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Cap´ıtulo 2
Espa¸cos de Banach
Faremos aqui uma introdu¸c˜ao aos espa¸cos de Banach e as diferentes topolog´ıas que se podem definir nelas.
2.1 Espa¸cos m´etricos
O conceito de espa¸co m´etrico ´e um dos conceitos mais b´asicos do an´alise funcional. Para que um conjunto n˜ao vazio seja um espa¸co m´etrico apenas ´e suficiente ter definido sobre ele uma aplica¸c˜ao que ser´a chamada de m´etrica. Mais precissamente
Defini¸c˜ao 2.1.1 Diremos que um conjunto n˜ao vazio X ´e um espa¸co m´etrico, se sobre ele est´a definida uma fun¸c˜ao d : X × X → R
satisfazendo as seguintes propriedades
- d(x, y) = 0 se e somente se x = y.
- A fun¸c˜ao d ´e sim´etrica, isto ´e d(x, y) = d(y, x)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular)
A fun¸c˜ao d ´e chamada de m´etrica.
Um espa¸co m´etrico esta definido desta forma pelo par ordenado (X, d). Note que n˜ao precissamos ter definida nenhuma opera¸c˜ao sobre X. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 2.1.1 Tomemos o conjunto de pontos P = {x 1 , x 2 , · · · , xn}. Definimos sobre este conjunto a fun¸c˜ao d : P × P → R
da seguinte forma d(xi , xj ) = 1 − δij
20 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
onde δij ´e o delta de Kronoeker, definida como
δij = 0, se i 6 = j, δii = 1.
Exemplo 2.1.2 Denotemos por X =
x ∈ R^3 ; ‖x‖ ≤ 1
. Sobre este conjunto defini- mos a fun¸c˜ao d : X × X → R da seguinte forma d(x, y) = ‖x − y‖ claramente esta fun¸c˜ao d satisfaz as condi¸c˜oes de m´etrica, portanto o par (X, d) ´e um espa¸co m´etrico.
Exemplo 2.1.3 Denotemos por X = C^1 (a, b) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas definidas sobre o conjunto fechado [a, b] com derivadas cont´ınuas. Sobre este conjunto definimos a fun¸c˜ao
d(f, g) = sup x∈[a,b]
|f (x) − g(x)| + sup x∈[a,b]
|f ′(x) − g′(x)|
´e simples verificar que este ´e um espa¸co m´etrico.
Exemplo 2.1.4 Seja X =
f ∈ C^1 (a, b); |f (x)| ≤ 1 , ∀x ∈ [a, b]
Se definimos sobre este espa¸co a m´etrica d(f, g) = sup x∈[a,b]
|f (x) − g(x)|
Concluimos que este (x, d) ´e um espa¸co m´etrico.
Defini¸c˜ao 2.1.2 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Diremos que (xμ)μ∈N ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy no espa¸co m´etrico X se xμ ∈ X para todo μ ∈ N e ainda verifica que para todo > 0 existe N > 0 tal que
μ, ν ≥ N ⇒ d(xμ , xν ) <
Quando toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e convergente, diremos que o espa¸co m´etrico ´e com- pleto.
Exemplo 2.1.5 O conjunto dos n´umeros reais com a m´etrica dada pelo valor absoluto ´e um espa¸co completo. Fato, suponhamos que (xμ)μ∈N) seja uma seq¨uˆencia de Cauchy, ent˜ao teremos que ela ´e limitada. Dado > 0 existe N > 0 tal que
μ, μ 0 > N ⇒ |xμ − xμ 0 | < .
Fixemos agora o ponto μ 0. Da desigualdade triangular teremos que
|xμ| < |xμ − xμ 0 | + |xμ 0 | < + |xμ 0 |.
22 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
μ ≥ N 2 ⇒ |fμ(y) − f (y)| <
Denotemos por N = max {N 1 , N 2 }. Por outro lado, pela continuidade de fμ teremos que existe δ > 0 tal que
|x − y| < δ ⇒ |fμ(x) − fμ(y)| <
Da desigualdade triangular obtemos que
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − fμ(x)| + |fμ(x) − fμ(y)| + |fμ(y) − f (y)|
Tomando μ > N e |x − y| < δ concluimos que
|f (x) − f (y)| ≤
De onde segue a continuidade da f. Portanto f ∈ C(a, b). Logo o espa¸co ´e completo.
