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DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO
LIMITE CENTRAL
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Pretende-se estudar o seguinte problema: “À medida que o número de repetições de uma experiência cresce, a frequência relativa f (^) A de um acontecimento A “converge”
num certo sentido para a probabilidade teórica P(A)”.
TEOREMA: A LEI DOS GRANDES NÚMEROS ( fórmula de Bernoulli)
Seja ε uma experiência e seja A um acontecimento associado
a ε. Considere-se n repetições independentes de ε e seja n (^) A o
número de vezes em que A ocorre nas n repetições. Façamos
n
n f (^) A = A e seja p = P(A) (que se admite ser a mesma para
todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ , teremos:
( A ) (^2 )
n
p 1 p P f p ⋅ξ
− ≥ξ ≤
ou, de um modo equivalente:
( A ) (^2 )
n
P f p 1 p^1 p ⋅ξ
− <ξ ≥ − ⋅^ −
Demonstração: Seja n (^) A o número de vezes que A ocorra.
Então, n (^) A é uma v.a. com distribuição binomial e portanto:
E ( nA ) = n⋅p e V ( nA ) =n⋅p⋅( 1 −p)
Atendendo a que n
n f (^) A = A , vem:
E ( fA ) = p e ( ) (^ )
n
V f p^1 p A
= ⋅^ −
Aplicando agora a inequação de Chebyshev à v.a. f (^) A obtém-
se:
A (^) k 2
n
P f p k p^1 p ≥ −
e fazendo:
p ( 1 p)
n k n
p 1 p k 2 2 ⋅ −
⋅ξ ⇒ =
ξ= ⋅
resulta:
A (^) n 2
p 1 p P f p 1 ⋅ξ
− <ξ ≥ −
NOTAS:
- Do teorema anterior resulta que:
{ ( A )} 0
n
lim P f p^1 , ξ> →∞
− <ξ = ∀
Um outro aspecto a salientar é que de um modo geral não conhecemos o valor de p = P(A), pelo que não podemos utilizar a expressão:
ξ ⋅ δ
p 1 p n
Nesse caso, podemos majorar a expressão no numerador, que toma o seu valor máximo quando p=1/2 , podendo então afirmar-se o seguinte:
P ( fA − p <ξ) ≥ 1 −δ sempre que
⋅ξ ⋅δ
n^1
Relativamente à lei dos grandes números, há outra formulação a que se dá habitualmente o nome de lei fraca dos grandes números, e que tem o seguinte enunciado:
Seja X 1 , X 2 , ... uma sucessão de v.a. independentes com valor
médio μ e variância σ^2 , isto é:
E ( Xi) =μ e Var ( X i) =σ^2 ∀i
Defina-se uma nova v.a. : n ( X 1 X 2 ... Xn)
n
X = ⋅ + + + ,
então:
E ( Xn) =μ , ( ) n
Var X
2 n = σ e P( X ) 0 lim (^) n n
−μ ≥ξ = → ∞
Demonstração: Os resultados apresentados obtêm-se facilmente aplicando as propriedades do valor esperado e variância e recorrendo à desigualdade de Chebyshev:
n (^) C 2
n
P X C ≤
(^) σ −μ ≥ ⋅
fazendo:
n
ξ =C ⋅ σ vem (^2) 2 n^2 C σ
= ⋅^ ξ
e portanto:
( ) (^2)
2 n n
P X
⋅ξ
σ −μ ≥ξ ≤
isto é:
lim P^ (^ Xn )^0 n
−μ ≥ξ = → ∞ ( X (^) n converge para μ em probabilidade )
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Seja X 1 , X 2 , ..., Xn uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e com a mesma distribuição (que se admite ter variância finita) :
E ( Xi) =μ e Var ( X i) =σ^2 ∀i
Façamos X = X 1 + X 2 + ... + Xn. Então a v.a. Zn definida como:
O teorema do limite central aparece por vezes com um enunciado menos restritivo do que aquele que foi anteriormente apresentado. Em particular, são relaxadas as condições que impõem que as variáveis X 1 , X 2 ,..., Xn sejam independentes e igualmente distribuídas. De facto estas condições são suficientes para que se verifique a aproximação Normal, mas não são necessárias. Assim:
i) As variáveis X 1 , X 2 ,..., Xn podem ter distribuições distintas, desde que a contribuição da variância de cada uma delas para a variância da variável soma seja pequena. ii) As variáveis X 1 , X 2 ,..., Xn podem não ser independentes, desde que as correlações entre elas sejam fracas.
