Baixe Complexos números .. e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Processo Seletivo Estendido 2017
Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR
1 Números complexos
Exercício 1.1 Sejam a = 3 − 2 i, b = −1 + 3i, c = 2 + 2i e d = i. Calcule:
(a) a + 2b; (b) c + d; (c) a · b; (d) c · d;
(e) a−^1 ; (f ) c/b; (g) b/c; (h) d−^1 ;
(i) a/d; (j) a · c; (k) d−^1 ; (l) |b − c|;
(m) d^2017 ; (n) a + b + c + d;
Exercício 1.2 Resolva as equações abaixo, considerando as possíveis soluções comlexas.
(a) x^2 = − 1 ; (b) x^2 + 5 = 0; (c) x^2 − 2 x + 8 = 0;
(d) 3 x^2 + 2x + 1 = 0; (e) x^2 − 4 x + 8 = − 0 ; (f ) x^2 − 8 x + 5 = 0;
(g) x^2 + 2ix − 2 = 0;
(h) x^2 + ix + 2 = 0;
Exercício 1.3 Obtenha a forma polar dos números abaixo.
(a) z = 1 + i√ 3 ; (b) z = − 3
√ 3 2 +^ i^32 ; (c) z = 1 − −i;
(d) z = − 3 − i 3 √ 3 ; (e) z = − 2 i; (f ) z = √2 + i√ 2 ;
(g) z = − 5 √3 + − 5 i;
(h) z = − 12 + i
√ 3 2 ;
Exercício 1.4 Resolva as equações abaixo:
(a) 2 z + z 2 = 3i + 2; (b) 2 z + − 3 z = 2i;
(c) z^2 + 2z + 1 = 0; (d) zz = 1;
Exercício 1.5 Obtenha a forma algébrica dos números abaixo.
(a) (−1 + i)^20 ; (b) (− 1 − √ 3 i)^8 ; (c)
2 +^ i^32
(d) (−3 + i√ 3 )^6 ; (e) (1 + i√ 3 )^4 ; (f ) (
2 − i
2)^2 ;
(g) (−1 + i√ 3 )^7 ;
(h) (−
3 − i)^10 ;
Exercício 1.6 Obtenha todas as soluções das equações abaixo e as represente no plano complexo.
(a) x^4 = 16; (b) x^3 = 8i; (c) x^4 = − 81 ;
(d) x^2 = −18 + 18
(e) x^8 = 256; (f ) x^6 = 8;
(g) x^6 = − 1728 ;
(h) x^8 = 1;
Exercício 1.7 Calcule
(a) i^20 ; (b) i^72 ; (c) i^1041 ;
(d) i^100 ; (e) i^207 ; (f ) (1 + i)^20 ;
(g)
( (^) 1 + i 1 − i
(h) 1 + i + i^2 +... + i^1992 ;
Exercício 1.8 Sendo n um número inteiro, que valores pode ter in^ + i−n?
Exercício 1.9 Determine a ∈ R tal que (^) 1 +a^ + ai^ i seja um número real.
Exercício 1. Prove as seguintes a rmações
(a) z = z;
(b) se z 6 = 0, então
z
=^1 z ;
(c) se z 6 = 0, então
( (^) w z
= wz ;
(d) se z 6 = 0, então
∣∣^1
z
|z| ;
(e) se z 6 = 0, então
∣ wz
∣ =^ ||wz|| ;
(f ) se |z| = 1, então (^1) z = z;
(f ) se (^1) z = z, então |z| = 1;
Exercício 1.11 Suponha que (z)n^ = zn. Prove que se z é uma solução complexa da equação
anxn^ + an− 1 xn−^1 +... a 1 x + a 0 = 0, com aj ∈ R,
então z também é uma solução desta equação.
Exercício 1.12 Seja P um polinômio de coe cientes reais tal que P (1 − i) = 2 + 3i. Determine P (1 + i).
Exercício 1.13 Mostre que se z = |z|(cos(θ) + i(θ)) então z = |z|(cos(−θ) + i(−θ)).
Exercício 1.14 Admitindo a fórmula eix^ = cos(x) + isen(x):
(a) Calcule e^2 πi;
(b) Calcule eπi/^4 ;
(c) Prove que
cos(x) = e
ix (^) + e−ix 2 e^ sen(x) =^
eix^ − e−ix 2 i ; Exercício 1.15 Mostre que se z 1 , z 2 e z 3 são vértices de um triângulo equilátero, então z^21 + z^22 + z^23 = z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3.