2.2 Espa¸cos normados
A estrutura de espa¸co m´etrico ´e uma estrutura b´asica onde isolamos o conceito de m´etrica, para definir sobre ela uma convergˆencia de seus elementos. Os espa¸cos nor- mados s˜ao estruturas mais ricas, isto ´e s˜ao conjuntos n˜ao vazios que possuem duas opera¸c˜oes fechadas definidas sobre ele. Uma delas ´e a soma de vetores, e a outra o produto por um escalar, isto ´e um espa¸co normado ´e um espa¸co vetorial. Mais precis- samente
Defini¸c˜ao 2.2.1 Diremos que um espa¸co vetorial ´e um espaco normado, se existe uma fun¸c˜ao N : E → R satisfazendo as seguintes propriedades
- N (x) ≥ 0 para todo x ∈ E e se N (x) = 0 ⇒ x = 0
- N (x + y) ≤ N (x) + N (y) para todo x, y ∈ E
- N (αx) = |α|N (x)
Note que a defini¸c˜ao de espa¸co normado exige que E seja um espa¸co vetorial. Em particular todo espa¸co normado ´e um espa¸co m´etrico, para ver isto basta definir a m´etrica d(x, y) = N (x − y). Um espa¸co Normado ´e chamado de espa¸co de Banach se ele ´e completo, isto ´e toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e convergente em E.
Exemplo 2.2.1 Denotemos por L^1 (a, b) o espa¸co de todas as fun¸c˜oes definidas sobre [a, b] integr´aveis a Lebesgue. E simples verificar que este espa¸´ co munido da norma
‖f ‖ 1 =
∫ (^) b
a
|f (x)| dx
´e um espa¸co normado. Utilizando os resultados de teor´ıa da medida mostra-se que toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e convergente.
2.2. Espa¸cos normados 23
Exemplo 2.2.2 Denotemos por C([a, b]) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo [a, b]. Isto ´e
C([a, b]) = {f : [a, b] → R; f´e cont´ınua}
Este ´e um espa¸co vetorial, pois soma de fun¸c˜oes cont´ınuas ´e cont´ınua, e o produto de uma constante por uma fun¸c˜ao cont´ınua ´e tamb´em uma fun¸c˜ao cont´ınua. Este espa¸co vetorial tem estrutura de espa¸co normado se sobre ele definimos a norma
‖f ‖∞ = sup {|f (x)|; x ∈ [a, b]}
E simples verificar que^ ´ ‖ · ‖∞ ´e uma norma. De fato,
‖f ‖∞ = 0 ⇒ f = 0.
Por outro lado temos que ‖f + g‖∞ ≤ ‖f ‖∞ + ‖g‖∞
E Finalmente, que ‖λf ‖∞ = |λ|‖f ‖∞
Exemplo 2.2.3 Consideremos o mesmos espa¸co do exemplo 2.2.2, C([a, b]) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas Como vimos ´e um espa¸co vetorial. Podemos tamb´em dar a este espa¸co, estrutura de espa¸co normado, introduzindo a norma
‖f ‖ 1 =
∫ (^) b
a
|f (x)| dx
E simples verificar que^ ´ ‖ · ‖∞ ´e uma norma. De fato,
∫ (^) b
a
|f (x)| dx = 0 ⇒ f = 0.
Por outro lado temos que
∫ (^) b
a
|f (x) + g(x)| dx ≤
∫ (^) b
a
|f (x)| dx +
∫ (^) b
a
|g(x)| dx
Apesar que alg´ebricamente o espa¸co C(a, b) ´e igual ao do exemplo 2.2.2, eles possuim carater´ısticas muito diferentes. O espaco C(a, b) munido da norma ‖ · ‖ 1 n˜ao ´e um espa¸co completo. Para isto basta considerar a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
fn : [0, 1] → R, fn(x) = xn.
E simples verificar^ ´
fn(x) → f (x), onde f (x) =
0 , 0 ≤ x < 1 1 , x = 1.
