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Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 03

AULA 03 - Probabilidades

SUMÁRIO PÁGINA

Conceitos Básicos 2 Diagrama de Venn e Propriedades 5 Probabilidade Condicional 16 Teorema de Bayes 20 Lista de Exercícios resolvidos em aula 60 Gabarito 72

Bem vindos de volta! Vamos continuar nossa jornada no mundo "maravilhoso” da Estatística. Firmes no propósito, pois em breve você estará na Receita Estadual!

Na aula de hoje iremos estudar Probabilidade e algumas de suas propriedades, tal como o Teorema de Bayes. Mas, antes, uma dica de concurseiro:

y u T

Vamos nessa!

Dica dddeee um concurseiro No mundo dos concursos é muito comum aquela velha expressão: "faz a prova, vai que você dá sorte”. Pessoalmente, não acredito nisso. Os concursos estão cada vez mais concorridos e com pessoas focadas em editais específicos. Não há mais como conseguir passar sem dedicação e muito estudo! Fazer uma prova sem estudar e se dedicar é enriquecer a banca examinadora.

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1. Conceitos básicos

Muitas vezes nos deparamos com as seguintes expressões no dia a dia: "a probabilidade de cair um piano na sua cabeça é pequena”, "a probabilidade de reeleição é grande”, etc. Mas, o que queremos dizer com isso?

Na verdade, isso está muito relacionado com o conceito de "frequência”. Quando se afirma que a probabilidade de algo ocorrer é pequena, está sendo dito que, dado um determinado conjunto de resultados possíveis, o evento em questão ocorre em poucas das realizações deste.

Não entendeu? Vamos a um exemplo. Suponha o lançamento de uma moeda não viciada, isso é, que possui uma cara e uma coroa. Qual a probabilidade de ocorrer "cara”, por exemplo?

Com efeito, há duas possibilidades de realização deste evento: cara ou coroa, entretanto nós só estamos interessados no resultado "cara”, ou seja, em uma destas possibilidades. Portanto, a probabilidade de dar "cara” em um lançamento é:

P(cara) = (^) possibilidades de dar "cara" ou "coroa"possibilidades de dar "cara"^12

-Professor, então, ao lançar uma moeda não viciada, na metade dos lançamentos eu obterei “ cara”?

Não é bem assim! Veja, antes de lançar a moeda, a probabilidade de dar "cara” é

de V 2 , porém pode ser que isso não ocorra. Suponha a realização de três

lançamentos seguidos, pode ser que o resultado seja:

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Nós podemos aprofundar este conceito de forma mais teórica, de forma a facilitar o entendimento. Se você lançar a moeda uma vez, quais são todos os resultados possíveis?

O = (Cara); (Coroa)

E se você lançar duas vezes?

O = (Cara, Coroa); (Coroa, Cara); (Cara, Cara); (Coroa, Coroa)

Este conjunto formado por todas as realizações possíveis (que, no caso, chamamos de O) chama-se espaço amostrai.

Com base neste espaço amostral podemos atribuir uma probabilidade para um determinado evento, sendo este dado por um subconjunto de (O).

Por exemplo, no caso de um lançamento único da moeda, qual a probabilidade de dar "cara”? Nós já vimos esta resposta e sabemos que se trata da probabilidade de ocorrência do subconjunto dado por (cara) do espaço amostral (cara, coroa).

Belezinha? Mas, e a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em dois lançamentos? Bom, olhando nosso espaço amostral definido acima para este caso mostra que isso ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíveis.

Neste caso, cada um daqueles parênteses tem Q- = 0,2 5 = 25%) de chance de ocorrer. Mas, nossa pergunta abrange 3 (três) daqueles casos, isso é, três daquelas realizações atendem ao nosso requisito. Portanto, a probabilidade de ocorrência do subconjunto do espaço amostral composto pelos resultados nos quais ocorrem pelo menos uma cara é de:

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P( 1 cara ao menos) = 1 + 1 +^1 =^3 4 4 4 4

Assim, teoricamente, para um determinado evento A qualquer, sua probabilidade de ocorrência é de:

Maravilha? Vá comer um chocolate e relaxar um pouco, mas volte logo em seguida!

