Teoremas Limitantes em Probabilidade: Leis dos Grandes Números e Teorema do Limite Central, Notas de aula de Probabilidade

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ME323D

Introdução aos Modelos

Probabilísticos

Aulas 12 e 13

Profa. Tatiana Benaglia

Teoremas Limite

• Teoremas Limite: resultados teóricos mais importantes na teoria de probabilidade
• Estuda o comportamento de variáveis aleatórias em situações limites
• Os mais importantes são classificados como:

1. Leis dos Grandes Números: condições sob as quais a média de uma sequência de v.a.’s converge para o valor esperado
2. Teorema do Limite Central: condições sob as quais a soma de um grande número de v.a.’s tem uma distribuição de probabilidade que é se aproxima de uma normal

Desigualdade de Tchebyshev: Seja X uma v.a. com média

finita μ e variância σ^2. Então, para qualquer valor k > 0 ,

Algumas Desigualdades...

Desigualdade de Markov: Seja X uma v.a. não negativa, ou

seja, que assume apenas valores reais positivos. Então,

para qualquer valor a > 0 ,

P (X a) 

E(X)

a

P (|X μ| k) 

2

k^2

Similarmente: (^) P (|X μ| < k) 1

k^2

Exemplo

• Um fábrica produz em média 50 itens por semana
• O que pode-se dizer sobre a probabilidade da produção

exceder 75 itens?

Solução: Pela desigualdade de Markov

• Se a variância é 25 , qual a probabilidade de que a

produção semanal seja entre 40 e 60?

Solução: Pela desigualdade de Tchebyshev

P (X 75) 

P (|X 50 | < 10) 1

Regra Empírica pela

Desigualdade de Tchebyshev

k! p=1 – 1/k^2! Interpretação

1.5! 0.56! No mínimo 56% dos dados estão entre 1. desvios padrão da média

2! 0.75! No mímino 75% dos dados estão entre 2 desvios padrão da média

2.5! 0.84! No mímino 84% dos dados estão entre 2. desvios padrão da média

3! 0.89! No mímino 89% dos dados estão entre 3 desvios padrão da média

4! 0.938! No mímino 93.8% dos dados estão entre 4 desvios padrão da média

Exemplo

• A conta em um restaurante local

é R$35 em média, com desvio padrão

de R$8!

• Qual é a porcentagem mínima de

contas entre R$15 e R$55?

Solução:

P (15 < X < 55) = P ( 20 < X 35 < 20)

= P (|X 35 | < 20)

= P (|X 35 | < 2. 5 ⇥ 8)

Desigualdade de = 0. 84 Tchebyshev

Lei dos Grandes Números

• Provada primeiramente pelo matemático James

Bernoulli para o caso em que Xi ~ b(p)

• Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda

honesta

X = 1 (cara) e X = 0 (coroa)

• Pela Lei dos Grandes Números, se lançarmos a moeda n

vezes, a média aritmética (ou a proporção de caras)

deve se aproximar de 0.5 à medida em que n aumenta

• Vamos testar?

Lei dos Grandes Números

• Lançamento de uma moeda honesta

n! # caras!

Proporção!

de caras!

10! 6! 0.60!

100! 59! 0.59!

1000! 497! 0.497!

10000! 5012! 0.501!

Teorema do Limite Central (TLC): Seja X 1 , X 2 , …, Xn

uma sequência de v.a.’s independentes e identicamente

distribuídas, com média μ e variância σ^2. Então:

Teorema do Limite Central

• Resultado mais importante na teoria de probabilidade
• De modo geral, diz que: se o tamanho amostral é grande

o suficiente, a distribuição das médias amostrais pode

ser aproximada por uma distribuição normal, mesmo

que a população original não seja normalmente

distribuída

Xn μ

/

p n

! N (0, 1), quando n! 1

• Considere o lançamento de um dado honesto de 6 faces
• Seja X: o resultado do dado
• X segue uma distribuição

Uniforme Discreta com

Exemplo – Dado Honesto

x 1 2 3 4 5 6

p(x)! 1/6! 1/6! 1/6! 1/6! 1/6! 1/6!

1 2 3 4 5 6

p(x)

V ar(X) =

35

12

E(X) =

7

2

= 3. 5

TLC – Exemplo Uniforme Discreta

Médias Amostrais n= 1

x

f(x)

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

1 2 3 4 5 6

Médias Amostrais n= 2

x

f(x)

1 2 3 4 5 6

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

Médias Amostrais n= 10

x

f(x)

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.

0.^ 0.^ 0.^ 0.^

Médias Amostrais n= 100

x

f(x)

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.

0.^ 0.^ 1.^ 1.^ 2.^

TLC – Exemplo

• Suponha agora que o dado será jogado 420 vezes
• Qual é a probabilidade que a soma dos resultados esteja

entre 1400 e 1550?

• Seja
• Pelo TLC, é equivalente dizer que:
• No nosso problema,

Sn nμ

p n

⇠ N (0, 1), quando n! 1

Sn = X 1 + X 2 +... + Xn

E(S 420 ) = 420 ⇥ 3 .5 = 1470 V ar(S 420 ) = 420^ ⇥^

35

12

= 1225

P (1400  S 420  1550) ⇡ P

✓

1399. 5 1470

35

 Z 

1550. 5 1470

35

◆

= P ( 2. 01  Z  2 .30)

= (2.30) ( 2 .01) = 0.^967

TLC – Regras Práticas

• Para amostras aleatórias com n ≥ 30 , a distribuição das

médias amostrais pode ser bem aproximada pela

distribuição normal, mesmo se a população original

NÃO seja normalmente distribuída

• Populações com distribuições muito “não-normais”

requerem tamanhos amostrais maiores que 30 , mas

estas são exceções raras

• Aproximação é melhor, quando n aumenta
• Se população original for normalmente distribuída,

médias amostrais serão normalmente distribuídas para

qualquer tamanho amostral n!