2.4. Minimiza¸c˜ao em dimens˜ao infinita 25
De onde segue que
q(x) ≥ α‖x‖^2 −
a^2 2 α
a^2 2 α
Portanto q(x) ´e limitado inferiormente em RN^ e em particular sobre Uad. Sabemos que toda fun¸c˜ao limitada possui um infimo. Da defini¸c˜ao de infimo, existe uma seq¨uˆencia em xμ de elementos de Uad tais que
q(xμ) → inf {q(x); x ∈ Uad} := I
Note que aqui n˜ao podemos aplicar compacidade diretamente porque o conjunto sobre o qual minimizamos n˜ao ´e limitado. Usando a primeira desigualdade em (2.1) encon- tramos que
‖xμ‖^2 ≤
α
q(xμ ) + a^2 2 α
Como o segundo membro da desigualdade acima ´e limitado concluimos que a seq¨uˆencia (xμ)μ∈Rn ´e limitada. Portanto pelo Teorema de Heine Borel, existe um ponto x 0 e uma subseq¨uˆencia convergente tal que xμk → x 0
Como xμk ∈ Uad para todo k e o conjunto Uad ´e fechado, teremos que x 0 ∈ Uad. Da continuidade de q obtemos que
I = lim k→∞ q(xμk ) = q(x 0 )
portanto x 0 ´e o ponto que minimiza o problema.
2.4 Minimiza¸c˜ao em dimens˜ao infinita
O m´etodo de resolu¸c˜ao do problema anterior ´e bastante geral e pode ser estendido a casos mais gerais. Infelizmente n˜ao pode ser estendido dessa forma para problemas de minimiza¸c˜ao em dimens˜ao infinita. Isto porque em pontos cruciais da demonstra¸c˜ao utilizamos o fato que toda seq¨uˆencia limitada possui uma subseq¨uˆencia convergente, isto ´e a compacidade. O problema deste resultado ´e que somente ´e v´alido em espa¸cos de dimens˜ao finita.
Teorema 2.4.1 Uma seq¨uˆencia limitada de elementos de um espa¸co de Banach E possui uma subseq¨uˆencia convergente se e somente se E tem dimens˜ao finita.
Este teorema acaba com a posibilidade de aplicar o mesma ideia para minimiza¸c˜ao de funcionais em Espa¸cos de Banach. Examinando mais de perto este problema, con- cluimos que o problema n˜ao radica no fato da dimens˜ao ser finita ou n˜ao e sim na convergˆencia. Pois observe que n˜ao ´e necessario que
lim k→∞
q(xμk ) = q(x 0 )
26 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
basta apenas mostrar que lim k→∞
q(xμk ) ≥ q(x 0 )
Esta desigualdade nos da a posibilidade de enfraquecer nosso conceito de convergˆencia. Observe que at´e agora temos tratado de convergencia no sentido da norma. Isto ´e onde os conjuntos abertos est˜ao definidos a partir de bolas abertas do tipo
Br (x 0 ) = {x ∈ E; ‖x − x 0 ‖E < r}
Com estes conjuntos em espa¸cos de dimens˜ao infinita o conceito de compacidade ´e mais exigente. Veja por exemplo o teorema de Compacidade para conjuntos de Lp^ ou o teorema de Arsela Ascoli que carateriza conjuntos compactos no espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas. A quest˜ao agora ´e saber que tipo de topolog´ıa podemos definir de tal forma que conjuntos limitados sejam precompactos em espa¸cos de dimens˜ao infinita. Lembremos que uma fun¸c˜ao ´e cont´ınua se e somente se a preimagem de conjuntos abertos s˜ao tamb´em conjuntos abertos aberto. A ideia aqui ´e enfraquecer o conceito de convergˆencia restringindo o conceito de continuidade. Assim a ideia ´e considerar o conjunto de todas as fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas. Assim diremos que uma seq¨uˆencia (xμ)μ∈N converge fraco para x se e somente se para toda fun¸c˜ao f linear e cont´ınua se verifica que f (xμ) → f (x).
O conceito de convergˆencia agora ´e mais amplo que aquele que conhecemos do c´alculo diferencial e este novo conceito nos permitir´a desenvolver uma nova teoria que ´e chamada de An´alise funcional. Vejamos como os espa¸cos de dimens˜ao finita difierem nos espa¸cos de dimens˜ao infinita.
