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Geometria (11.o^ ano)
Equa¸c˜oes de retas e planos
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, a pirˆamide regular de base quadrada [ABCD] e v´ertice E
Sabe-se que:
- a base da pirˆamide est´a contida no plano xOz
- o v´ertice A pertence ao semieixo positivo Oz e o v´ertice B pertence ao semieixo negativo Ox
- o v´ertice E tem coordenadas (− 2 , 6 ,2)
- o vetor
BE tem coordenadas (− 1 , 6 ,2)
- o volume da pirˆamide ´e 20 x
y
O
z
A
D
C^ E
B
Seja α o plano perpendicular `a reta BE e que passa no ponto de coordenadas (1, 0 ,1)
Qual das equa¸c˜oes seguintes ´e uma equa¸c˜ao do plano α?
(A) −x + 6y + 2z = 0 (B) x + 6y + 2z − 3 = 0
(C) x − 6 y − 2 z + 1 = 0 (D) 2 x − y + 4z − 5 = 0
Exame – 2021, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um trap´ezio [P QRS], de bases [P Q] e [RS], em que o lado [P S] ´e perpendicular `as bases.
Tem-se P (1, − 1 ,2), Q(− 2 , 1 ,1) e R(− 5 , 5 , − 3)
P Q
R
S
x
y
z
O
Determine uma equa¸c˜ao do plano perpendicular `a reta RS e que passa no ponto P
Apresente essa equa¸c˜ao na forma ax + by + cz + d = 0 Exame – 2021, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um paralelep´ıpedo retˆangulo [ABCDEF GH].
Sabe-se que:
- o v´ertice A pertence ao eixo Ox e o v´ertice B pertence ao eixo Oy
- as coordenadas dos v´ertices E e G s˜ao (7, 2 ,15) e (6, 10 ,13), respeti- vamente;
- a reta EF ´e definida pela equa¸c˜ao (x,y,z) = (1, − 2 ,19) + k(− 3 , − 2 ,2), k ∈ R
x
y
O
z
A
B
F
E
H
C
D
G
3.1. Qual das equa¸c˜oes seguintes define uma reta perpendicular `a reta EF e que passa no ponto E?
(A) (x,y,z) = (7, − 3 ,3) + k(− 2 , 3 ,0),k ∈ R
(B) (x,y,z) = (7, 2 ,15) + k(0, 3 , − 3),k ∈ R
(C) (x,y,z) = (7, − 10 ,3) + k(0, 3 ,3),k ∈ R
(D) (x,y,z) = (7, 2 ,3) + k(2, 0 , − 3),k ∈ R
3.2. Determine, sem recorrer `a calculadora, a equa¸c˜ao reduzida da superf´ıcie esf´erica de centro no ponto B e que passa no ponto D
Exame – 2021, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz,
- o plano α, de equa¸c˜ao 2x + 3y − z − 9 = 0
- a reta r, de equa¸c˜ao vetorial (x,y,z) = (1, 2 ,1) + k(0, 1 ,5), k ∈ R
7.1. Seja A o ponto da reta r cuja ordenada ´e igual a 4
Determine uma equa¸c˜ao do plano que ´e paralelo ao plano α e que passa pelo ponto A
Apresente essa equa¸c˜ao na forma ax + by + cz + d = 0
7.2. Seja P o ponto de intersec¸c˜ao da reta r com o plano α
Determine as coordenadas do ponto P
Exame – 2019, Ep. especial´
- Na figura seguinte, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um paralelep´ıpedo retˆangulo [ABCDEF GH]
Sabe-se que:
- o v´ertice A pertence ao eixo Ox e o v´ertice B pertence ao eixo Oy
- o v´ertice C tem coordenadas (0, 3 ,6) e o v´ertice G tem coordenadas (6, 11 ,0)
- o plano ABC ´e definido pela equa¸c˜ao 3x+4y−12 = 0 8.1. Determine o volume do paralelep´ıpedo [ABCDEF GH] 8.2. Seja P o ponto de coordenadas (1, − 4 ,3), e seja r a reta que passa pelo ponto P e ´e perpendicular ao plano ABC
Determine as coordenadas do ponto de intersec¸c˜ao da reta r com o plano ABC x
y
O
z
E
F
G
C
A
B
D
H
Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular [ABCDV ]
Os v´ertices A e C tˆem coordenadas (2, 1 ,0) e (0, − 1 ,2), respeti- vamente.
