel | 2.sen(35-4º) =2*(SEN(315-413)) | 5e =5"EXP(3) EE E] a (2 in5] E =2"(3"(5*(1/6-10))-LN(5)) | 2. Completar a tabela a seguir com as fórmulas a serem inseridas em células E s) 2.6'-cos(3-1/4) - de uma planilha eletrônica. . - 1 t) 3.fef-cos(3-1/5)] Expressão Numérica Fórmula E U) Se SET] a) 6281/5 = Ty ate ina) b) 3-6 | E w) 4 2-in(45)] c) 5.376 = — x) in7-cos(1n5) d) 5(3-6) v 15 1(6in2-443 e) 5.(3-6%)+ 12/32 2) 1/5-(1/6) In2+3 1) 5(356) 12/02) 3. Elabore uma tabela que sumarize os operadores e as funções estudadas, com seus respectivos “símbolos”. | Operador/Função Símbolo “KW Bisen(8.7) | 1) 8+sen(3.1+ 7/2) mj(1+5/8) [52 (2-2/5)] n) (2+7/8)..[51-2º.(2-1/4)] 0) 27/8-[5º.(2-2/5)].cos(x/2) APLICAÇÃO 2. Dados os valores do raio (em cm) e da altura (em cm) de um cilindro, calcule a área lateral do mesmo (em cm?). A área lateral de um cilindro é calculada pela “multiplicação” entre o valor do raio, o valor da altura e o “fator” 2.x (ou seja, é o produto do perímetro da base pela altura do cilindro). Lembre que o “x do Excel" é dado pela “função” PI(). Podemos utilizar o formato de planiiha da figura 2.3. r A LB Do AREA LATERAL DE UM CILINDRO] Digite o raio do cilindro (em cm) nte a altura do cilindro jem cm; [o] | tateral do cilindro (em cm'2) Fig. 2.3: Área lateral de um cilindro. f ojos co ca imino [a] Rm a Procedimento: Atribuir valor à célula B31 (que representa o raio do cilindro), por exemplo, 15 em. «Atribuir valor à céluia B33 (que representa a altura do cilindro), por exemplo, 12 cm. e Inserir a fórmula =2*PI()*B31*B33 em B35 (vide figura 2.4). e Acionar a tecla “enter” para visualizar o resultado da área lateral do cilindro (o resultado será 1130,97 em”). EB E 29 JÁREA LATERAL DE UM CILINDRO] 30 3t Digite o raio do cilindro (em em) 15 32! [33 Digite a altura do cilindro jem cm) [Ta 3 [35 Area lateral do cilindro tem cme2j =asplgreat" Fig. 2.4: Cálculo da área lateral de um cilindro. lo APLICAÇÃO 3. Dado o valor de um ângulo (em graus), calcular o seu cosseno. Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.5. ma Ê A E UM ÂNGULO | | | E 40 Digite um ângulo. em graus 4 sseno do ângulo digitado Fig. 2.5: Cosseno de um ângulo. Procedimento: * Atribuir valor à célula B40 (que representa o ângulo, em graus), por exemplo, 60 (graus). * Inserir a fórmula =COS(B40*PI()/180), sendo que o “fator” PI()/180 transforma o ângulo (inserido em graus) em radianos (vide figura 2.6). * Acionar a tecla “enter” para visualizar o resultado do cosseno do ângulo, que, no caso, resultará em 0,5. [os A 3 (38 [COSSENO DE UM 39! o Digite um ângulo. em graus: 50 jaz [Cosseno da ângulo digitado Fig. 2.6: Cálculo do cosseno de um ângulo. APLICAÇÃO 4, Dados dois números reais, elabore uma “calculadora” que realize as seguintes operações: soma, subtração, multiplicação e divisão. Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.7. Digite um número (a) Digite outre número (by Soma dos números ia+b! iSubtração dos números (a-by des numeros ja b ão des números iaib) Fig. 2.7: “Calculadora”. Procedimento: e Atribuir valores às células B49 (por exemplo, 8) e B51 (por exemplo, 2). e Inserir as fórmulas (ilustradas na figura 2.8): ” B53=B49+B51, “ B55=B49-B51, Y B57=B49'B51, “ B59-SE(B51=0;'Impossível dividir por zero”;B49/B51) e Acionar a tecla “enter” em cada “entrada de fórmula” para visualizar os resultados. Ema =: EO | 48 9 Digite um número (a! E ] ú tro número db E ] Sama dos nú fEpsgaest |] Subivação dos núme Fesses1 iso io p: [EBames 1 S1=0 Impossivel diadk po Fig. 2.8: Fórmulas para a “calculadora”. 12 Comentári A função “SE” utilizada na fórmula em B59 estabelece uma CONDIÇÃO para que a divisão dos dois números seja efetuada: se o denominador (valor atribuído a B51) for zero, “aparecerá” o texto “Impossível dividir por zero”, senão será feita a di ão. Observar o uso dos parênteses e do ponto e vírgula. De modo geral, a sintaxe para a função SE é: =SE(Condição;Verdadeira;Falsa). Ou seja, dada uma condição, propor primeiramente as instruções para o caso da condição ser verdadeira (se for uma mensagem de texto como “Impossível dividir por zero”, usar aspas). Em seguida, propor as instruções para o caso da condição ser falsa. bao Em 1, EE 2. Dados três números, desejamos calcular a soma dos seus quadrados, o quadrado da sua soma, a soma dos seus inversos e o inverso da sua soma. Para tanto, considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir. A B c D Digite três números: | Soma dos quadrados: Quadrado da soma: Soma dos inversos: 9 |inverso da soma: [o Na Ro NS = Sendo atribuídos valores à célula B5, C5 e D5, escreva as fórmulas a serem inseridas nas células B6, B7, B8 e B9. Simule os resultados para os números 1,2 e 3. Digite um ângulo. em graus: [TT] 67 :Seno do ângulo digitado | Sendo atribuído um valor à célula B65, escreva a fórmula a ser inserida na célula B67. et Í “4. Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir. 4 O nisso 7 71 [| ÁREA DE UM RETÂNGULO 12 Ei 73 Digteumiadodoretêngulotememp [1 ] és Digi UM NúMEID: CCI ia a 15 Digho quiro lodo dp retôncuio feim orhk [Ss | 85 Raiz quadrada do número digitado Lo TI] 76: á 77 Área do retângulo (em cm'2; Sendo atribuído um valor à célula B83, escreva a fórmula a ser inserida na . célula B85. Lembre de util função “SE” ibi do ti Sendo atribuídos valores às células B73 e B75, escreva a fórmula a ser ethos. erre de utlicar ainção: para exibir mensagem do tipo ' “Digite sempre um número maior ou igual a zero”. inserida na célula B77. 9 p g Ra criei mem EEE CAPÍTULO 3: MATRIZES 1. Definição. Uma matriz de ordem mxn (lê-se “m” por “n”) é uma tabela de números reais dispostos em m linhas e n colunas. Cada número é um elemento da matriz e é identificado pela sua posição (linha e coluna). Exemplo: Matriz A de ordem 3x2 (3 linhas e 2 colunas): (3 7) AelrA I 12 4 rea O elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz A é o número 3,e assim por diante. De modo geral, uma matriz A “qualquer” de ordem mxn pode ser representada por: am dr dg = =. Am dor do dog . . . Am as da à ag A- Am âm Amy + - Ama /mn Um elemento qualquer da matriz A é indicado por à; com i=1,2,3,..m e |=1,2,3,...,n. O índice i indica a tinha em que o elemento está situado e o índice j indica a coluna que o elemento está situado. 