2. Diagrama de Venn e propriedades

Gente, a primeira coisa e mais óbvia é que toda probabilidade se situa entre 0 e 1. Não há como um evento ocorrer mais de 100% das vezes ou menos de 0% das vezes. Essa é a própria ideia da frequência relativa que já estudamos! Portanto, dado qualquer evento "A”:

Assim, a ideia de probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência relativa, haja vista estarmos considerando que o experimento poderia ser realizado várias vezes e que o resultado sempre seria o mesmo. Isso é chamado de “ Abordagem Frequentista da Probabilidade”.

Uma forma interessante de vocês visualizarem probabilidades é pelo diagrama de Venn:

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Quantidade de ve z es que ocorre A

0 < P(A) < 1

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Evento impossível é o caso oposto! Este evento seria composto por elementos não constantes no espaço amostrai, por exemplo, o caso de um lançamento em que não ocorresse nem cara nem coroa!

Outro conceito importante é o de “complementar”. Dada uma probabilidade de um evento “A” qualquer, a probabilidade de seu complementar (Ac) é dada por:

P{AC) = 1 - P{A)

Entendeu? O complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a probabilidade de sua não ocorrência! Para ficar bem legal e fácil, olhe o Diagrama de Venn abaixo:

Dado um evento “A” qualquer, representado pelo círculo acima, o seu complementar é toda a parte vermelha da figura!

Simples! Mas, agora que complica. Vamos a um exemplo para facilitar!

Suponha dois grupos de pessoas concurseiras dentro de uma amostra com bacharéis em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e que outras não passaram em concurso público. Podemos expressar os resultados da seguinte forma:

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Passou Não Passou Total

Engenharia 20 10 30

Direito 40 70 110

Economia 30 60 90

Total 90 140 230

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso a partir desta amostra ter sido estudante de Economia?

Isso não tem segredo! O total de estudantes, ou seja, nosso espaço amostrai é composto por 230 pessoas, sabendo-se que, desse total, 90 são economistas, temos que:

P(economista) = 90 = 0, 392

Mas, e se eu te perguntar qual a probabilidade da pessoa ser formada em Economia e ter passado em concurso? Neste caso, estamos falando de intersecção destes dois subconjuntos. Em termos de Diagrama de Venn:

Viram do que estamos falando? Trata-se de um evento que necessita que as duas condições sejam verdade (ser economista e ter passado em concurso), refere-se à intersecção entre os dois subconjuntos (parte vermelha).

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Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada para identificar a reunião entre dois subconjuntos é “ u N o nosso caso, se chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a reunião entre os mesmos como AuB.

Como você encontraria tal probabilidade?

-“ Ora professor, faria como você fez anteriormente, somando as probabilidades” :

Então, meu amigo, tem um erro aí!

Você percebeu que você está contando o economista que passou duas vezes? Por exemplo, dos 90 que passaram, 30 já são economistas, podendo ser feito o mesmo raciocínio inverso. Em termos de Diagrama de Venn, seria o mesmo que somar:

PÇeconomista ou passou) = (^90) + 90 =^180

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Neste caso, você estará contando duas vezes aquela “partezinha” que é a intersecção entre ambos:

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Ora:

P( 4 u 5 ) = P( 4) + P( 5) - P( 4 n 5)

Vamos começar com o mais fácil, qual é a probabilidade de cair qualquer das faces de um dado? O dado tem 6 faces no total, de forma que a probabilidade de que qualquer delas seja o resultado é de:

P( 1) = P( 2) = P( 3) = P( 4) = P( 5) = P( 6) = -^1

Assim:

P( 4 u 5 )= 1 + 1 - P ( 4 n 5) 6 6

E o último componente que se refere à intersecção entre os dois eventos? Qual é a probabilidade de ocorrer como resultado do experimento uma face do dado com número 4 e 5? É claro que é zero! Veja como seria a representação no Diagrama de Venn:

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Estes eventos não tem intersecção! Ou seja, quando um ocorre o outro não pode ocorrer! Assim, neste caso, aquele último componente de nossa fórmula será igual à zero, de forma que:

Obs. Propriedades

Pessoal, este tópico é muito pouco cobrado em concursos públicos, porém é importante passarmos por ele, afinal não se sabe o que será pedido!