O v´ertice V tem coordenadas (3, − 1 ,2)
Determine uma equa¸c˜ao do plano que cont´em a base da pirˆamide.
Apresente essa equa¸c˜ao na forma ax + by + cz + d = 0
x
O y
z
B
D
V
A
C
Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica de equa¸c˜ao
(x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z + 1)^2 = 10
Seja P o ponto da superf´ıcie esf´erica de abcissa 1, ordenada 3 e cota negativa. Seja r a reta de equa¸c˜ao vetorial (x,y,z) = (− 1 , 0 ,3) + k(4, 1 , − 2), k ∈ R
Determine uma equa¸c˜ao do plano que passa no ponto P e ´e perpendicular `a reta r
Apresente essa equa¸c˜ao na forma ax + by + cz + d = 0
Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular.
Sabe-se que:
- [P Q] e [QR] s˜ao arestas de uma das bases do prisma;
- P Q = 4
- o plano P QR tem equa¸c˜ao 2x + 3y − z − 15 = 0
- uma das arestas laterais do prisma ´e o segmento de reta [P S], em que S ´e o ponto de coordenadas (14, 5 ,0)
Determine a ´area lateral do prisma. x
O y
z
P
Q
R
S
Apresente o resultado arredondado `as d´ecimas. Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, trˆes casas decimais.
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolu¸c˜ao de altura 3
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (1, 2 ,0) e ´e o centro da base inferior do cilindro, a qual est´a contida no plano xOy
- o ponto B tem coordenadas (1, 3 ,0) e pertence `a circunferˆencia que delimita a base inferior do cilindro;
- o ponto C ´e o centro da base superior do cilindro.
Determine as coordenadas do ponto de intersec¸c˜ao da reta BC com o plano xOz
x
y
O
z
A B
C
Exame – 2017, Ep. especial´
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano α definido pela equa¸c˜ao 3x + 2y + 4z − 12 = 0 Seja C o ponto de coordenadas (2, 1 ,4)
Escreva uma equa¸c˜ao vetorial da reta perpendicular ao plano a que passa no ponto C
Exame – 2016, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular ABCDV
Sabe-se que:
- a base [ABCD] da pirˆamide ´e paralela ao plano xOy
- o ponto A tem coordenadas (− 1 , 1 ,1)
- o ponto C tem coordenadas (− 3 , 3 ,1)
- o plano BCV ´e definido pela equa¸c˜ao 3y + z − 10 = 0
Determine as coordenadas do ponto V x
O y
z
V
C
B
D
A
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano β definido pela condi¸c˜ao 2x − y + z − 4 = 0
Considere o ponto P (− 2 , 1 , 3 a), sendo a um certo n´umero real. Sabe-se que a reta OP ´e perpendicular ao plano β, sendo O a origem do referencial.
Determine o valor de a
Exame – 2015, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o poliedro [N OP QRST U V ] que se pode decompor num cubo e numa pirˆamide quadrangular regular.
Sabe-se que:
- o v´ertice P pertence ao eixo Ox
- o v´ertice N pertence ao eixo Oy
- o v´ertice T pertence ao eixo Oz
- o v´ertice R tem coordenadas (2, 2 ,2)
- o plano P QV ´e definido pela equa¸c˜ao 6x + z − 12 = 0
19.1. Determine as coordenadas do ponto V
19.2. Escreva uma equa¸c˜ao cartesiana do plano que passa no ponto P e ´e perpendicular `a reta OR (^) x
O
y
z
P
Q
N
V
R
T S
U
Exame – 2015, 2.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A(0, 0 ,2) e B(4, 0 ,0) Considere o plano α de equa¸c˜ao x − 2 y + z + 3 = 0
Escreva uma equa¸c˜ao do plano que passa no ponto A e ´e paralelo ao plano α
Exame – 2015, 1.a^ Fase
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, o ponto A, de coordenadas (1, 0 , 3), e o plano α, definido por 3 x + 2y − 4 = 0
Seja β um plano perpendicular ao plano α e que passa pelo ponto A
Qual das condi¸c˜oes seguintes pode definir o plano β?
