Baixe Aula 02 Estatística e outras Notas de aula em PDF para Direito, somente na Docsity!
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
AULA 02: Tópicos de análise combinatória
SUMÁRIO PÁGINA
Conceitos Básicos 2 Arranjo 4 Combinação 7 Permutação 10 Lista de Exercícios resolvidos em aula 22 Gabarito 27
Pessoal, a aula de hoje será curta e com poucos exercícios.
-"Está com preguiça, professor”?
Não! O que acontece é que esta matéria não faz parte do conteúdo de estatística e não necessita muito aprofundamento.
-"Então, por que estamos estudando isso”?
Porque tais conhecimentos serão úteis em outras partes de estatística, tal como no estudo de probabilidades.
Diante da impossibilidade de colocar isso em alguma aula de forma que o conhecimento seguisse uma sequência lógica, decidi fazer uma aula dividida em duas partes, sendo que uma delas tratará deste assunto!
Então, chega de papo!
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 1 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
1. Conceitos básicos
Pessoal, toda a ideia desta aula se concentra na pergunta: dado 1 (hum) ou mais conjuntos, quantas combinações são possíveis de serem feitas a partir deles?
Quer um exemplo? Suponha que você queira formar casais de gatos, dada uma amostra de 4 fêmeas e 4 machos. Quantos casais diferentes são possíveis?
Ora, basta olhar o seguinte diagrama:
Perceba que cada uma das fêmeas pode ser combinada com cada um dos 4 machos de forma que há 4 combinações possíveis para cada fêmea.
Agora pense, quantos casais são possíveis? Simples:
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 2 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
2. Arranjo
Está bem, vamos complicar um pouco. No caso do exemplo anterior tudo ficou muito fácil porque estávamos lidando com dois conjuntos distintos. Ou seja, fica fácil visualizar o resultado porque basta combinar dois grupos distintos, no caso, machos e fêmeas.
Entretanto, se você tiver que fazer combinações dentro de um mesmo grupo a coisa complica.
Veja um exemplo: suponha que você tenha um conjunto de 5 gatos e você queira escolher 2 deste bichanos, um para vacina e outro para tomar banho. Quantas formas diferentes há de se fazer isso, sabendo-se que o gato que toma vacina não toma banho?
Ora, primeiro eu quero que vocês tentem resolver este problema usando lógica! Suponha que nossos gatos sejam chamados de "A”, "B”, "C”, "D” e "E”, neste caso nós sabemos que há 5 possibilidades para a escolha de quem vai tomar a vacina:
Vacina Banho 5 possibilidades
Opa! Já temos o primeiro passo de nosk o exercício! E agora, quantas possibilidades temos para o banho?
Vacina Banho 5 possibilidades 4 possibilidades
Assim, quantas combinações possíveis são possíveis?
5 -4 = 20
Exatamente, 20! Simples, não?
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 4 de 27
Estratégia r n N r i i R « ; r > < ;C O N C U R S O S^ Estatística p/ AFRFB Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Na verdade, o que estamos fazendo é combinar elementos de um mesmo grupo, de forma que a ordem de escolha seja importante e não haja reposição dos elementos escolhidos.
Não entendeu? Veja, quando que digo que não há reposição dos elementos é porque, escolhido um elemento, ele não volta a ser considerado para a próxima etapa. Fizemos isso quando eu disse que o gato que toma vacina não toma banho, ou seja, o bichano infeliz de levar uma picada tem a tortura do banho adiada.
Por outro lado, quando eu digo que a ordem deve ser importante é porque cada escolha diferente gera um resultado diferente. Perceba que se o gato "A” é o primeiro escolhido e "B” o segundo, "A” toma vacina e "B” toma banho, o que é totalmente diferente de "B” ter sido escolhido antes de "A”. Sumariamente, em termos de realização:
combinando elementos de um determinado conjunto de forma que a ordem seja importante e que não haja reposição!
Uma forma de encontrar este resultado é por meio da fórmula de arranjo:
Sendo que a mesma refere-se a um arranjo de n elementos em combinações de p unidades.
(A, B) * ( B,A)
Sendo que: (X, Y) = ( 1ã escolha, 2ã escolha ) para todo X e Y.
Isso é um exemplo de arranjo! No arranjo estamos
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 5 de 27
Estratégia r n N r i i R « ; r > < ;C O N C U R S O S^ Estatística p/ AFRFB Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Dica de um concurseiro Pessoal, muitas vezes decorar fórmulas pode ser uma ótima estratégia? Por que? Porque você tem de fazer uma prova em muito pouco tempo. Portanto, fórmula podem te ajudar a ir mais rápido!