2. Soma de matrizes. A soma de duas matrizes À e B somente será possível se A e B forem de mesma ordem. Se A e B são matrizes de ordem mxn, então C=A+B é uma matriz de ordem mxn, onde cada elemento da matriz C-=A+B é a soma dos elementos correspondentes de A e B. Ouseja: C=A+B e cj =aj+by. Exemplo: Considere as seguintes matrizes: -3 4 7 -6 A= 6 a & B- =5 1 (2 0) -2 8 A soma das matrizes A e B é: ((-3)+7 4+(-6)) (4 -2 papal 9065 EB+1[=|1 0 2+(-2) 0+8 0 8 Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é: e digitar os elementos das matrizes A e B, por exemplo, nas células D2, E2, D3, E3, D4, E4, H2, |2, H3, 13, H4 e |4 (figura 3.1); e introduzir a fórmula =D2+H2 na célula D6 (figura 3.2); e copiar a fórmula em D6 para E6, D7, E7, D8e EB (figura 3.93). e € ) E. E ei H 1, pe 4 Iê 3. A 6 4 B=| 5 4 2 0 4 5 24 Fig. 3.1: Digitação dos elementos das matrizes Ae B. [Soma TX = =DoH = | | ; o F GC 21 HM Í | ! ! I2 4 7 5 | [3 As 6 a B=| 5 1 | 4 2 0 2 8 | s RE] =Da-H2 | | 7; C=+Bs| E | E | o [eo] Í mi eo na > ú ou =E2+12 =E3+13 =D4+H4 =E4+H4 E] Fig. 3.3: “Cópia” da fórmula em D6 para E6, D7, E7, D8 e E8. Quando “copiamos” da fórmula em D6 para E6, D7, E7, D8 e E8, ocorre a “atualização” dos endereços de células no deslocamento de posições “para a direita e para baixo”. A figura 3.4 mostra os resultados numéricos correspondentes aos elementos da matriz C. | [o D E OF 6 | H i A 1 | [2 3 4 7 4 3 Al 6 4 B=| 4 1 la ê 0 2 8 | 8 | | 6 4 - | 7 ;C=AsB=| 1 0 u o] 8 Fig. 3.4: Matriz C=A+B. Podemos efetuar a soma de produtos de matrizes por escalares. Para exemplificar esta operação, considere as matrizes D e E a seguir: Ru [: D-| e e E=| 5 (2/0 -2 A matriz F=2.D-5.E é: 2(-3)-54-2) 21-5(-6) 2(5)-54-5) 2(-D-s5.1|= F=2 D-5.E= | 22-5.(-2) 2.0-5.8 4 E I4 -6 1 8 32 =7 -40 Utilizando os recursos da planilha eletrônica, o procedimento é: digitar os elementos das matrizes D e E, por exemplo, nas células D19, E19, D20, E20, D21, E21, H19, 119, H20, 120, H21 e 121 (figura 3.9); * introduzir a fórmula =2*D19-5"H19 na célula D23 (figura 3.10); e copiar a fórmula em D23 para E23, D24, E24, D25 e E25 (figura 3.11). e Pe = s H ER is Dj 5 4 E=| 5 1 | 2 0 2 8 | | [23 ="Diss mia 24: F=2D5 Es F 1 4 [o 2: Fig. 3.10: Inserção de fórmula em D28. | É! EL E | | E | ã 1 23 — [=2D19-5*H19 =2"E19-5%19 2a E -5 E =)=2*D20-5*H20 E20-5*20 25 =2'D2A-SH21 =DE2 5421 25 Fig. 3.11: “Cópia” da fórmula em D23 para E23, D24, E24, D25 e E25. Quando “copiamos” a fórmula em D23 para E23, D24, E24, D25 e E25, ocorre uma “atualização” dos endereços de células no deslocamento de posições “para a direita e para baixo”. A figura 3.12 mostra os resultados numéricos correspondentes aos elementos da matriz F. | ANN CU FR = 1 1 18 19 -3 s 2 D=| 5 á 1 MH 2 8 22 23 4 Bu. M F=2D5E=| à E 25 14 40 | 28 Fig. 3.12: Matriz F=2.D-5.E. 4. Multiplicação de matrizes. O produto da matriz A de ordem mxn pela matriz B de ordem npéa matriz C=A.B de ordem mxp. Em outras palavras: o produto das matrizes A e B somente será