NOTAS:
- O facto das variáveis Xi poderem ter qualquer tipo de distribuição e a respectiva soma poder ser aproximada por uma v.a. com distribuição Normal, constitui a principal razão da importância desta distribuição em Teoria das Probabilidades.
E ( Xi) = μi e Var ( Xi ) =σ i^2 i= 1 , 2 ,...
~ N ( 0 , 1 )
X
Z
n
i 1
2 i
n
i 1
i n ∑ σ
− ∑ μ
=
=
- Vimos anteriormente que a soma de um número finito de v.a. independentes e normalmente distribuídas tem também distribuição Normal. O teorema do limite central salienta que as parcelas não necessitam de ser normalmente distribuídas para que a sua soma seja aproximada por uma distribuição Normal.
APLICAÇÕES DO TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Alguns dos resultados apresentados quando se fez o estudo das v.a. serão agora facilmente justificados como uma consequência da aplicação do teorema do limite central. Assim:
a) Aproximação da distribuição binomial pela normal
Seja Yi ( ∀i ) uma v.a. de Bernoulli, isto é, uma v.a. que
assume o valor 1 quando o resultado da experiência de Bernoulli é um “sucesso” e o valor 0 caso contrário. Como vimos já, para esta v.a. a função de probabilidade é dada por:
p Yi (^1 )^ = p e p Yi (^0 )^ = q= 1 −p , ∀i
Consideremos agora uma v.a. X ~ N(n,p). Esta v.a. pode ser considerada como:
= (^) ∑
n
i 1
X Yi
Uma vez que as v.a. Yi são independentes e igualmente
distribuídas (com variância finita), da aplicação do TLC
DISTRIBUIÇÃO DA SOMA DE UM NÚMERO FINITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (não sujeito a avaliação)*
Consideremos Sn = X 1 + X 2 + ... + Xn , onde os Xi são
variáveis aleatórias independentes (não necessariamente normais) e que n não seja suficientemente elevado para permitir a aplicação do teorema do limite central. Como obter a distribuição de Sn?
TEOREMA: Sejam X e Y duas v.a. independentes, contínuas,
com funções densidade de probabilidade fX ( x) e hY ( y),
respectivamente. Defina-se Z = X + Y e seja gZ ( z)a fdp da
v.a. Z. Então:
g Z ( z) = ∫ fX( w) ⋅hY( z−w) dw
− ∞
Demonstração: Atendendo a que X e Y são v.a. independentes, temos que:
f XY ( x,y) =fX( x) ⋅hY( y)
Efectuando agora a transformação z = x + y e w = x , vem:
1 J 1
J
y z w
x w =− ⇒ = −
e portanto, a fdp conjunta de Z e W é dada por:
k ZW =fX ( w) ⋅hY( z−w)
como gZ (^ z)é a fdp marginal de k ZW obtemos finalmente:
g Z ( z) = ∫ fX( w) ⋅hY( z−w) dw
− ∞
NOTAS:
- O integral acima indicado denomina-se integral de convolução entre f e h , usando-se frequentemente a seguinte notação:
f ∗h= ∫ fX (^ w)^ ⋅hY(^ z−w)^ dw
− ∞
- A distribuição de X + Y é igual à distribuição de Y + X e portanto: f ∗h=h∗ f ou seja:
∫ f^ X (^ x)^ ⋅hY(^ z−x)^ dx= ∫ hY(^ y)^ ⋅fX(^ z−y)^ dy
− ∞
− ∞
- O teorema enunciado pode ser utilizado sucessivamente, embora com uma dificuldade crescente, para se obter a fdp da soma de um número finito qualquer de v.a. contínuas independentes.
O teorema enunciado anteriormente referia-se a v.al. contínuas, porém ele pode também enunciar-se para variáveis discretas, do seguinte modo:
TEOREMA: Sejam X e Y duas v.a. com fgm respectivamente
GX ( t) e GY ( t). Se GX ( t) = GY ( t) ∀ t , então X e Y
têm a mesma distribuição de probabilidade.
TEOREMA: Sejam X e Y duas v.a. independentes. Defina-se
Z = X + Y. Designando por GX ( t), GY ( t)e GZ ( t)as
funções geradoras de momentos respectivamente de X, Y e Z, então:
G Z ( t) =GX( t) ⋅GY( t)
Demonstração:
G Z (^ t)^ =E(^ et⋅^ z)^ =E(^ et⋅(^ x+y))^ =E(^ et⋅x ⋅et⋅y)
= E ( et^ ⋅x ) ⋅E( et⋅^ y) =GX( t) ⋅GY( t)
NOTA: Este teorema pode ser generalizado à soma de n variáveis aleatórias independentes.