Se você aplicar a fórmula ao problema do nosso exemplo:
5! 5! An'v ( n - p )! ( 5 - 2 )! 3!
Ora, é o mesmo resultado! Claro, pois esta é a fórmula que simplifica aquele raciocínio.
-"E se a ordem dos elementos não for importante”?
Aí nós vamos para o próximo tópico.
3. Combinação
Se nós estivermos lidando com um problema semelhante ao anterior, mas no qual a ordem não importa, o raciocínio será diferente. Neste caso, estamos diante de um problema de Combinação.
Vamos a um exemplo: suponha que você tenha um conjunto de 5 gatos e você queira escolher 2 deste bichanos, ambos para vacina , sabendo-se que todo gato só pode tomar uma vacina. Quantas formas diferentes há de se fazer isso?
Agora a coisa mudou. Perceba que a ordem de escolha dos gatos não irá afetar o resultado final, pois ambos os gatos tomarão vacina, independentemente da ordem em que foram selecionados. A título de ilustração, suponha que tenhamos escolhido os gatos "A” e "B”, assim, em termos de realização:
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 7 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
(A, B) = ( B,A)
Sendo que: (X, Y) = ( 1- escolha, 2 - escolha) para todo X e Y. Ou seja, se selecionarmos os gatos "A” e "B”, não importa a ordem de escolha, pois o resultado será o mesmo (ambos tomam vacina).
Portanto, as nossas possibilidades de escolha são:
Vacina Vacina 5 possibilidades 4 possibilidades
Que nos dá um total de ( 5 • 4 = 2 0 ) escolhas.
"-Mas, isso é o mesmo que no caso do arranjo”?
Falta uma coisinha, precisamos excluir os casos repetidos, ou seja, realizações de conjuntos equivalentes. Por exemplo, pode-se considerar que (A, B) equivale à ( B,A), dado que a ordem dos fatores não é importante no caso concreto.
Precisamos dividir o resultado total obtido por meio de um arranjo pela quantidade total de "casos repetidos”. O cálculo da quantidade de casos repetidos pode ser detido da análise dos conjuntos que estamos formando, que é composto por dois elementos, a saber:
( 1 - escolha = x, 2 - escolha = y)
Sabendo-se que cada um destes grupos de escolha contem dois elementos, a quantidade máxima de repetições que cada um pode ter é de duas. Isso pode ser detido da análise da expressão acima, pois, como só há dois elementos em cada conjunto, a única possibilidade de repetição é invertendo a ordem original, tal como:
( 1 - escolha = y, 2 - escolha = x)
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 8 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
4. Permutação
Este é o mais fácil de todos! Pode-se visualizar a permutação como um caso específico da permutação, no qual:
n = p
Assim, o número de elementos a ser combinado é igual à quantidade de observações em cada conjunto, ou seja, só há um conjunto e nós queremos saber quantas são as possibilidades de reordenação das observações em seu interior.
Nós já estudamos isso, certo? Quando nós vimos quantas repetições são possíveis em um conjunto de um determinado número de elementos. No caso, nós vimos que este número é dado por p!. Quer a prova?
Sabendo que a permutação é um caso específico de arranjo quando (n = p), então:
n! n! An'p = ( n - p )! = (Õ)!
Sabendo-se que ( Õ! = 1 ):
^n,p
Esta é a fórmula da permutação.
Um exemplo de uso é no caso de anagramas. Anagrama é uma espécie de jogo na qual, a partir do rearranjamento das letras de uma palavra, são formadas novas palavras. A permutação nos permite visualizar a quantidade de anagramas possíveis a partir de uma palavra qualquer.
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 10 de 27
Estratégia r n N r i i R « ; r > < ;C O N C U R S O S^ Estatística p/ AFRFB Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
A título de ilustração, vamos calcular a quantidade de anagramas que podem ser detidos da palavra "CHÁ”. Ora, basta aplicar nossa fórmula, como há 3 letras na palavra:
Ou seja, podemos reescrever 6 palavras.
Mas, este não é o caso genérico, pois, muitas vezes, precisaremos fazer a permutação com elementos repetidos. Não entendeu? Suponha a palavra "DADO”, neste caso tanto faz se colocarmos o 1° "D” no lugar do segundo, pois a palavra continuará exatamente igual. Assim, para levarmos em conta elementos repetidos, nos basearemos na fórmula:
Beleza pessoal? Vamos fazer alguns exercícios para treinar um pouco.