possível se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. Os elementos da matriz C são dados Dj =ay by t+... +aim Dr Para entender o procedimento de multiplicação de matrizes, considere as matrizes J e K a seguir: 1 5 -10 us Je (> a ; ) e no(2 5, A matriz L=J.K é o produto da matriz J pela matriz K e é dado por: AUDASZ+HCIOI 1.5+53+(+10).0 =: [ 2C-)+32+51 2.5 +3.3+5.0 (-1 20 E= 9 19) Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é: e digitar os elementos das matrizes J e K, por exemplo, nas células D28, * E28, F28, D29, E29, F29, |28, J28, 129, J29, |30 e J30 (figura 3.13); e introduzir as fórmulas a seguir: > D32=D28'128+E28*|29+F28“130, > E32=D28'J28+E28'J29.F28*J30, > D33=D29*128+E29*|29+F29"1306 > E33=D29'J28+E29'J29+F29*J30 (figura 3.14) Ki 2 1 So Fig. 3.13: Digitação dos elementos das matrizes Je K. 30 2929aF 25130 =D29:J28+E29:J29+F 99:30) Fig. 3.14: Fórmulas inseridas em D32, E32, D33 e E33. [294F2B30 =D28:128+E ei A figura 3.15 mostra os resultados numéricos correspondentes aos elementos da matriz L. ] e. D E Ld G H U J |» E (28 A 1 & 40 | 4 5 ,29 2 3 5 2 3 | 30 1 q [1 32. L=Ks| 1 20 | EK 9 19 aa ] Fig. 3.15: Matriz L=J.K. Pense em uma fórmula que possa ser inserida em D32 e, copiada para 132, D33 e E33, calcule os elementos da matriz L. DICA: Pesquise no Excel as “fórmulas matriciais” e, entre elas, a MATRIZ.MULT, que retorna o produto matricial de duas matrizes. 3 2. Considere o trecho de planilha a seguir. E) arquivo Editar Exor E CEREEALT ES EEE EE sers Formatar Ferramentas Daços janelo Ajude Tv ee [us no a 6 7 8 Pedem-se: a) a fórmula a ser inserida na célula Gt; b) afórmula a ser inserida na célula G6; c) os valores dos elementos das matrizes C e D; d) o resultado de C*D (se for possível) ) e) o resultado de D*C (se for possível). e B ilustradas a seguir, desejamos calcular as matrizes C, D, E e F, sendo C=a.B, D=b.B-d.C, E=e.(D-C) e F-f.(E- C) B EA DIE Lt. [E HT 3. Dadas as matrizes 4 5 | 4 o a | 23 7 6 A= 4 % 13 B= 3 78 7 8 3] b 5 03 9 E 17 g 23) 10 “ 12 (a D= EE) el [+ 15 E- F= 16 o Pedem-se: a) a fórmula a ser inserida na célula C11; b) a fórmula a ser inserida na célula G11; c) afórmula a ser inserida na célula C14; d) a fórmula a ser inserida na célula G14; e) os valores dos elementos das matrizes €, D, E e F. 3 CAPÍTULO 4: FUNÇÕES 1. Definição. Função: lei ou “regra“ que relaciona a cada elemento de um “conjunto de partida” (denominado de domínio da função) um único elemento de um “conjunto de chegada” (denominado de imagem da função). Por exemplo, considere a seguinte “regra”: escolha um número, multiplique-o por 5, some 3 e observe o resultado. Caso você escolha o número 7, o resultado será 38, pois 7.5+3=38. 2. Representações de uma função. As funções podem ser representadas por: * Tabelas. e Equações. * Gráficos. Considere o exemplo anterior e sua representação por tabela, equação e gráfico. Tabela: “Partida” | “Chegada” -2 [3 1 8 2 13 3 18 Equação: Inicialmente, devemos pensar em símbolos para representar o “conjunto de partida” (domínio) e o “conjunto de chegada” (imagem). Em geral: KU 
