German Lozada Cruz
Matemática-IBILCE
UNESP-SJRP
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas-IBILCE
Departamento de Matem´atica
INTRODU ¸C ˜
AO `
A AN ´
ALISE FUNCIONAL
Notas de Aula
german lozada-cruz
2004
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Espaços Metricos e Formas Bilineares, Notas de estudo de Cultura
Este documento aborda a definição e propriedades de um espaço métrico, incluindo a noção de espaço vetorial, produto escalar e ortogonalidade. Além disso, são apresentadas as formas bilineares e suas propriedades, como a simetria, bilinearidade e limitada. O documento também discute a noção de auto-adjuntação de um operador.
Tipologia: Notas de estudo
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas-IBILCE Departamento de Matem´atica
INTRODU ¸C ˜AO `A AN ´ALISE FUNCIONAL
Notas de Aula
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ii
©cGerman Lozada-Cruz Departamento de Matem´atica, IBILCE Universidade Estadual Paulista R. Crist´ov˜ao Colombo, 2265 Jardim Nazareth S˜ao Jos´e do Rio Preto-SP 15054-000, Brazil
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iv SUM ARIO´
4.3 Teorema de Ascoli......................... 107 4.3.1 Aplica¸c˜oes.......................... 110 4.4 Lista de exerc´ıcios.......................... 111
5 O Teorema de Baire 113 5.1 O teorema de Baire......................... 113 5.2 Consequˆencias do Teorema de Baire................ 114 5.2.1 O teorema da aplica¸c˜ao aberta............... 114 5.2.2 O teorema do gr´afico fechado............... 116 5.2.3 O principio da limita¸c˜ao uniforme............. 117 5.2.4 O teorema de Banach-Steinhaus.............. 118 5.3 Lista de exerc´ıcios.......................... 120
Referˆencias Bibliogr´aficas 121
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Introdu¸c˜ao
Estas notas de aulas foram preparadas para ministrar a disciplina Introdu¸c˜ao `a An´alise Funcional para o curso de Bacharelado em Matem´atica. Na elabora¸c˜ao seguimos de perto o livro de Kreysizg [4], usamos as notas de A. N. Carvalho [2], como tamb´em ...
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Cap´ıtulo 1
Espa¸cos M´etricos
1.1 Defini¸c˜ao e exemplos
Defini¸c˜ao 1.1.1 (Espa¸co m´etrico) Um espa¸co m´etrico ´e um par ordenado (X, ρ), onde X ´e um conjunto n˜ao vazio com uma fun¸c˜ao ρ : X × X → [0, ∞) satisfazendo
i) (n˜ao-degenera¸c˜ao) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
ii) (simetria) ρ(x, y) = ρ(y, x), para todo x, y ∈ X
iii) (desigualdade triangular) ρ(x, z) 6 ρ(x, y)+ρ(y, z), para todo x, y, z ∈ X.
A fun¸c˜ao ρ ´e chamada uma m´etrica em X e o n´umero real n˜ao negativo ρ(x, y) ´e chamado a distˆancia de x a y. Os elementos de um espa¸co m´etrico podem ser de natureza bastante arbitr´aria: n´umeros, pontos, vetores, matrizes, fun¸c˜oes, conjuntos, etc. Mas n´os os chamaremos sempre os pontos de X. Exemplos: Exemplo 1. Se X ´e um conjunto n˜ao vazio qualquer definimos ρ : X × X → [0, ∞) por ρ(x, y) =
1 , se x 6 = y 0 , se x = y. A fun¸c˜ao ρ ´e uma m´etrica chamada m´etrica discreta e (X, ρ) ´e um espa¸co m´etrico. Exemplo 2. Subespa¸co: m´etrica induzida. Se (X, ρ) ´e um espa¸co m´etrico, todo subconjunto S ⊂ X pode ser considerado, de modo natural, como espa¸co m´etrico: basta considerar a restri¸c˜ao de ρ a S × S, ou seja usar entre os elementos de S a mesma m´etrica que eles possu´ıam como elementos de X. Quando isto ´e feito, S chama-se um subespa¸co de X e a m´etrica de S diz-se
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4 1.2. Abertos, fechados e vizinhan¸cas
induzida pela de X. Est´a id´eia ´obvia nos permite obter uma grande variedade de exemplos de espa¸cos m´etricos, considerando os diversos subconjuntos de um espa¸co m´etrico dado. Exemplo 3. Consideremos o espa¸co euclideano Rn^ e definamos a seguinte m´etrica ρp : Rn^ × Rn^ → [0, ∞) definida por ρp(x, y) := ‖x − y‖p, x, y ∈ Rn onde
‖ξ‖p =
( (^) ∑n
i=
|ξi|p
) 1 /p , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξn) ∈ Rn, 1 6 p < ∞
‖ξ‖∞ = sup
|ξi| : 1 6 i 6 n
, ξ = (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξn) ∈ Rn.