(A) 3 x + 2y − 3 = 0 (B) 2 x − 3 y − z + 1 = 0
(C) 2 x − 3 y + z = 0 (D) 3 x + 2y = 0
Exame – 2014, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular [ABCDV ], cuja base est´a contida no plano xOy e cujo v´ertice V tem cota positiva.
O ponto P ´e o centro da base da pirˆamide.
Admita que:
- AV = 10
- o v´ertice A pertence ao eixo Ox e tem abcissa igual a 6
- o v´ertice V tem abcissa e ordenada iguais a 6 x
O y
z
V
C
D
A
P
B
22.1. Mostre que o v´ertice V tem cota igual a 8 22.2. Seja M o ponto m´edio da aresta [BV ] Determine uma equa¸c˜ao vetorial da reta CM 22.3. Determine uma equa¸c˜ao cartesiana do plano que passa no ponto P e que ´e perpendicular `a aresta DV
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 30.04.
- Na figura ao lado, em cima, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, parte do plano ABC, de equa¸c˜ao x + y + 2z = 12
Tal como a figura sugere, A, B e C s˜ao os pontos de in- terse¸c˜ao deste plano com os eixos coordenados.
Determine uma equa¸c˜ao cartesiana do plano que passa no ponto D(1, 2 ,3) e ´e paralelo ao plano ABC x
O y
z
B
A
C
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 11.03.
- Na figura ao lado, est´a representado, em referencial o.n. Oxyz , o poliedro [V N OP QU RST ] , que se pode decompor num cubo e numa pirˆamide quadrangular regular.
Sabe-se que:
- a base da pirˆamide coincide com a face superior do cubo e est´a contida no plano xOy
- o ponto P pertence ao eixo Ox
- o ponto U tem coordenadas (4, − 4 , −4)
- o plano QT V ´e definido pela equa¸c˜ao 5x + 2y + 2z = 12
27.1. Escreva uma condi¸c˜ao cartesiana que defina o plano para- lelo ao plano QT V e que passa na origem do referencial. 27.2. Determine o volume do poliedro [V N OP QU RST ]
x
O y
z
V
P
S
U T
R
Q
N
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coorde- nado.
O plano ABC ´e definido pela equa¸c˜ao 6x + 3y + 4z = 12
Seja r a reta que passa no ponto A e ´e perpendicular ao plano ABC
Determine uma equa¸c˜ao vetorial da reta r
x
O y
z
B
A
C
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 06.05.
- Na figura seguinte, est´a representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular [ABCDV ] cuja base est´a contida no plano xOy
Sabe-se que:
- o ponto A pertence ao eixo Ox
- o ponto B tem coordenadas (5, 3 ,0)
- o ponto V pertence ao plano de equa¸c˜ao z = 6
- 6 x + 18y − 5 z = 24 ´e uma equa¸c˜ao do plano ADV 29.1. Determine o volume da pirˆamide. 29.2. Seja S o ponto de coordenadas (− 1 , − 15 ,5) Seja r a reta que cont´em o ponto S e ´e perpendicular ao plano ADV Averigue se a reta r cont´em o ponto B (^) x
O (^) y
z
V
A
C
D
B
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura ao lado est´a representado um referencial o.n. Oxyz
Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado.
O ponto P pertence ao plano ABC.
O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que ´e sempre v´ertice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes v´ertices pertencem aos planos coordenados.
O plano ´e definido pela equa¸c˜ao x + 2y + 3z = 9 x
O
y
z
B
A
C
P
30.1. Seja a a abcissa do ponto P (a ∈]0,3[) Mostre que o volume do prisma ´e dado, em fun¸c˜ao de a, por 3a^2 − a^3
30.2. Seja r a reta que cont´em o ponto A e ´e perpendicular ao plano ABC. Determine uma equa¸c˜ao vetorial da reta r.
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 07.05.