Exemplo 2.4.1 Seja (xn)n∈N uma seq¨uˆencia de vetores em Rm. Suponhamos que ela seja limitada. Isto ´e que exista uma constante C > 0 tal que
‖xn‖ =
|x^1 n|^2 + |x^2 n|^2 + · · · + |xmn |^2 ≤ C
Pelo Teorema de Heine-Borel existe uma subseq¨uˆencia de xn, denotada por xnk que ´e convergente em Rm. Por outro lado. Esta propriedade n˜ao ´e v´alida para espa¸cos de dimens˜ao infinita. Por exemplo considere o espa¸co E = C^1 (0, 1) com a norma ‖f ‖∞ dada por ‖f ‖∞ = sup x∈[0, 2 π]
|f (x)|
Considere por exemplo a seq¨uencia:
yn = sen (nx)
Claramente ´e uma seq¨uˆencia limitada em E. Mas n˜ao possui nenhuma subseq¨uˆencia convergente.
28 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
Teorema 2.4.3 Seja E um espa¸co de Banach e denotemos por F uma fun¸c˜ao da forma
F : E → R
Ent˜ao F ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua se e somente se para todo aberto V de R, F −^1 (V ) ´e um aberto de E.
A demonstra¸c˜ao segue os mesmos passos que o correspondente teorema para fun¸c˜oes reais.
Note que a norma de E ´e sempre uma fun¸c˜ao cont´ınua, portanto as bolas
Br (x 0 ) = {x ∈ E; ‖x − x 0 ‖ < r}
s˜ao sempre conjuntos abertos, pois
Br (x 0 ) = F −^1 (]0, r[)
onde F (x) = ‖x − x 0 ‖.
Extens˜ao do conceito de convergˆencia
Extenderemos o conceito de convergˆencia a partir da seguinte propriedade propriedade das fun¸c˜oes cont´ınuas. Se a seq¨uˆencia (xν )ν∈N ´e convergente ent˜ao para toda fun¸c˜ao cont´ınua F teremos que F (xν )ν∈N ´e tamb´em convergente. Definiremos uma condi¸c˜ao mais fraca que a anterior se exigimos que a convergˆencia seja v´alida apenas para as fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas. Diremos ent˜ao que uma seq¨uˆencia xn converge fracamente para x, se f (xn) converge para f (x), para todas as fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas. Para formalizar esta defini¸c˜ao introduziremos o espa¸co dual.
Defini¸c˜ao 2.4.1 Denotemos por E∗^ o conjunto das fun¸c˜oes f : E → R lineares e cont´ınuas, isto ´e E∗^ = {f : E → R; f´e linear e cont´ınua}
O conjunto E∗^ ´e chamado de espa¸co dual de E
Da defini¸c˜ao concluimos que E∗^ ´e um espa¸co vectorial. Mais ainda, E ´e um espa¸co normado com a norma dada por
‖f ‖E∗ = sup ‖x‖E ≤ 1
|f (x)|
O seguinte resultado nos diz que o espa¸co dual de um espa¸co normado qualquer ´e completo.
Teorema 2.4.4 Seja E um espa¸co normado, e denotemos por E∗^ o espa¸co dual de E. Ent˜ao E∗^ ´e um espa¸co completo.
2.5. Teorema de Hanh-Banach 29
Demonstra¸c˜ao.- Seja (fm)m∈N uma seq¨uˆencia de Cauchy em E∗, ent˜ao teremos que para todo > 0 existe N > 0 tal que
m, n > N ⇒ ‖fm − fn‖E∗ < .
Em particular teremos que
‖fm(x) − fn(x)‖ ≤ ‖x‖E ‖fm − fn‖E∗
Portanto, a seq¨uˆencia (fm(x))m∈N ´e de Cauchy em R. Pela completitude dos n´umeros reais teremos que existe f (x) tal que
fm(x) → f (x).
Mostraremos a seguir que f ∈ E∗. Note que
fm(αx + βy) = αfm(x) + βfm(y) → αf (x) + βf (y).
