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CAPÍTULO 3
Aritmética Binária
3.1 – Introdução
No Capítulo 2 estudamos a conversão entre os sistemas decimal, binário, octal e hexadecimal. Nesta Unidade estudaremos as operações aritméticas de soma, subtração, multiplicação e divisão de binários, além de conceitos como complemento a 1 e a 2 e a sinalização dos números binários. Essas funções lógicas aritméticas constituem a Unidade Lógica e Aritmética (ULA) que é um bloco funcional fundamental em um microprocessador.
3.2 – Adição no Sistema Binário
Para efetuarmos a adição no sistema binário, devemos agir como numa adição convencional no sistema decimal, lembrando que, no sistema binário temos apenas dois algarismos. Temos então:
0 + 0 = 0, vai 0 1 + 0 = 1, vai 0 0 + 1 = 1, vai 0 1 + 1 = 0, vai 1
Convém observar que no sistema decimal 1 + 1 = 2 e no sistema binário é representado o número 2 10 por 10 2. Assim sendo: 1 + 1 = 10 2. Já temos aqui a primeira regra de transporte para a próxima coluna: 1 + 1 = 0 e transporta 1 (vai um)
Exemplo 1
Para exemplificar, vamos somar os números binários:
11 2 + 10 2 =
“vai um” + 11 2 + 10^2 = 101^2
Exemplo 2
Some os seguintes binários: 110 2 e 111 (^2)
Exercícios Propostos
a) 1000 2 + 1001 (^2) b) 10001 2 + 11110 (^2) c) 101 2 + 100101 (^2) d) 110 2 + 1001011 (^2) e) 10101 2 + 1001001 (^2)
3.3 – Subtração no Sistema Binário
A subtração requer um pouco de atenção. Quando subtraímos números às vezes temos que fazer um empréstimo da próxima coluna à esquerda. Esse caso ocorre quando temos que subtrair 1 de 0. Observe as operações:
0 – 0 = 0, empresta 0 1 – 1 = 0, empresta 0 1 – 0 = 1, empresta 0 0 – 1 = 1, empresta 1 Exemplo 3 Subtraia os seguintes binários: 111 2 e 100 (^2)
“vai um” 110 2 + 111 2 = 1101 (^2)
Exemplo 5
Multiplique os binários 11 e 11.
x
1 0 0 1
Exemplo 6
Multiplique os binários 101 e 111.
x
Exercícios Propostos
a) 1100 2 x 101 (^2) b) 10101 2 x 111 (^2) c) 11110 2 x 11 (^2) d) 1011001 2 x 110 (^2) e) 100000 2 x 10 (^2)
3.5 – Divisão no Sistema Binário
A divisão é análoga à uma divisão de decimais, trabalhando com multiplicação e subtração. Exemplo 7
Divida o binário 1100 por 10.
Produtos Parciais
Produtos Parciais
Exemplo 8
Divida os binários 110 e 11.
Exercícios Propostos
a) 11001 2 ÷ (^111 ) b) 10101 2 ÷ (^112) c) 1100 2 ÷ (^10 ) d) 11110 2 ÷ (^111 ) e) 100000 2 ÷ (^10 )
3.6 – Representação de Números Binários com Sinal
Antes de iniciarmos o assunto, vamos relembrar alguns tópicos importantes da subtração de dois números binários:
0 – 1 = 1 e empresta 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0
Por ser diferente da adição, a subtração exigiria, em princípio, um circuito diferente, específico, para ser realizada. Mas se houver um jeito de representarmos números negativos em binário, a subtração seria transformada em uma simples adição, pois: A – B = A + (-B)
Portanto, o problema deixa de ser o projeto de um circuito subtrator e passa a ser a representação de números negativos em binário. Os computadores primitivos usavam o chamado “sistema de sinal-magnitude” para representar números binários com sinal. Nesta convenção o MSB era o bit do sinal e o resto da palavra era sempre o próprio valor absoluto do número; se o MSB=0, o número era positivo, e se o MSB=1, o número era negativo. Por exemplo:
10 2
10 2
3 0011
3 1011
− =
Bit de sinal
Bits de magnitude
Complemento a 2
3.6.4 – Representação de Números com Sinal Usando Complemento a 2
O sistema de complemento a 2 para representar números com sinal funciona do seguinte modo:
- Se o número é positivo, a magnitude é a forma binária direta e um bit de sinal 0 é colocado na frente do bit mais significativo, veja Figura 9.7.a;
- Se o número é negativo, a magnitude é representada na forma de seu complemento a 2, e um bit de sinal 1 é colocado na frente do bit mais significativo, veja Figura 9.7.b.
O sistema de complemento a 2 é usado para representar números com sinal porque, conforme veremos, ele permite realizar a operação de subtração efetuando na verdade uma adição. Isto é importante, pois significa que um computador digital pode usar os mesmos circuitos tanto para somar como para subtrair, deste modo economizando em hardware.
3.7 – Exemplos de Adição e Subtração no Sistema de Complemento a 2
Caso I: Dois Números Positivos – A adição de dois números positivos é bastante direta e segue as regras de adição já vistas anteriormente. Considere a soma entre +10 e +5:
- Os bits de sinal são iguais a zero, indicando que as parcelas e o resultado são positivos;
- As parcelas são escritas de modo a terem o mesmo número de bits, isto sempre deve ser feito no sistema de complemento a 2.
Bit de sinal (+) Binário direto
= - 45 (^10)
Bit de sinal (-)
Bits de sinal
(1 a^ parcela) (2 a^ parcela) (soma = +15)
Figura 9.7 – Representação de números binários com sinal no complemento a 2.
Caso II: Um Número Positivo e um Outro Menor e Negativo – Vamos considerar a operação entre +10 e –5. Primeiramente, devemos encontrar o complemento a 2 de +5 10 = 0101 2. Usando qualquer um dos métodos vistos anteriormente, encontramos que –5 10 = 1011 2.
- O bit de sinal da segunda parcela é igual a 1, indicando ser um número negativo;
- O resultado do bit de sinal é 0, indicando que o mesmo é positivo. O carry (“vai um”) gerado na última posição da adição é sempre descartado. Observe que a operação de adição é feita, também, sobre os bits de sinal.
Caso III: Um Número Positivo e um Outro Maior e Negativ o – Considera a operação entre –10 e +5. Novamente, primeiro devemos encontrar o complemento a 2 do número negativo, isto é, -10 10 = 0110 2.
- Como era de se esperar, o bit de sinal do resultado é igual a 1, indicando resultado negativo;
- Como o resultado é negativo, ele está representado em complemento a 2, de modo que os últimos 4 bits (bits de magnitude), 1011, de fato representam o complemento a 2 do resultado. Para encontrar a magnitude verdadeira, basta encontrar o complemento a 2 de 1011, que é 0101 = +5. Logo, 11011 representa –
Caso IV: Dois Números Negativos – Considere a operação entre –10 e –5. A operação de soma se dará entre os complementos a 2 de ambos os números:
(1 a^ parcela) (2 a^ parcela) (soma = +5)
Bits de sinal
Este carry é desconsiderado.
Bits de sinal
(1 a^ parcela) (2 a^ parcela) (soma = -5)
Bits de sinal
(1 a^ parcela) (2 a^ parcela) (soma = -15)
Este carry é desconsiderado.