- Considere, em referencial o.n. Oxyz, o ponto P (0, 4 ,3)
Seja α o plano que cont´em o ponto P e ´e perpendicular `a reta de equa¸c˜ao vetorial
(x,y,z) = (0, 1 , − 3) + k(1, 0 ,2), k ∈ R
Determine a ´area da sec¸c˜ao produzida pelo plano α na esfera definida pela condi¸c˜ao
(x + 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 4)^2 ≤ 3
Sugere-se que:
- Determine uma equa¸c˜ao do plano α.
- Mostre que o centro da esfera pertence ao plano α.
- Atendendo ao ponto anterior, determine a ´area da sec¸c˜ao.
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 10.05.
- Na figura ao lado est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um s´olido formado por um paralelep´ıpedo retˆangulo [ABCDEF GH] e uma pirˆamide [ABCDV ].
A base [EF GH] do paralelep´ıpedo est´a contida no plano xOy e a base da pirˆamide [ABCD] coincide com a face superior do paralelep´ıpedo.
A aresta [GF ] est´a contida no eixo Oy.
O ponto A tem coordenadas (1, 1 ,1) e o ponto H tem coordenadas (1, − 2 ,0)
Mostre que uma equa¸c˜ao do plano AGH ´e y − 3 z +2 = 0 x
O y
z
D A
H E
G F
V
C B
Exame – 2001, Prova de reserva (c´od. 135)
- Considere duas retas distintas, r e s, perpendiculares a um mesmo plano.
Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira?
(A) r ´e perpendicular a s (B) r e s s˜ao concorrentes, mas n˜ao perpendiculares
(C) r ´e paralela a s (D) r e s n˜ao s˜ao complanares
Exame – 2001, ´Ep. especial (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, um plano α de equa¸c˜ao x + 2y − z = 2 Seja β o plano que ´e paralelo a α e que cont´em o ponto (0, 1 ,2)
Qual das condi¸c˜oes seguintes ´e uma equa¸c˜ao do plano β?
(A) x + 2y − z = 1 (B) x + z = 2 (C) −x − 2 y + z = 0 (D) x − y + z = 1
Exame – 2001, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo.
- O v´ertice O ´e a origem do referencial
- O v´ertice A pertence ao eixo Ox
- O v´ertice G pertence ao eixo Oy
- O v´ertice E pertence ao eixo Oy
- H ´e o centro da face [OGF E]
- Uma equa¸c˜ao do plano que cont´em os pontos D, B e H ´e x + y = 10 Qual ´e a medida da aresta do cubo?
(A) 5 (B) 10 (C) 5
2 (D) 10
2 x
O y
z
D
F
H
A B
C
E
G
Exame – 2001, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura seguinte est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular.
O v´ertice O ´e a origem do referencial O v´ertice P pertence ao eixo Oz O v´ertice R pertence ao plano xOy O v´ertice V tem coordenadas (− 2 , 11 ,5)
Uma equa¸c˜ao vetorial da reta que cont´em a altura da pirˆamide ´e (x,y,z) = (7, − 1 ,5) + k(6, − 8 ,0), k ∈ R
39.1. Mostre que a base da pirˆamide est´a contida no plano de equa¸c˜ao 3x − 4 y = 0 39.2. Justifique que o centro da base da pirˆamide ´e o ponto de coordenadas (4, 3 ,5) x
O y
z
P
V
R
Q
Exame – 2001, Prova Modelo (c´od. 135) Exame – 2000, 2.a^ Fase (c´od. 135)
- Num referencial o.n. Oxyz, considere um paralelep´ıpedo retˆangulo [OP QRST U V ]
Os pontos P , R e V pertencem aos semi- eixos positivos Ox, Oy e Oz, respetivamente.