Ent˜ao (Rn, ρp) ´e um espa¸co m´etrico, 1 6 p 6 ∞. Exemplo 4. Seja
lp =
x = {xn} ∈ Rn(ou Cn) :
∑^ ∞
n=
|xn|p^ < ∞
, 1 6 p < ∞, e
l∞ =
x = {xn} ∈ Rn(ou Cn) : sup{|xn| : n ∈ N} < ∞
Em lp, definimos
‖ξ‖p =
( (^) ∑n
i=
|ξi|p
) 1 /p , se 1 6 p < ∞ e
‖ξ‖∞ = sup
|ξi| : n ∈ N
Se ρp : lp × lp → [0, ∞) ´e definida por ρp(x, y) = ‖x − y‖p, 1 6 p 6 ∞, ent˜ao (lp, ρp) ´e um espa¸co m´etrico. Exemplo 5. Consideremos C([a, b], R) =
f : [a, b] → R : f ´e cont´ınua
Definamos a m´etrica ρ : C([a, b], R) × C([a, b], R) → [0, ∞) por ρ(x, y) = ‖x − y‖∞, x, y ∈ C([a, b], R) e ‖ξ‖∞ = sup{|ξ(t)| : t ∈ [a, b]} para todo ξ ∈ C([a, b], R). Esta m´etrica ´e a chamada m´etrica da convergˆencia uniforme, ou m´etrica do sup.
1.2 Abertos, fechados e vizinhan¸cas
Defini¸c˜ao 1.2.1 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico. Dado um ponto x ∈ X e r > 0 ,
- B(x, r) = {y ∈ X : ρ(x, y) < r}, ´e chamado bola aberta de centro em x e raio r.
- B[x, r] = {y ∈ X : ρ(x, y) 6 r}, ´e chamado bola fechada de centro em x e raio r.
- S(x, r) = {y ∈ X : ρ(x, y) = r}, ´e chamado esfera de centro em x e raio r.
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6 1.2. Abertos, fechados e vizinhan¸cas
Proposi¸c˜ao 1.2.5 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico. A cole¸c˜ao de conjuntos abertos de X tem as seguintes propriedades:
i) ∅, X s˜ao conjuntos abertos,
ii) a uni˜ao de qualquer cole¸c˜ao de conjuntos abertos em X ´e um conjunto aberto,
iii) a interse¸c˜ao de qualquer cole¸c˜ao finita de conjuntos abertos em X ´e um conjunto aberto.
Demonstra¸c˜ao. i). O conjunto ∅ ´e aberto por conven¸c˜ao. Al´em disso a defini¸c˜ao de conjunto aberto ´e trivialmente satisfeita pelo conjunto X. ii) Seja A uma cole¸c˜ao qualquer de conjuntos abertos em X, e denotemos por U a uni˜ao de todos os conjuntos abertos pertencentes a A. Queremos mostrar que U ´e um conjunto aberto. Seja x ∈ U. Ent˜ao x ∈ V para algum conjunto aberto V que pertence a cole¸c˜ao A. Portanto existe δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ V. Mas V ⊂ U, e assim B(x, δ) ⊂ U. Isto mostra que U ´e aberto. iii). Seja V 1 , V 2 , V 3 , ..., Vk uma cole¸c˜ao finita de conjunto aberto em X, e seja V = V 1 ∩ V 2 ∩ ... ∩ Vk. Seja x ∈ V. Ent˜ao x ∈ Vj para todo j, e portanto existem n´umeros reais positivos δ 1 , δ 2 , ...δk tal que B(x, δj ) ⊂ Vj para j = 1, 2 , ..., k. Seja δ = min{δj : j = 1, 2 , ..., k}. Ent˜ao δ > 0 (Isto ´e onde necessitamos do fato que estamos lidando com uma cole¸c˜ao finita de conjunto abertos). Al´em disso B(x, δ) ⊂ B(x, δj ) ⊂ Vj para j = 1, 2 , ..., k e assim B(x, δ) ⊂ V. Isto mostra que a interse¸c˜ao V de conjuntos abertos V 1 , V 2 , ..., Vk ´e um conjunto aberto.