_(■número de vezes em que o elemento repetido aparece)_
Veja, no caso de DADO:
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 11 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Exercício 2
(ANEEL - ESAF/2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a:
a) 2180 b) 1180 c) 2350 d) 2250 e) 3280
Resolução
Este exercício é mais difícil. Veja um esqueminha do que está ocorrendo:
Perceba que os pontos que estão em linha reta não podem ser combinados entre si de forma a gerarem um triângulo, pois estes só formariam uma reta.
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 13 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Pensar em quantos triângulos podem ser formados é fácil, pois trata-se de uma combinação (a ordem de ligação dos pontos não importa, pois formariam o mesmo triângulo) de 25 elementos em grupos de 3. Entretanto, devemos desconsiderar as combinações resultantes da ligação dos 10 pontos que estão em linha reta. Assim:
triângulos = C25 3 - C 10,
Portanto: tri ângulos = C253 - C10,3 = 25- 24- 23 3 ^. 1^ “ 10- 9- 8 3 2. 1 = 2 300 - 120 = 2180
Letra (a)
(ANAC - CESPE\2009) Julgue os itens a seguir
Exercício 3
O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo escala em São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte ou Brasília é múltiplo de 12.
Resolução
A melhor forma de resolver este exercício é usando uma tabela e dividindo o mesmo em etapas:
Lugar de saída Escala Lugar de chegada 3 opções 4 opções 7 opções
Então, temos (3 - 4- 7 = 84) opções. Este resultado é múltiplo de 12.
Gabarito: certo.
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 14 de 27
Estratégia r n N r i i R « ; r > < ;C O N C U R S O S^ Estatística p/ AFRFB Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Resolução
No caso, agora a ordem não mais afeta o prêmio a ser obtido, tratando-se de um caso de combinação. Assim, teríamos de fazer uma combinação de 6 elementos em grupos de 3:
Gabarito: errado.
Exercício 6
(Elaborada pelo autor) Quantos anagramas são possíveis a partir da palavra “TATÚ”? a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 20
Resolução
A questão deve ser analisada por meio de uma permutação, tal como devemos fazer nos casos de anagramas. Entretanto, atente-se que há duas letras repetidas, portanto:
_(■número de vezes em que o elemento repetido aparece)_
Ou seja, há 12 combinações possíveis. Letra (a).
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 16 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Exercício 7
(AFRE-MG - ESAF/2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60
Resolução
Vamos raciocinar para pensar na melhor forma de abordar a questão. Vamos pensar no total de combinações que podem ser feitas:
A74 = —^ 7! = 7- 6 - 5- 4 = 840
Entretanto, há algumas restrições! Devemos excluir os casos em que as filas não são finalizadas com Ana, Beatriz, Carla ou Denise, além das filas em que a Denise é a primeira. Vamos aos casos em que as a última da fila não é uma das quatro:
1ã da fila 2ã da fila 3ã da fila 4ã da fila 6 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades 4 possibilidades
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 17 de 27
Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Exercício 8
(TFC - ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:
a) 128 b) 495 c) 545 d) 1485 e) 11880
Resolução
Exercício bem simples, pois é só aplicar a fórmula de combinação de forma a encontrar todos quadriláteros possíveis.
-"Por que combinação, professor”?
Ora, a ordem de ligação dos lados do quadrilátero não altera o formato resultante. Veja:
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 19 de 27
Estratégia r n N r i i R « ; r > < ;C O N C U R S O S^ Estatística p/ AFRFB Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
Ligar "A” a "B” dá na mesma do que ligar "B” a "A”, sendo a figura resultante a mesma.
Letra (b).
Exercício 9
(SERPRO - ESAF/2001 - alterada) Em uma sala de aula estão 10 alunos. A professora quer formar quadrilhas entre os alunos, quantas combinações são possíveis?
a) 5040 b) 5050 c) 200 d) 250 e) 210
Resolução
Bom, na combinação de uma quadrilha é fácil perceber que a ordem não importa. Veja, se você tiver uma quadrilha com João, Maria, Pedro e Juliana esse conjunto será o mesmo independentemente da ordem de seleção. Assim:
Então:
12! 12 -1 1-1 0 - ° 12-4 ( 8 )!-4! 4 - 3 - 2 - 1 = 495
Letra (e).
Prof. Jeronymo Marcondes WWW.estrategiaconcursoS.COm.br 20 de 27
