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F´ısica Matem´atica I
Jorge L. deLyra
28 de Fevereiro de 2010
02: A Simplicidade dos N´umeros Complexos
Vamos resumir os pontos principais sobre n´umeros complexos que temos at´e aqui. Temos a defini¸c˜ao de n´umeros complexos, como pares ordenados de n´umeros reais, z = (x, y), com as duas opera¸c˜oes aritm´eticas que seguem,
soma : z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );
produto : z 1 z 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ).
O conjunto C ´e um corpo, o maior que existe. Os elementos neutros s˜ao (0, 0) (da adi¸c˜ao) e (1, 0) (da multiplica¸c˜ao), e h´a tamb´em a unidade imagin´aria ı , que ´e definida como ı = (0, 1), de forma que qualquer n´umero complexo z pode ser escrito como
z = (x, y) = x + ı y.
H´a algumas opera¸c˜oes adicionais que podem ser definidas: a conjuga¸c˜ao complexa,
z = (x, y) = x + ı y ⇒ z∗^ = (x, −y) = x − ı y,
ou seja, trata-se de trocar ı por −ı. H´a tamb´em o m´odulo de um n´umero complexo,
|z| =
x^2 + y^2 =
z∗z,
que ´e sempre um n´umero real n˜ao-negativo, e que s´o ´e nulo para z = 0. Apesar de C n˜ao ser um corpo ordenado, ´e poss´ıvel atribuir-se uma dimens˜ao de magnitude aos n´umeros complexos, com o uso do m´odulo. Desta forma, podemos comparar magnitudes dentro de C. Toda a aritm´etica e a ´algebra complexas s˜ao idˆenticas `as dos n´umeros reais, de forma que podemos manipular n´umeros complexos exatamente como fazemos com os n´umeros reais. Observe-se que, como no caso dos reais, a divis˜ao s´o ´e problem´atica para o caso de termos z = (0, 0) (ou z = 0, de forma abreviada) no denominador. Considere a divis˜ao de um n´umero complexo z qualquer por um outro n´umero complexo (a, b):
z (a, b)
z a + ı b
= z(a − ı b) (a + ı b)(a − ı b)
=
z(a − ı b) a^2 + b^2
de forma que s´o temos de fato um zero no denominador para a = b = 0. E poss´´ ıvel fazer uma representa¸c˜ao geom´etrica dos n´umeros complexos, como vetores em um plano, usando as partes real e imagin´aria como coordenadas cartesianas, como se vˆe a seguir.
Fig. 1: O plano complexo, caracterizando os casos dos n´umeros (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (1, 1).
Assim como ´e o caso para vetores, podemos representar os n´umeros complexos tanto em coordenadas cartesianas quanto com coordenadas polares. Enquanto as coordenadas na representa¸c˜ao cartesiana s˜ao as partes real e imagin´aria, para a representa¸c˜ao polar podemos definir as vari´aveis ρ = |z| e θ, que ´e o ˆangulo que o vetor z forma com o eixo x, onde colocamos as partes reais dos vetores. Desta forma, al´em de z = x + ı y podemos escrever
z = ρ[cos(θ) + ı sin(θ)].
As opera¸c˜oes aritm´eticas com os n´umeros complexos correspondem a opera¸c˜oes com estes vetores. A soma de dois n´umeros complexos transforma-se em uma soma vetorial, como ilustrado a seguir.
Fig. 2: A soma de dois n´umeros complexos gen´ericos, interpretados como vetores no plano complexo.
A multiplica¸c˜ao de dois n´umeros complexos envolve uma rota¸c˜ao de vetores, correspondendo a uma soma dos ˆangulos de cada um deles. Se os dois vetores forem de m´odulo unit´ario, ent˜ao trata-se puramente de uma rota¸c˜ao. Podemos ilustrar isto de forma simples fazendo o produto dos n´umeros
2 /2 + ı
2 /2, que tem m´odulo unit´ario e um ˆangulo de π/4, e ı , que tamb´em tem m´odulo unit´ario e um ˆangulo de π/2, como se vˆe a seguir.