O quadril´atero [ABCD] ´e a sec¸c˜ao ob- tida no paralelep´ıpedo pelo plano de equa¸c˜ao 2 x+3y +z = 22, que ´e perpendicular `a reta OT
O ponto R tem ordenada 6 x
O (^) y
z
Q
S
C
B
P
R
A
D
T
V U
40.1. Justifique que o ponto T tem coordenadas (4, 6 ,2) 40.2. Determine uma equa¸c˜ao do plano que ´e paralelo ao plano ABC e que cont´em o ponto Q
Exame – 2000, Prova 2 para Militares (c´od. 135)
- Considere dois planos concorrentes α e β Sejam ~a e ~b vetores normais aos planos α e β, respetivamente. Seja ~r um vetor com a dire¸c˜ao da reta de interse¸c˜ao dos planos α e β
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) ~r ´e paralelo a ~a e ~r ´e paralelo a ~b (B) ~r ´e paralelo a ~a e ~r ´e perpendicular a ~b
(C) ~r ´e perpendicular a ~a e ~r ´e paralelo a ~b (D) ~r ´e perpendicular a ~a e ~r ´e perpendicular a ~b
Exame – 2000, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, dois planos concorrentes, de equa¸c˜oes
x − y + 3z = 1 e x + y − 7 z = 7
Seja r a reta de intersec¸c˜ao dos dois planos. Qual dos pontos seguintes pertence `a reta r?
(A) (5, 5 ,0) (B) (1, 0 ,0) (C) C(0, 0 , − 1) (D) D(4, 3 ,0)
Exame – 1999, Prova para Militares (c´od. 135)
- Considere, num referencial o. n. Oxyz, os pontos A(2, 3 ,10) e B(10, 13 ,25) Um tiro ´e disparado de A, de tal forma que o proj´etil passa pelo ponto B Pretende-se atingir um alvo situado no ponto C(98, 123 ,190) e sabemos que, se o proj´etil seguir uma tra- jet´oria retil´ınea, o alvo ´e atingido.
Justifique que existe um e um s´o plano α que cont´em a origem do referencial e os pontos A, B e C Averigue se esse plano ´e perpendicular ao plano xOy
Exame – 1999, Prova para Militares (c´od. 135)
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz
Sabe-se que:
- [ABCD] ´e uma face do cubo
- [EF GH] ´e a face oposta `a face [ABCD] (o ponto H n˜ao est´a representado na figura)
- [AE], [BF ], [CG] e [DH] s˜ao quatro arestas do cubo
- O ponto A tem coordenadas (3, 5 ,3)
- O ponto D tem coordenadas (− 3 , 3 ,6)
- O ponto E tem coordenadas (1, 2 , − 3) O ponto P ´e o ponto de intersec¸c˜ao do eixo Oz com a face [ABCD] Determine as coordenadas do ponto P x
O y
z
B
F
A
D
C
E
G
Exame – 1999, Epoca Especial (c´´ od. 135)
- Sejam α e β dois planos perpendiculares. Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) Qualquer reta paralela a α ´e paralela a β
(B) Qualquer reta paralela `a intersec¸c˜ao de α e β ´e paralela a β
(C) Qualquer reta perpendicular a α ´e perpendicular a β
(D) Qualquer reta perpendicular `a intersec¸c˜ao de α e β ´e perpendicular a β
Exame – 1999, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz
Sabe-se que:
- a face [OP QR] est´a contida no plano xOy
- a face [OSV R] est´a contida no plano xOz
- a face [OST P ] est´a contida no plano yOz
- uma equa¸c˜ao do plano V T Q ´e x + y + z = 6 50.1. Mostre que o volume do cubo ´e 27 50.2. Seja α o plano que cont´em o ponto S e ´e paralelo ao plano V T Q Prove que a reta RP est´a contida em α x
y
O
z
Q
S T
U
R
P
V
Exame – 1999, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura seguinte est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revolu¸c˜ao.