Uma forma de ajudar a decorar tais propriedades é pensando que quando você tira o complemento de n ou u, o resultado é inverter a “barriguinha” da operação. Assim, em termos nem um pouco formais, você deve pensar que:

Assim, para três conjuntos quaisquer chamados de “A”, “B” e “C”, destacam-se as seguintes propriedades:

Beleza? Esta é a menos intuitiva das propriedades, assim, decore! Agora, as outras são bem mais fáceis de serem entendidas, tais como:

( n )c = u ( u )c = n

1. {A n B)c = Ac u B c
2. (A U B) c = A c n B c

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“ Esta propriedade está dizendo que a intersecção de um conjunto com uma reunião de outros dois é equivalente à reunião da intersecção deste conjunto com estes outros dois”. Isso não está a coisa mais bem escrita do mundo, mas, lendo o texto e olhando o gráfico, vocês conseguirão entender o conceito.

3. Probabilidade Condicional

Voltemos a nosso exemplo da pesquisa sobre qual a formação superior que mais aprova em concurso público. Só relembrando a tabela:

Passou Não Passou Total

Engenharia 20 | 10 30

Direito 40 70 110

Economia 30 60 90

Total 90 140 230

Anteriormente, havíamos realizado o cálculo para a probabilidade de que alguém na nossa amostra fosse economista, o que não apresentou maiores dificuldades.

E se tivéssemos a informação a priori de que os economistas em questão se restringiriam àqueles que já passaram em concurso público? Ou seja, qual a

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Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 03 probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o mesmo passou em concurso público?

Você entende o que estou falando? A forma de avaliação não é a mesma, pois, neste caso, temos mais informações do que tínhamos anteriormente e, portanto, devemos nos utilizar dela! Essa é a ideia de probabilidade condicional! A forma usual de representarmos uma probabilidade condicional de um evento qualquer "A”, dado outro evento qualquer "B” é:

P{A\B)

E como poderíamos incorporar esta informação, ou seja, de que forma este cálculo pode ser realizado? Vamos pensar intuitivamente para podermos chegar à fórmula!

Veja o Diagrama de Venn abaixo:

Eu te pergunto, dado que ocorreu "B”, qual parte da figura representa a porção de "A” que pode ocorrer? Exatamente, a intersecção entre os dois conjuntos! Esta parte laranja representa a parcela do evento "A” que é compatível com a informação a priori.

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Pronto:

P(economista\passoú) =

Viram? A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do que encontrar um economista dado que estamos tratando só com os que passaram. A informação adicional nos ajudou a ter uma previsão com mais acurácia!

Retornando à parte mais teórica, o que você acha que está acontecendo se, para dois eventos "A” e "B” quaisquer:

Isso não te lembra nada? Boa! O lançamento da moeda!

Imagine que foram feitos dois lançamentos, qual a probabilidade de "cara” no próximo lançamento dado que "coroa” ocorreu no primeiro? Ora, a probabilidade de ocorrência de "cara” continua igual à 0, 5, pois o resultado do primeiro lançamento não afeta o segundo. Assim:

Este é um exemplo de eventos independentes! A definição de eventos independentes perpassa pela necessidade de que a ocorrência de um não afete a probabilidade de ocorrência do outro. No caso de eventos independentes, podemos reescrever nossa fórmula da seguinte maneira:

P(A\B) = PÇA)

Pecara no 2 Q|coroa no 1Q) = P(cara) = 0, 5

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Quer mais um exemplo?

Suponha que você esteja desmanchando sua árvore de natal e que a mesma só possua bolas vermelha e prata. Sabendo-se que há 10 bolas vermelhas e 10 prateadas, se você fechar os olhos e tirar uma bola, qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha?

Bom, isso é fácil, há 20 bolas no total, sendo que 10 são vermelhas, assim:

Pivermelha) = ^^10 = 0,

Suponha que você tirou uma bola vermelha! Agora, você decide tirar outra bola com os olhos vendados, repondo a que você já tirou. Qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha?

Ora, o evento relacionado à retirada da segunda bola independe do que houve da primeira vez, pois a bola foi reposta na árvore! Assim, fica fácil ver que:

PÇvermelha 2 ã|vermelha 1ã) = PÇvermelha) = 0, 5

Entendeu? Este é um caso de eventos independentes!

4. Teorema de Bayes

À primeira vista você vai pensar que o Teorema de Byes não tem nada demais, pois ele é tão somente uma decorrência do que estudamos na seção anterior. Porém, preciso detalhá-lo para você, pois ele cai muito.

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