Observa¸c˜ao 1.2.6 Para cada n´umero natural n, denotemos Vn o conjunto aberto no plano R^2 definido por
Vn = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 <
n
A interse¸c˜ao V = ∩n∈NVn = { 0 } ´e a origem e este conjunto n˜ao ´e um subconjunto aberto de R^2. Isto mostra que a interse¸c˜ao de um n´umero infinito de conjuntos abertos num espa¸co m´etrico n˜ao ´e necessariamente um conjunto aberto.
Defini¸c˜ao 1.2.7 O interior A◦^ de um conjunto A ⊂ X ´e uni˜ao de todos os conjuntos abertos de (X, ρ) contidos em A. Isto ´e
A◦^ =
{F : F ´e aberto e F ⊂ A}.
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- Espa¸cos M´etricos 7
Defini¸c˜ao 1.2.8 (Conjunto fechado) Um conjunto F ⊂ X ´e dito fechado em (X, ρ) se F c^ = X\F (complementar de F ) ´e aberto em (X, ρ).
Os seguintes resultados seguem imediatamente do Lema 1.2.3 e Lema 1.2.4.
Lema 1.2.9 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico e seja x 0 ∈ X. Dado qualquer r > 0 , os conjuntos
{x ∈ X : ρ(x, x 0 ) 6 r}, {x ∈ X : ρ(x, x 0 ) > r}
s˜ao fechados. Em particular, o conjunto {x 0 } consistindo de um s´o ponto ´e um conjunto fechado em X.
Seja A alguma cole¸c˜ao de subconjunto de X. Ent˜ao
X\
S∈A
S =
S∈A
(X\S), X\
S∈A
S =
S∈A
(X\S)
(i.e., o complemento da uni˜ao de alguma cole¸c˜ao de subconjunto de X ´e a interse¸c˜ao dos complementos de aqueles subconjuntos, e o complemento da interse¸c˜ao de alguma cole¸c˜ao de subconjuntos de X ´e a uni˜ao dos complementos de estes subconjuntos, de modo que a opera¸c˜ao de tomar complementos converte uni˜oes em interse¸c˜oes e interse¸c˜oes em uni˜oes). O seguinte resultado segue diretamente da Proposi¸c˜ao 1.2.
Proposi¸c˜ao 1.2.10 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico. A cole¸c˜ao dos subconjuntos fechados em X tˆem as seguintes propriedades:
i) ∅, X s˜ao conjuntos fechados,
ii) a interse¸c˜ao de qualquer cole¸c˜ao de conjuntos fechados em X ´e um conjunto fechado,
iii) a uni˜ao de qualquer cole¸c˜ao finita de conjuntos fechados em X ´e um conjunto fechado.
Defini¸c˜ao 1.2.11 O fecho A de um conjunto A ⊂ X ´e a interse¸c˜ao de todos os fechados de (X, ρ) contendo A. Isto ´e,
A =
{F : F ´e fechado e F ⊃ A}.
E claro que^ ´ A ´e fechado se e somente se A = A.
Defini¸c˜ao 1.2.12 Um conjunto A ⊂ X ´e dito denso em X se A = X e nunca denso se A◦^ = ∅.
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- Espa¸cos M´etricos 9
Demonstra¸c˜ao. E claro que´ ρA(x) = 0 para x ∈ A de modo que Fε ⊂ Ac para cada ε > 0 e portanto ∪ε> 0 Fε ⊂ Ac. Agora suponhamos que x ∈ Ac^ ⊂ X, logo existe um ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ Ac, i.e., d(x, y) > ε para todo y ∈ A. Portanto x ∈ Fε e portanto temos mostrado que Ac^ ⊂ ∪ε> 0 Fε. Finalmente ´e claro que Fε ⊂ Fε′ sempre ε′^6 ε.
Defini¸c˜ao 1.2.16 (Vizinhan¸ca) Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico e seja x ∈ X. Um subconjunto N ⊂ X ´e dito uma vizinhan¸ca de x ( em X) se e somente se existe algum δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ N.