O conceito de limite no caso dos n´umeros complexos ´e fundamentalmente o mesmo do caso real, quando tratamos de fun¸c˜oes de mais de uma vari´avel real. Ele ´e de fato idˆentico ao conceito de limite que se aplica a fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis. A diferen¸ca ´e que as magnitudes dos n´umeros e das distˆancias entre pontos, em vez de serem unidimensionais como na reta real, s˜ao aqueles que se aplica ao plano R^2. Os m´odulos de diferen¸cas de n´umeros reais que aparecem nas defini¸c˜oes de limites s˜ao simplesmente trocados pelos cor- respondentes m´odulos de diferen¸cas de vetores. Outra diferen¸ca importante ´e que os limites se processam ao longo de curvas em R^2. Por exemplo, no limite que leva a derivada, como discutido acima, ´e dz → 0, o que significa que o n´umero complexo dz deve se aproximar da origem do plano complexo. Entretanto, este limite pode se processar de muitas formas diferentes, ao longo de diferentes curvas que passam pela origem, e n˜ao apenas ao longo de uma reta. De voltaa an´alise real, vamos discutir uma rela¸c˜ao entre determinadas fun¸c˜oes, a f´ormula de Euler, que est´a associada ao teorema de DeMoivre sobre as potˆencias intei- ras de um n´umero complexo de m´odulo unit´ario, teorema este que afirma que
[cos(θ) + ı sin(θ)]n^ = cos(nθ) + ı sin(nθ).
Como se pode ver aqui, trata-se na realidade de uma generaliza¸c˜ao dos exemplos de multi- plica¸c˜ao de n´umeros complexos que examinamos acima. Devido ao teorema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais or- din´arias lineares, associadas a condi¸c˜oes auxiliares adequadas, estas equa¸c˜oes podem ser entendidas como uma forma de se definir fun¸c˜oes. Por exemplo, podemos definir a fun¸c˜ao exponencial atrav´es de
df (x) dx
= f (x), f (0) = 1 ⇒ f (x) = ex^ = exp(x).
Esta ´e uma equa¸c˜ao de primeira ordem, mas tamb´em podemos fazer o mesmo com equa¸c˜oes de segunda ordem, desde que existam duas condi¸c˜oes auxiliares:
d^2 f (x) dx^2 = −f (x), f (0) = 1 e f ′(0) = 0 ⇒ f (x) = cos(x), d^2 f (x) dx^2 = −f (x), f (0) = 0, e f ′(0) = 1 ⇒ f (x) = sin(x).
onde f ′^ ´e uma abrevia¸c˜ao para a derivada de f. Como a aritm´etica complexa ´e idˆentica `a real, e como o conceito de limite tamb´em ´e o mesmo nos dois casos, podemos usar a primeira equa¸c˜ao acima para definir a exponencial para argumentos imagin´arios. Consideremos f (ı ω) = exp(ı ω); na equa¸c˜ao que define a exponencial vamos substituir x por ı ω e vamos assumir que f = u + ı v = u(ω) + ı v(ω). Com isto, temos que dx = ı dω, df = du + ı dv, e portanto a equa¸c˜ao df = f dx pode ser escrita como
du + ı dv = (u + ı v)ı dω = ı u dω − v dω.
Igualando separadamente as partes real e imagin´aria obtemos
d u = −v dω ⇒
du dω = −v,
d v = u dω ⇒ dv dω
= u,
onde a primeira linha corresponde a parte real e a segundaa parte imagin´aria da equa¸c˜ao. Note-se que todas as derivadas consideradas aqui s˜ao reais, aquelas com as quais j´a estamos familiarizados no c´alculo real. Se compusermos as duas equa¸c˜oes acima, teremos
d^2 u dω^2 = −u e
d^2 u dω^2 = −v.