De onde segue que a fun¸c˜ao ´e linear. Mostraremos agora que f ´e cont´ınua, para isto bastar´a mostrar que ´e limitada.
|f (x)| = lim n→∞ |fn(x)| ≤ lim n→∞ ‖fn‖E∗ ≤ C
Pois toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e limitada. Portanto f ∈ E∗. Finalmente, mostraremos que (fm(x))m∈N converge para f. Da defini¸c˜ao de supremo, temos que para > 0 existir´a um elemento x 0 ∈ E tal que
‖fm − f ‖E∗^ = sup ‖x‖E ≤ 1
|fm(x) − f (x)| < |fm(x 0 ) − f (x 0 )| +
Tomando m tal que
|fm(x 0 ) − f (x 0 )| <
Segue o resultado.
2.5 Teorema de Hanh-Banach
O Teorema de Hanh-Banach ´e a pedra fundamental do an´alise funcional. Uma das conseq¨uˆencias deste Teorema ´e que podemos caraterizar a convergˆencia fraca de uma forma relativamente simples. O Teorema nos diz que toda aplica¸c˜ao linear e cont´ınua definido sobre um subespa¸co de E pode ser estendida continuamente a todo o espa¸co. Mais precissamente
Teorema 2.5.1 Seja E um espa¸co vetorial e denotemos por p uma seminorma definida sobre E. Isto ´e
2.5. Teorema de Hanh-Banach 31
Tomando supremo no primeiro membro da desigualdade acima e depois infimo no se- gundo membro obtemos que
sup y∈G
{f (y) − p(y − x 0 )} ≤ inf x∈G
{p(x + x 0 ) − f (x)}
Tomamos α tal que
sup y∈G
{f (y) − p(y − x 0 )} ≤ α ≤ inf x∈G {p(x + x 0 ) − f (x)}
Encontramos que
f (y) + α ≤ p(y + x 0 ), f (y) − α ≤ p(y − x 0 ) ∀y ∈ G
De onde segue que f 1 (x + tx 0 ) ≤ p(x + tx 0 )
Isto ´e, f 1 (x) ≤ p(x), ∀x ∈ G 1.
Continuando com este mesmo reaciocinio encontramos uma cadeia de subespa¸cos de E verificando G 1 ⊂ G 2 ⊂ · · · ⊂ E.
e uma seq¨uˆencias de fun¸c˜oes f 1 , f 2 , · · · , fn, onde fn est´a definido em Gn e fn extende fn− 1. Podemos construir uma rela¸c˜ao de ordem da seguinte forma: Diremos que (Gi, fi) (Gj , fj ) se Gi ⊂ Gj e fj extende a fi. Claramente este conjunto tem um maiorante, e portanto pelo Lema de Zorn possui um elemento maximal, que ´e (E, f ), Logo existe f satisfazendo as condi¸c˜oes do Teorema.
Observa¸c˜ao 2.5.1 Para o caso dos espa¸cos de Dimens˜ao finita o Teorema de Hanh Banach ´e bastante simple. Seja E = RN^ e denotemos por G ⊂ RN^ um subespa¸co de E. Denotemos por g : G → R uma fun¸c˜ao linear satisfazendo
g(x) = ‖x‖, ∀x ∈ G
Ent˜ao construiremos uma fun¸c˜ao f satisfazendo as condi¸c˜oes do Teorema de Hanh Ba- nach. De fato, denotemos por {e 1 , · · · , er} a base ortonormal de G. Esta base pode ser estendida ortonormalmente a uma base do RN^ , denotemos por B = {e 1 , · · · , er, er+1, · · · en} esta base. Tomemos x = c 1 e 1 + · · · + cnen e f de tal forma que
f (er+1) = 0, · · · , f (en) = 0, f (c 1 e 1 + · · · + crer ) = g(x)
A fun¸c˜ao f assim definida satisfaz
f (x) = f (c 1 e 1 + · · · + cnen) = f (c 1 e 1 + · · · cr er) + f (cr+1er+1 + · · · + cnen) = g(¯x) ≤ ‖¯x‖ ≤ ‖x‖
32 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
Corol´ario 2.5.1 Para todo x ∈ E existe f 0 ∈ E∗^ tal que
‖f 0 ‖ = ‖x 0 ‖, f (x 0 ) = ‖x 0 ‖^2
Demonstra¸c˜ao.- Seja G = Rx 0 , e definamos por g ao funcional definido sobre G da seguinte forma g(x) = g(tx 0 ) = t‖x 0 ‖^2 ⇒ ‖g‖ = ‖x 0 ‖
Tomemos p(x) = ‖x 0 ‖‖x‖. Do Teorema de Hanh-Banach existe uma fun¸c˜ao f 0 definida sobre todo E que verifica
f 0 (x) = g(x), ∀x ∈ G, |f 0 (x)| ≤ p(x) = ‖x 0 ‖‖x‖
Portanto f 0 verifica as condi¸c˜oes to Corol´ario.