Segue diretamente a defini¸c˜ao relevante que um subconjunto V de um espa¸co m´etrico X ´e um conjunto aberto se e somente se V ´e uma vizinhan¸ca de v para todo v ∈ V. Suponhamos que (X, ρX ) e (Y, ρY ) s˜ao dois espa¸cos m´etricos e f : X → Y ´e uma fun¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.2.17 (Fun¸c˜ao cont´ınua) Uma fun¸c˜ao f : X → Y ´e dita cont´ınua em x ∈ X se para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que
ρY (f (y), f (x)) < ε sempre que ρX (y, x) < δ.
Uma fun¸c˜ao ´e dita cont´ınua em X (ou simplesmente cont´ınua) se e somente se esta ´e cont´ınua em x para todo x ∈ X. Note que esta defini¸c˜ao de continuidade para fun¸c˜oes entre espa¸co m´etricos generaliza a defini¸c˜ao de continuidade para fun¸c˜oes de uma vari´avel real ou complexa.
Lema 1.2.18 Sejam X, Y e Z espa¸cos m´etricos e sejam f : X → Y e g : Y → Z fun¸c˜oes cont´ınuas. Ent˜ao a fun¸c˜ao composi¸c˜ao g ◦ f : X → Z ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Denotemos por ρX , ρY e ρZ as m´etricas em X, Y e Z respectivamente. Seja x ∈ X um ponto qualquer. Vamos mostrar que g ◦ f ´e cont´ınua em x. Seja ε > 0 dado. Como a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua en f (x), existe η > 0 tal que ρZ (g(y), g(f (x)) < ε para todo y ∈ Y satisfazendo ρY (y, f (x)) < η. Mas ent˜ao existe algum δ > 0 tal que ρY (f (x′), f (x)) < η para todo x′^ ∈ X satisfazendo ρX (x′, x) < δ. Assim ρZ (g(f (x′)), g(f (x))) < ε para todo x′^ ∈ X satisfazendo ρX (x′, x) < δ, mostrando que g ◦ f ´e cont´ınua en x, como quer´ıamos. Expressando em termos de bolas abertas a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua (Defini¸c˜ao 1.2.17), isto significa que a fun¸c˜ao f : X → Y ´e cont´ınua em x se e somente se dado qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que f leva BX (x, δ)
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10 1.2. Abertos, fechados e vizinhan¸cas
na bola BY (f (x), ε) (onde BX (x, δ) e BY (f (x), ε) denotam as bolas abertas de raios δ e ε em x e f (x) respectivamente). Sejam X e Y conjuntos quaisquer e f : X → Y uma fun¸c˜ao. dado um subconjunto V ⊂ Y , denotamos por f −^1 (V ) a pre-imagem de V sob a aplica¸c˜ao f , definida por f −^1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V }.
Proposi¸c˜ao 1.2.19 Sejam X e Y espa¸co m´etricos, e seja f : X → Y uma fun¸c˜ao. A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua se e somente se f −^1 (V ) ´e um conjunto aberto em X para todo conjunto aberto V de Y.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que f ´e cont´ınua. Seja V ⊂ Y um conjunto aberto. Vamos mostrar que f −^1 (V ) ´e aberto em X. Seja x ∈ f −^1 (V ). Vamos mostrar que existe δ > 0 com a propriedade que BX (x, δ) ⊂ f −^1 (V ). Como x ∈ f −^1 (V ) segue que f (x) ∈ V. Como V ´e aberto, existe ε > 0 com a propriedade que BY (f (x), ε) ⊂ V. Como f ´e cont´ınua em x, existe um delta δ > 0 tal que f leva a bola aberta BX (x, δ) na bola BY (f (x), ε). Assim f (x′) ∈ V para todo ’x′^ ∈ BX (x, δ), mostrando que B(x, δ) ⊂ f −^1 (V ). Com isto temos mostrado que se f : X → Y ´e cont´ınua ent˜ao f −^1 (V ) ´e aberto em X para todo conjunto aberto V em Y. Suponhamos que f : X → Y tem a propriedade que f −^1 (V ) ´e aberto em X para todo conjunto aberto V em Y. Seja x ∈ X um ponto qualquer. Vamos mostrar que f ´e cont´ınua em x. Seja ε > 0 dado. A bola aberta BY (f (x), ε) ´e um conjunto aberto em Y (pelo Lema 1.2.3), portanto f −^1 (BY (f (x), ε)) ´e um conjunto aberto em X o qual contem x. Segue que existe um δ > 0 tal que BX (x, δ) ⊂ f −^1 (BY (f (x), ε)). Temos mostrado assim que, dado qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que f leva a bola aberta BX (x, δ) na bola aberta aberta BY (f (x), ε). Conclu´ımos assim que f ´e cont´ınua em x, como quer´ıamos.