Considerando agora as condi¸c˜oes auxiliares para esta equa¸c˜ao, partimos de f (0) = u(0) + ı v(0) = 1, o que implica que u(0) = 1 e v(0) = 0, o portanto que u′(0) = −v(0) = 0 e v′(0) = u(0) = 1, levando finalmente a equa¸c˜oes separadas para u e v, com suas respectivas condi¸c˜oes auxiliares,
d^2 u dω^2 = −u, u(0) = 1 e u′(0) = 0, d^2 v dω^2 = −v, v(0) = 0 e v′(0) = 1.
Estas equa¸c˜oes s˜ao as que definem as fun¸c˜oes reais sin(ω) e cos(ω), de forma que temos u(ω) = cos(ω) e v(ω) = sin(ω), respectivamente. Segue que temos a (util´ıssima) rela¸c˜ao
eı ω^ = cos(ω) + ı sin(ω),
que ´e a f´ormula de Euler. A partir disso, assumindo as propriedades usuais da fun¸c˜ao exponencial, que podem ser compreendidas como consequˆencias da aritm´etica completa, obtemos a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao exponencial para um argumento complexo z = x + ı y, ou fun¸c˜ao exponencial complexa,
ez^ = ex+ı y^ = ex[cos(y) + ı sin(y)],
que ´e a forma geral da fun¸c˜ao exponencial para argumentos complexos, em termos de correspondentes fun¸c˜oes reais. Este ´e nosso primeiro exemplo de uma fun¸c˜ao complexa. A representa¸c˜ao polar de um n´umero complexo z pode agora ser escrita em termos do seu m´odulo ρ e do ˆangulo θ como
z = ρ[cos(θ) + ı sin(θ)] = ρ eı θ.
Note-se como fica agora mais clara a interpreta¸c˜ao da multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos em termos da soma de ˆangulos. A divis˜ao est´a agora claramente relacionada a diferen¸ca dos ˆangulos, e a invers˜aoa troca de sinal do ˆangulo. Estamos agora em posi¸c˜ao de dar a defini¸c˜ao completa de uma fun¸c˜ao complexa: ´e um mapeamento de C em C. Dada a vari´avel complexa z = x+ı y, podemos definir uma fun¸c˜ao complexa w(z) por meio da defini¸c˜ao de suas partes real e imagin´aria, com
w(z) = u(x, y) + ı v(x, y),
onde u e v s˜ao duas fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis, as vari´aveis x e y. Apesar de que isto n˜ao ´e t˜ao claro em nosso primeiro exemplo, a fun¸c˜ao exponencial pode tamb´em ser definida por meio da aritm´etica complexa, atrav´es de uma s´erie de potˆencias que veremos mais tarde. A defini¸c˜ao por indu¸c˜ao a partir de exemplos reais, como a que fizemos, consiste de um caso muito particular de escolha das fun¸c˜oes u e v. Podemos exibir agora alguns exemplos simples, usando a aritm´etica. Come¸camos com as potˆencias,
w 1 (z) = z, wn(z) = zn,
temos w(z) = u + ı v = (x^2 − y^2 ) + 2ı xy, o que d´a u = x^2 − y^2 e v = 2xy. E f´´ acil verificar que mesmas as condi¸c˜oes est˜ao satisfeitas,
∂u ∂x = 2x =
∂v ∂y
∂u ∂y
= 2y = − ∂v ∂x
As duas condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann,
∂u ∂x
∂v ∂y
∂u ∂y
∂v ∂x
s˜ao v´alidas de forma geral para fun¸c˜oes complexas induzidas de fun¸c˜oes reais como as que mostramos acima. Podemos generalizar isto para uma potˆencia qualquer zn, n > 2, usando o m´etodo de indu¸c˜ao finita. Come¸camos assumindo o resultado para wn− 1 (z),
wn− 1 (z) = zn−^1 = un− 1 + ı vn− 1 , ∂un− 1 ∂x
∂vn− 1 ∂y
∂un− 1 ∂y
∂vn− 1 ∂x
Verificamos ent˜ao qual ´e a situa¸c˜ao para a fun¸c˜ao seguinte,
wn(z) = un + ı vn = zn^ = wn− 1 (z) z = (un− 1 + ı vn− 1 )(x + ı y).
