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Trabalho de Cálculo Integral
Tipologia: Trabalhos
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Aula-tema: Aplicações da Derivada Essa etapa é importante para que o aluno saiba utilizar técnicas de cálculo, que se aplicam a uma grande variedade de problemas da vida real. Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.
Passo 1 – Faça a leitura do capítulo 4 – seção 4.1 do PLT, pesquise e elabore um texto explicativo sobre máximos locais, mínimos locais e pontos de inflexão de uma determinada função.
R: Pontos de máximo ou de mínimo de uma função.
Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade em construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.
Ponto crítico de uma função derivável
Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0.
Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.
Teorema (Pierre Fermat)
Este critério se baseia nas seguintes idéias:
Critério da primeira derivada
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
Exemplos
(1) Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f.
(2) Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. g '(x)>0 se x<0 e g '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f.
Observações
Teorema do Valor Máximo (Karl Weierstrass)
Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e também o seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isto é o mesmo que garantir a existência de valores x 1 e x 2 em [a,b] tal que para todo x em [a,b]:
Se f é uma função c então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
Concavidade e pontos de inflexão
Teorema de localização
Se f é uma função c então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
Concavidade e pontos de inflexão
Teorema de localização
Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
Nas extremidades do intervalo [a,b], ou Em pontos críticos de f, ou Em pontos onde a derivada de f não existe.
Concavidade e pontos de inflexão
) > 0 para todo , b ) e a A concavidade do seu gráfico é voltada para cima
Teorema de localização
ontínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
Nas extremidades do intervalo [a,b], ou Em pontos críticos de f, ou Em pontos onde a derivada de f não existe.
Concavidade e pontos de inflexão
para todo x em ( a ,
A concavidade do seu gráfico é voltada para cima
ontínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
Nas extremidades do intervalo [a,b], ou
Em pontos onde a derivada de f não existe.
, b ), então a função primeira derivada
A concavidade do seu gráfico é voltada para cima
ontínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
Nas extremidades do intervalo [a,b], ou
Em pontos onde a derivada de f não existe.
), então a função primeira derivada
A concavidade do seu gráfico é voltada para cima , confo
ontínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b],
), então a função primeira derivada
, conforme mostra a figura
ontínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b],
), então a função primeira derivada f ’( x
rme mostra a figura
ontínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b],
x ) é
rme mostra a figura
Exemplos:
1) Tendo f ( x ) = x^3 – 7 x + 6 e f ’( x ) = 3 x^2 – 7 como exemplo. Para estudar a concavidade,tomamos a segunda derivada, f ” ( x ) = 6 x , e observarmos que f ” ( x ) < 0 se x < 0 e f” ( x ) > 0 se x > 0. Logo, a concavidade do gráfico é voltada para baixo para todos os reais negativos e para cima, para os reais positivos. x = 0 é, portanto, um ponto de inflexão do gráfico de f , conforme já visto em seu gráfico.
2) x^2 , para x 1 f ( x ) = 1 – (x – 1)^2 , para x 1
Para x 1, f ’ (x) = 2x e f ” (x) = 2.
Para x 1, f ’ (x) = -2(x-1) e f ” (x) = -2.
Logo, para x Î (1, + ¥), f ’’( x ) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava para baixo. Assim, no ponto c = 1, a concavidade muda, o que significa que este é um ponto de inflexão. Analisando a primeira derivada, notamos que:
x < 1 f ’ ( x ) < 0 para x < 0 e f ’( x ) > 0 para 0 < x < 1;
x > 1 f ’ ( x ) < 0 para todo x.
Portanto, f é crescente para 0 < x < 1 e decrescente para x < 0 e x > 1. Associando isso à análise da concavidade, podemos construir seu gráfico, onde podemos também observar que no ponto c = 1 f tem um máximo relativo.
Observação de inflexão de
Teorema
Teste da derivada segunda = c um ponto crítico de derivada segunda em ( i) Se f ii) Se
Exemplos: derivada segunda.
1 ) f ( x
Temos,
Fazendo
os pontos críticos de
Como
valor máximo relativo em
Analogamente, como relativo de
Observação : um ponto de inflexão de f (exemplo 1).
Teorema
Teste da derivada segunda = um ponto crítico de derivada segunda em ( f ”( c ) < 0, f tem um valor máximo relativo em ii) Se f ”( c ) > 0, f
Exemplos: Encontre os máximos e mínimos relativos de derivada segunda.
x ) = 18 x + 3
Temos, f ’( x ) = 18 + 6
Fazendo f ’( x ) = 0, obtemos 18 + 6
os pontos críticos de
Como f ’’ = -30 < 0, segue que
valor máximo relativo em
Analogamente, como relativo de f. Seu valor mínimo relativo em
: um ponto c Î D( (exemplo 1).
Teste da derivada segunda = um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, derivada segunda em ( a , b ) e tem um valor máximo relativo em f tem um valor mínimo relativo em
Encontre os máximos e mínimos relativos de derivada segunda.
) = 18 + 6 x – 12
) = 0, obtemos 18 + 6
os pontos críticos de f , que são
30 < 0, segue que
valor máximo relativo em x 1 é dado por
Analogamente, como f ’’ (-
. Seu valor mínimo relativo em
Î D( f ) onde (exemplo 1).