Corol´ario 2.5.2 Para todo elemento x ∈ E temos que
‖x‖E = sup f ∈E∗;‖f ‖∗≤ 1
f (x)
Demonstra¸c˜ao.- Do teorema de Hanh Banach, existe uma aplica¸c˜ao f 0 tal que
‖f 0 ‖∗ = ‖x‖, f 0 (x) = ‖x‖^2
Tomando f 1 = (^) ‖fx^0 ‖ concluimos que
‖x‖ = f 1 (x) ≤ sup f ∈E∗;‖f ‖∗≤ 1
f (x)
Como sup f ∈E∗;‖f ‖∗≤ 1
f (x) ≤ sup f ∈E∗;‖f ‖∗≤ 1
‖f ‖‖x‖ ≤ ‖x‖
segue a nossa conclus˜ao.
2.6 Convergˆencia fraca
Na se¸c˜ao anterior vimos como pode ser estendido o conceito de convergˆencia de n´umeros reais para espa¸cos de Banach. Esta convergˆencia ´e chamada de forte porque vem da norma. Se (xn)n∈N ´e uma seq¨uˆencia que converge forte, ent˜ao para toda fun¸c˜ao cont´ınua teremos que f (xn) → f (x)
A seguir definiremos o conceito de convergˆencia fraca.
Defini¸c˜ao 2.6.1 Diremos que uma seq¨uˆencia (xn)n∈N de elementos de um espa¸co de Banach E, converge fraco para x ∈ E, se e somente se
f (xn) → f (x), ∀f ∈ E∗
34 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
Como uma conseq¨uˆencia do Teorema de Hahn Banach, temos que a norma ´e sempre uma fun¸c˜ao semicont´ınua inferiormente com respeito `a topolog´ıa fraca.
Teorema 2.6.1 Seja E um espa¸co normado, e seja xν uma seq¨uˆencia de elementos em E convirgindo fraco para x, ent˜ao temos que
lim inf ν→∞ ‖xν ‖ ≥ ‖x‖
Demonstra¸c˜ao.- De fato como a xν converge fraco, ent˜ao temos que
f (xν ) → f (x), ∀f ∈ E∗
Por outro lado
f (xν ) ≤ ‖f ‖‖xν ‖ ⇒ f (x) = lim inf ν→∞ f (xν ) ≤ ‖f ‖ lim inf ν→∞ ‖xν ‖
Do Corol´ario 2.5.1, encontramos que existe um funcional f satisfazendo
‖f ‖ ≤ 1 , f (x) = ‖x‖.
Usando este funcional na desigualdade acima, segue o resultado.
2.7 Topolog´ıa fraca estrela
Dado um espa¸co normado E, podemos construir seu espa¸co dual E∗^ como sendo o espa¸co formado por todos os funcionais lineares e cont´ınuos definido sobre E. Este espa¸co dual ´e por sua vez um espa¸co normado. Portanto neste espa¸co podemos definir tanto a convergˆencia forte como a convergˆencia fraca. Um ponto importante dos espa¸cos duais, ´e que sobre eles podemos definir uma terceira convergˆencia, a chamada de convergˆencia fraca estrela. Diremos que uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (fn)n∈N converge fraco estrela em E∗^ se fn(x) → f (x), ∀x ∈ E.
Observa¸c˜ao 2.7.1 Os conjuntos abertos em E∗ O dual de E, denotado por E∗^ ´e um espa¸co normado, com a norma dada por
‖f ‖∗ = sup x∈B 1 (0)
f (x).