Seja F : X → Y uma fun¸c˜ao entre espa¸cos m´etricos X e Y. Ent˜ao a pre-imagem f −^1 (Y \G) do complemento Y \G de qualquer conjunto G de Y ´e igual ao complemento X\f −^1 (G) da pre-imagem f −^1 (G) de G. De fato
x ∈ f −^1 (Y \G) ⇔ f (x) ∈ Y \G ⇔ f (x) ∈/ G ⇔ x /∈ f −^1 (G).
O seguinte resultado portanto segue diretamente da Proposi¸c˜ao 1.2.19.
Corol´ario 1.2.20 Sejam X e Y espa¸cos m´etricos, e seja f : X → Y uma fun¸c˜ao. A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua se e somente se, f −^1 (G) ´e um conjunto fechado em X para todo subconjunto fechado G de Y.
Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao cont´ınua entre espa¸cos m´etricos X e Y. Ent˜ao, para qualquer ponto y ∈ Y , o conjunto {x ∈ X : f (x) = y} ´e um subconjunto
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12 1.3. Sequˆencias e completamento de espa¸cos m´etricos
Proposi¸c˜ao 1.3.2 Seja A ⊂ X um subconjunto qualquer. Ent˜ao
A =
x ∈ X : ∃ {xn} ⊂ A e xn → x
i.e., o fecho de A ´e o conjunto de seus pontos limites (pontos de acumula¸c˜ao).
Demonstra¸c˜ao.
x /∈ A ⇔ existe um conjunto fechado F com x /∈ F ⊃ A ⇔ x ∈ U := X\F, aberto com U ∩ A = ∅ ⇔ ∃ ε > 0 tal queB(x, ε) ∩ A = ∅ (ent˜ao ρ(x, y) > ε ∀y ∈ A) ⇔ x n˜ao ´e um ponto limite de A.
Lema 1.3.3 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico e {xn} ⊂ X uma sequˆencia de pontos de X a qual converge para algum ponto p ∈ X. Ent˜ao para qualquer ponto y ∈ X, ρ(xn, y) → ρ(p, y) quando n → ∞.
Demonstra¸c˜ao. Seja ε > 0 dado. Queremos mostrar que existe um n´umero natural N tal que |ρ(xn, y) − ρ(p, y)| < ε sempre que n > N. Entretanto N pode ser escolhido tal que ρ(xn, p) < ε sempre que n > N. Mas
ρ(xn, y) 6 ρ(xn, p) + ρ(p, y), ρ(p, y) 6 ρ(p, xn) + ρ(xn, y) para todo n,
portanto
−ρ(xn, p) 6 ρ(xn, y) − ρ(p, y) 6 ρ(xn, p) para todo n,
e portanto |ρ(xn, y) − ρ(p, p)| < ε sempre que n > N , como quer´ıamos.
Lema 1.3.4 Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao entre espa¸cos m´etricos X e Y. f ´e cont´ınua em p ∈ X se, e somente se, para toda sequˆencia {xn} ⊂ X a qual converge para algum ponto p ∈ X implica que a sequˆencia {f (xn)} ⊂ Y converge para f (p).
Demonstra¸c˜ao. Denotemos por ρX e ρY as m´etricas dos espa¸cos m´etricos X e Y respectivamente. Vamos supor que f ´e cont´ınua em p e xn → p. Dado ε > 0, pela continuidade de f em p existe, δ > 0 tal que ρX (x, p) < δ implica que ρY (f (x), f (p)) < ε. Pela convergˆencia de {xn}, temos que existe N ∈ N tal que ρX (xn, p) < δ ∀n > N , agora pela continuidade ρY (f (xn), f (p)) < ε, ∀n > N e isto mostra que f (xn) → f (p). Agora vamos supor que se xn → p implica que f (x) → f (p) ent˜ao f ´e cont´ınua.