Teste da derivada segunda = Sejam neste intervalo, isto é, ) então: tem um valor máximo relativo em tem um valor mínimo relativo em
Encontre os máximos e mínimos relativos de
12 x^2 e f ”( x ) = 6
) = 0, obtemos 18 + 6 x – , que são x 1 =
30 < 0, segue que x 1 =
1 é dado por
) onde f ” é contínua e tal que
Sejam f uma função derivável num intervalo ( neste intervalo, isto é, f ’ (
tem um valor máximo relativo em tem um valor mínimo relativo em
Encontre os máximos e mínimos relativos de
) = 6 – 24 x.
é um ponto de máximo relativo de
1 é dado por f ’’ = 20,25.
. Seu valor mínimo relativo em x 2 é dado por
é contínua e tal que
uma função derivável num intervalo ( ’ ( c ) = 0, com
tem um valor máximo relativo em c. tem um valor mínimo relativo em c.
Encontre os máximos e mínimos relativos de
= 0. Resolvendo esta equação obtemos
é um ponto de máximo relativo de
é contínua e tal que f ” ’’( c ) = 0 é um ponto
uma função derivável num intervalo ( ) = 0, com a < c < b. Se
Encontre os máximos e mínimos relativos de f , aplicando o teste da
= 0. Resolvendo esta equação obtemos
é um ponto de máximo relativo de
1 é um ponto de mínimo
) = 0 é um ponto
uma função derivável num intervalo ( a , b
. Se f admite a
, aplicando o teste da
= 0. Resolvendo esta equação obtemos
é um ponto de máximo relativo de f. Seu
1 é um ponto de mínimo
) = 0 é um ponto
b ) e admite a
, aplicando o teste da
= 0. Resolvendo esta equação obtemos
1 é um ponto de mínimo
f(x)=2x^3 – 18x^2 + 30x + 40
f`(x)= 6x^2 – 36x + 30x
fatorando através da fórmula de Báskara
∆=b^2 -4.a.c
∆=(36)^2 -4.(6).(30)
x’ = 36+24/
x’ = 60/
x’=
x”=36-24/
x”=12/
x”=
Calculando o máximo e mínimo locais, substituindo os valores:
da função de f(x), determinando os valores da função nos pontos encontrados, bem
Passo 1 problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a quantidade mínima de
Deseja como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a altura da caixa mede h.
o volume da caixa é de 72 cm minimizar a quantidade de material.
M=material total usado na caixa
Parte inferior da caixa = 2x.x
Parte superior da caixa = 2x.x
Temos: 2.(2x.x) = 4x
Em uma lateral da = 2.(x.h)+2(2x.h)
= 2xh+4xh
Temos: 6.(x.h) = 6.x.h
Passo 1 – Faça a leitura do capítulo 4 problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a quantidade mínima de
Deseja-se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a altura da caixa mede h.
volume da caixa é de 72 cm minimizar a quantidade de material.
M=material total usado na caixa
Parte inferior da caixa = 2x.x
Parte superior da caixa = 2x.x
Temos: 2.(2x.x) = 4x
Em uma lateral da = 2.(x.h)+2(2x.h)
= 2xh+4xh
Temos: 6.(x.h) = 6.x.h
Faça a leitura do capítulo 4 problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a quantidade mínima de papelão utilizado em sua construção:
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a altura da caixa mede h.
volume da caixa é de 72 cm minimizar a quantidade de material.
M=material total usado na caixa
Parte inferior da caixa = 2x.x
Parte superior da caixa = 2x.x
Temos: 2.(2x.x) = 4x^2
Em uma lateral da = 2.(x.h)+2(2x.h)
Temos: 6.(x.h) = 6.x.h
Faça a leitura do capítulo 4 problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a papelão utilizado em sua construção:
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a
volume da caixa é de 72 cm^3 e a caixa deverá ser construída de maneira a minimizar a quantidade de material.
M=material total usado na caixa
Parte inferior da caixa = 2x.x
Parte superior da caixa = 2x.x
Em uma lateral da = 2.(x.h)+2(2x.h)
Faça a leitura do capítulo 4 – seções 4.3 e 4.5 do PLT e resolva o problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a papelão utilizado em sua construção:
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a
e a caixa deverá ser construída de maneira a
seções 4.3 e 4.5 do PLT e resolva o problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a papelão utilizado em sua construção:
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a
e a caixa deverá ser construída de maneira a
seções 4.3 e 4.5 do PLT e resolva o problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a papelão utilizado em sua construção:
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a
e a caixa deverá ser construída de maneira a
seções 4.3 e 4.5 do PLT e resolva o problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a
e a caixa deverá ser construída de maneira a
seções 4.3 e 4.5 do PLT e resolva o problema da caixa abaixo, determinando as dimensões da mesma e também a
se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1. A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a
e a caixa deverá ser construída de maneira a
2x.x.h=72cm^3
2x^2 .h=
h=72/2x^2
h=36/x^2
Isso significa que:
Material dos lados da caixa
6.x.h
Substituindo o valor de h na fórmula temos:
6.x.(36/x^2 )
216.x/x^2 , cortando x de x^2 temos:
216/x
Obtemos assim a fórmula para a quantidade total de papel (M), usado na caixa:
M=4.x^2 +(216/x)
O domínio dessa função é o conjunto de todos os x>0. Vamos agora usar o cálculo para encontrar o mínimo de M e os pontos críticos.
4.x^2 +(216/x) =
〱 〱け
M’ = 2.4x2-1+(-1).216x-1-
M’ = 8x+(-216x-2)
M’ = 8x-216 x-2=0 logo temos
8x=216/x^2
8x. x^2 =