Ap´os uma r´apida manipula¸c˜ao alg´ebrica, obtemos para un e vn
un = un− 1 x − vn− 1 y, vn = un− 1 y + vn− 1 x.
Tomando as derivadas parciais de un em rela¸c˜ao a x e de vn em rela¸c˜ao a y obtemos
∂un ∂x
∂un− 1 ∂x x + un− 1 −
∂vn− 1 ∂x y, ∂vn ∂y
∂vn− 1 ∂y
y + un− 1 + ∂vn− 1 ∂y
x,
e utilizando as rela¸c˜oes para o caso n − 1 na primeira equa¸c˜ao acima, verificamos que o segundo termo dela se torna idˆentico ao segundo termo da segunda equa¸c˜ao, de forma que obtemos a primeira condi¸c˜ao de Cauchy-Riemann,
∂un ∂x
∂vn ∂y
o que completa a demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao. O outro caso ´e semelhante, bastando conside- rar as duas outras derivadas parciais de un e vn, em lugar das que foram consideradas aqui,
e deixamos a demonstra¸c˜ao como exerc´ıcio. Ele resulta na segunda condi¸c˜ao de Cauchy- Riemann,
∂un ∂y
∂vn ∂x
Podemos mostrar tamb´em que as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann valem para a fun¸c˜ao w(z) = 1 /z, em quase todos os pontos do plano complexo. Usando a aritm´etica complexa, com z = x + ı y, vemos que
w =
z
x + ı y
x − ı y x^2 + y^2 = x x^2 + y^2
− ı y x^2 + y^2
de forma que, como w(z) = u + ı v, resulta que temos
u(x, y) =
x x^2 + y^2
v(x, y) = − y x^2 + y^2
Tomando as derivadas parciais apropriadas destas duas fun¸c˜oes obtemos
∂u ∂x
x^2 + y^2
2 x^2 (x^2 + y^2 )^2
=
−x^2 + y^2 (x^2 + y^2 )^2
e
∂v ∂y
x^2 + y^2
2 y^2 (x^2 + y^2 )^2
=
−x^2 + y^2 (x^2 + y^2 )^2
de onde segue a primeira rela¸c˜ao,
∂u ∂x
∂v ∂y
De forma an´aloga, obtemos tamb´em a segunda rela¸c˜ao,
∂u ∂y
∂v ∂x
cuja dedu¸c˜ao deixamos como exerc´ıcio. Vemos assim que as rela¸c˜oes de Cauchy-Riemann est˜ao satisfeitas para a fun¸c˜ao w = 1/z. Note-se entretanto que neste caso as rela¸c˜oes n˜ao valem nem fazem sentido no ponto z = 0, devido aos fatores de x^2 + y^2 que aparecem no denominador em todas as derivadas. Portanto neste caso as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann
Usando agora as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann para uf , vf , ug e vg, segue a primeira condi¸c˜ao para u e v. A segunda condi¸c˜ao pode ser obtida de forma an´aloga, e a deixamos como exerc´ıcio. Finalmente, pode-se mostrar que a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes anal´ıticas tamb´em ´e anal´ıtica, dentro do dom´ınio composto de analiticidade das duas fun¸c˜oes. Assim como no caso do produto a demonstra¸c˜ao se reduz a formula de Leibnitz para a derivada de um produto eas rela¸c˜oes de Cauchy-Riemann para as duas fun¸c˜oes originais, no caso da composi¸c˜ao a demonstra¸c˜ao se reduz a formula da regra da cadeia para a derivada de uma fun¸c˜ao composta, eas rela¸c˜oes de Cauchy-Riemann para as duas fun¸c˜oes originais. A demonstra¸c˜ao deste caso ´e deixada integralmente como exerc´ıcio.