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- Espa¸cos M´etricos 13
Suponhamos por absurdo, que f n˜ao seja cont´ınua no ponto p ∈ X. Ent˜ao existe ε > 0, tal que para
δ = 1, existe x 1 ∈ X com ρ(x 1 , p) < 1 e ρ(f (x 1 ), f (p) > ε. δ = 2, existe x 2 ∈ X com ρ(x 2 , p) < 1 / 2 e ρ(f (x 2 ), f (p) > ε .. .
δ = 2, existe x 2 ∈ X com ρ(xn, p) < 1 /n e ρ(f (xn), f (p) > ε.
Portanto existe ε > 0, tal que para n ∈ N, podemos obter xn ∈ X com ρ(xn, p) < 1 /n e ρ(f (xn), f (p)) > ε. Isto nos d´a uma seuqˆencia {xn} ⊂ X, com xn → p sem que f (xn) convirja para f (p).
Lema 1.3.5 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico. Uma sequˆencia {xn} ⊂ X converge para um ponto p se e somente se, dado qualquer conjunto aberto U o qual contem p, existe um n´umero natural N tal que xj ∈ U para todo j > N.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a sequˆencia {xj } converge para p. Seja U um conjunto aberto o qual contem p.. Ent˜ao existe algum ε > 0 tal que B(p, ε) ⊂ U. Mas como xj → p quando j → ∞ existe um n´umero natural N tal que ρ(xj , p) < ε para todo j > N. Se j > N ent˜ao xj ∈ B(p, ε) e assim xj ∈ U. Seja {xj } uma sequˆencia satisfazendo o crit´erio dado acima e seja ε > 0 dado. A bola aberta B(p, ε) ´e um conjunto aberto (Lema 1.2.3). Portanto existe um n´umero natural N tal que, para todo j > N , xj ∈ B(p, ε), e assim ρ(xj , p) < ε. Portanto {xj } converge para p.
Lema 1.3.6 Seja F ⊂ X um conjunto fechado num espa¸co m´etrico (X, ρ) e seja {xj : j ∈ N} uma sequˆencia de pontos de F. Suponhamos que xj → p quando j → ∞. Ent˜ao p pertence a F.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que o limite p da sequˆencia pertence ao complemento X\F do conjunto fechado F. Como X\F ´e aberto, segue do Lema 1.3.5 que existe um n´umero natural N tal que xj ∈ X\F para todo j > N , contradizendo o fato que xj ∈ F para todo j. Esta contradi¸c˜ao mostra que p pertence a F , como quer´ıamos.
Lema 1.3.7 Sejam X um espa¸co m´etrico, A ⊂ X e x ∈ X. Ent˜ao x ∈ A se e somente se dado qualquer ε > 0 , existe algum ponto a de A tal que ρ(x, a) < ε.
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- Espa¸cos M´etricos 15
Lema 1.3.10 Seja X um espa¸co m´etrico completo, e seja A ⊂ X. Ent˜ao A ´e completo se e somente se, A ´e fechado em X.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que A ´e fechado em X. Seja {an} uma sequˆencia de Cauchy em A. Esta sequˆencia de Cauchy converge para um ponto p ∈ X (pois X ´e completo). Mas o limite de qualquer sequˆencia de pontos de A pertence a A, pois A ´e fechado (Lema 1.3.6). Em particular p ∈ A. Conclu´ımos que A ´e completo. Agora suponhamos que A ´e completo. Vamos supor que A n˜ao ´e fechado. Ent˜ao o complemento X\A de A n˜ao ´e conjunto aberto, e portanto existe um ponto p ∈ X\A com a propriedade que B(p, δ) ∩ A 6 = ∅ para todo δ > 0. Ent˜ao podemos encontrar uma sequˆencia {an} de pontos de A satisfazendo ρ(aj , p) < 1 /j para todo n´umero natural j. Esta sequˆencia ´e de Cauchy em A a qual n˜ao converge para um ponto de A, contradizendo a completitude de A. Assim A ´e fechado, como quer´ıamos.
Teorema 1.3.11 O espa¸co m´etrico Rn^ ( com a m´etrica euclideana) ´e um espa¸co m´etrico completo.