Sabe-se que:
- A base do cone est´a contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial
- [AC] e [BD] s˜ao diˆametros da base
- O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox
- O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy
- O v´ertice V pertence ao semieixo positivo Oz
Sabendo que uma equa¸c˜ao do plano ABV ´e 4x + 4y + 3z = 12, mostre que o comprimento do raio da base ´e 3 e a altura do cone ´e 4
x
O^ y
z
D B
A
C
V
Exame – 1999, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 135)
- Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α, de equa¸c˜ao x + y = 4 O plano α ´e
(A) paralelo ao plano xOy (B) perpendicular ao plano xOy
(C) paralelo ao eixo Ox (D) perpendicular ao eixo Ox
Exame – 1999, Prova Modelo (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A(5, 0 ,0) e B(0, 3 ,1)
Mostre que a reta AB est´a contida no plano de equa¸c˜ao x + 2y − z = 5
x
O y
z
A
B
Exame – 1998, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz:
- o plano α, de equa¸c˜ao 2x + 2y + 2z = 5
- a reta r, definida pela condi¸c˜ao x = y = z
Qual ´e a posi¸c˜ao relativa da reta r e do plano α?
(A) r ´e perpendicular a α (B) r e α s˜ao concorrentes, mas n˜ao perpendiculares
(C) r ´e estritamente paralela a α (D) r est´a contida em α
Exame – 1998, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Na figura abaixo est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cil´ındrica constru´ıda num mate- rial de espessura desprez´avel. A caixa cont´em duas bolas encostadas uma
a outra eas bases da caixa cil´ındrica. - O cilindro tem uma das bases no plano xOz
- O centro dessa base ´e o ponto de coordenadas (3, 0 ,3)
- A outra base est´a contida no plano de equa¸c˜ao y = 12
- As bolas s˜ao esferas de raio igual a 3
- Os diˆametros das esferas e das bases do cilindro s˜ao iguais
- A superf´ıcie esf´erica correspondente `a bola mais afas- tada do plano tem centro no ponto (3, 9 ,3) e o ponto (1, 8 ,1) pertence a essa superf´ıcie esf´erica. (^) x
y
z
Escreva uma equa¸c˜ao do plano tangente, no ponto (1, 8 ,1), `a superf´ıcie esf´erica referida.
Nota: um plano tangente a uma superf´ıcie esf´erica ´e perpendicular ao raio relativo ao ponto de tangˆencia.
Exame – 1998, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Dois planos α e β s˜ao estritamente paralelos. Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) Qualquer reta contida em α ´e paralela a qualquer reta contida em β
(B) H´a retas contidas em α que intersetam β
(C) H´a retas perpendiculares a α que n˜ao s˜ao perpendiculares a β
(D) Dada uma reta contida em α existem em β infinitas retas que lhe s˜ao paralelas
Exame – 1998, Prova Modelo (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz
O v´ertice O coincide com a origem do referencial.
O v´ertice R pertence ao semieixo positivo Ox O v´ertice P pertence ao semieixo positivo Oy O v´ertice S pertence ao semieixo positivo Oz
A abcissa do ponto R ´e 2
Determine uma equa¸c˜ao cartesiana do plano P U V x
y
O
z
Q
S T
U
R
P
V
Exame – 1998, Prova Modelo (c´od. 135)
- Na figura ao lado est˜ao representados em referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular regular e uma pirˆamide cuja base [OF GE] coincide com a do prisma e est´a assente no plano xOy. O v´ertice da pirˆamide coincide com o centro da base superior do prisma.
O ponto G tem coordenadas (4, 4 ,0) e o ponto H tem coor- denadas (2, 2 ,6)
Escreva uma equa¸c˜ao cartesiana do plano OEH
x
y
z
O
A
E
F
D
G
H
B C
Exame – 1997, Prova para militares (c´od. 135)
- Indique qual dos pares de equa¸c˜oes seguintes define, num referencial o.n. Oxyz um par de planos perpen- diculares.
(A) x + y = 3 e x + y = 0 (B) −x + y − z = 1 e 3 x + 2y + 2z = 2
(C) x = y e z = 0 (D) 2 x + 2y + z = 9 e x − 3 z = 0 Exame – 1997, 2.a^ fase (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide regular de base quadrada (ver figura ao lado). O v´ertice V da pirˆamide pertence ao semieixo positivo Oz e tem cota 6 A base da pirˆamide est´a contida no plano xOy A aresta [P Q] ´e paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas (2, 2 ,0)
Mostre que o plano QRV pode ser definido pela equa¸c˜ao 3y + z = 6
x
y
z
O
V
S R
P Q
Exame – 1997, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