Demonstra¸c˜ao. Seja {pn} uma sequˆencia de Cauchy em Rn. Ent˜ao para cada inteiro m entre 1 e n, a sequˆencia {(pn)m} ´e uma sequˆencia de Cauchy de n´umeros reais, onde (pn)m denota a m-esima componente de pn. Mas toda sequˆencia de cauchy de n´umeros reais ´e convergente. Seja qm = limj→∞(pn)m para m = 1, 2 , ..., n, e seja q = (q 1 , q 2 , ..., qn). Afirmamos que pn → q quando n → ∞. Seja ε > 0 dado, existem n´umeros naturais N 1 , N 2 , ..., Nn tal que |(pn)m − qm|^2 < ε/
n sempre que j > Nm (m = 1, 2 , ..., n). Seja N = max{Nm : m = 1 , 2 , ..., n}. Se j > N ent˜ao
|pn − q| =
∑^ n
m=
((Pn)m − qm)^2 < ε^2.
Assim pn → q quando n → ∞. Assim toda sequˆencia de Cauchy em Rn^ ´e convergente, como quer´ıamos. O seguinte resultado segue diretamente do Lema 1.3.10 e o Teorema 1.3.11.
Corol´ario 1.3.12 Um subconjunto A de Rn^ ´e completo se e somente se, este ´e fechado.
Exemplo A esfera Sn^ (com a m´etrica dado por ρ(x, y) = |x − y|) ´e um espa¸co m´etrico completo, onde
Sn^ = {(x 1 , x 2 , ..., xn+1) ∈ Rn+1^ : x^21 + x^22 + · · · + x^2 n+1 = 1}.
German Lozada Cruz
Matemática-IBILCE
UNESP-SJRP
16 1.3. Sequˆencias e completamento de espa¸cos m´etricos
Defini¸c˜ao 1.3.13 (Contra¸c˜ao) Sejam (X, ρX ) e (Y, ρY ) espa¸cos m´etricos. Uma aplica¸c˜ao T : X → Y ´e chamada uma contra¸c˜ao em X se existe k, 0 6 k < 1 , tal que
ρ(T (x), T (y)) 6 kρ(x, y), ∀x, y ∈ X.
Dizemos que x ∈ X ´e um ponto fixo para T se T (x) = x.
Teorema 1.3.14 (Princ´ıpio da Contra¸c˜ao de Banach) Se X ´e um es- pa¸co m´etrico completo e T : X → X ´e uma contra¸c˜ao ent˜ao T tem um ´unico ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Vamos primeiramente prova que T no m´aximo um ponto fixo. Se x e y s˜ao pontos fixos de T , temos que
ρ(x, y) = ρ(T x, T y) 6 kρ(x, y)
e portanto x = y. Vamos agora mostrar a existˆencia. Seja x ∈ X e considere a ´orbita de x
{x, T x, T 2 x, · · · }.
Mostremos que {T nx} ´e uma sequˆencia de Cauchy. De fato: ρ(T n+px, T nx) 6 kρ(T n+p−^1 x, T n−^1 x) 6 · · · 6 knρ(T px, x) 6 kn^
[
ρ(T px, T p−^1 x) + · · · + ρ(T x, x)
]
6 kn^
[
kp−^1 ρ(T x, x) + · · · + ρ(T x, x)
]
6 kn^
[
kp−^1 + · · · 1
]
ρ(T x, x) 6
kn 1 − k
ρ(T x, x)
e como k < 1 temos que {T nx} ´e uma sequˆencia de Cauchy e portanto convergente para algum x 0 ∈ X. Mostremos que x 0 ´e um ponto fixo de T. De fato: T x 0 = T ( lim n→∞ T nx) = lim n→∞ T n+1x = x 0.
Agora vamos ver uma aplica¸c˜ao do Princ´ıpio da Contra¸c˜ao de Banach. Seja U ⊂ Rn+1^ um aberto e conexo e f : U → Rn^ tal que
|f (t, x 1 ) − f (t, x 2 )| 6 L|x 1 − x 2 |, ∀(t, xi) ∈ U, i = 1, 2.
Assuma ainda que f ´e cont´ınua. Consideremos a equa¸c˜ao diferencial
x˙ = f (t, x) (1.3.1)
Se (t 0 , x 0 ) ∈ U , uma solu¸c˜ao local de (1.3.1) passando por (t 0 , x 0 ) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınuamente diferenci´avel φ definida num intervalo I, contendo t 0 em seu interior, tal que φ(t 0 ) = x 0 , (t, φ(t)) ∈ U , ∀t ∈ I e φ˙ = f (t, φ(t)), ∀t ∈ I.