Portanto podemos definir os conjuntos abertos de E∗^ a partir das bolas abertas. Isto ´e, a bola aberta centrada no zero e raio ´e dada por
V(0) = {f ∈ E∗; ‖f ‖∗ < }
=
f ∈ E∗; sup x∈B 1 (0)
f (x) <
= {f ∈ E∗; |f (x)| < , ∀x ∈ B 1 (0)}
2.7. Topolog´ıa fraca estrela 35
Em geral podemos afirmar que uma vizinhan¸ca qualquer de zero ´e dada por
V = {f ∈ E∗; |f (x)| < , x ∈ B}
onde B ´e um conjunto limitado qualquer. Portanto se fn converge forte para f , ´e porque
‖fn − f ‖∗ → 0 ⇐⇒ sup x∈B 1 (0)
|fn(x) − f (x)| → 0
Por outro lado, Na convergˆencia fraca estrela teremos que
fn ? ⇀ f ⇐⇒ fn(x) → f (x), ∀x ∈ E.
Onde a convergˆencia n˜ao ´e uniforme em x. Em particular se Tomamos B apenas um conjunto finito, teremos assim uma classe de vizinhan¸cas de zero, e esta topolog´ıa ´e chamada de topolog´ıa fraca estrela.
Defini¸c˜ao 2.7.1 Diremos que um espa¸co normado E ´e separ´avel, se existe um subcon- junto numer´avel e denso em E
O conceito de separabilidade ´e importante, pois nos diz que todo elemento x de E pode ser escrito como limite de uma subseq¨uˆencia do conjunto numer´avel e denso.
Teorema 2.7.1 Toda seq¨uˆencia limitada de funcionais lineares e cont´ınuas definidos sobre um espa¸co normado separ´avel, possui uma subseq¨uˆencia que converge fraco estrela
Demonstra¸c˜ao.- Seja {x 1 , x 2 , · · · , xn, · · ·} um conjunto numer´avel e denso. Seja (fn)n∈N uma seq¨uˆencia limitada, ent˜ao a seq¨uˆencia de n´umeros reais dados por
f 1 (x 1 ), f 2 (x 1 ), f 3 (x 1 ), · · · fn(x 1 ), · · ·
´e limitada, portanto podemos extraer um subseq¨uˆencia convergente, denotemos ela por
f 1 (1) (x 1 ), f 2 (1) (x 1 ), f 3 (1) (x 1 ), · · · f (^) n(1) (x 1 ), · · ·
que por nossa escolha ´e convergente. Consideremos agora a subseq¨uˆencia de (fn)n∈N
dada por (f (1) n )n∈N. Repetindo o mesmo raciocinio anterior concluimos que a seq¨uˆencia
f 1 (1) (x 2 ), f 2 (1) (x 2 ), f 3 (1) (x 2 ), · · · f (^) n(1) (x 2 ), · · ·
´e limitada, portanto existe uma subseq¨uˆencia convergente. De onde existe
f 1 (2) (x 2 ), f 2 (2) (x 2 ), f 3 (2) (x 2 ), · · · f (^) n(2) (x 2 ), · · ·
´e tamb´em uma seq¨uˆencia convergente. Assim temos encontrado um sistema de seq¨uˆencias tais que f 1 (1) , f 2 (1) · · · f (^) n(1) · · · , f (2) 1 ,^ f^
(2) 2 · · ·^ f^
(2) n · · ·^ , f 1 (3) , f 2 (3) · · · f (^) n(3) · · · , · · · · · · · · · · · · · · ·
2.8. Espa¸cos reflexivos 37
Onde J(x) : E∗^ → R
Definindo de forma natural 〈J(x) , f 〉 = f (x)
Para todo f ∈ E∗. Note que J ´e uma isometr´ıa entre os espa¸cos E e E∗∗. De fato,
‖J(x)‖∗∗ = sup f ∈E∗,‖f ‖∗≤ 1
〈J(x); f 〉 = sup f ∈E∗,‖f ‖∗≤ 1
〈f, x〉 = ‖x‖
De onde obtemos uma aplica¸c˜ao injetora entre os espa¸cos E e E∗∗. A aplica¸c˜ao J ´e chamada de proje¸c˜ao can´onica. N˜ao ´e verdade em geral que J definida acima, seja sobrejet´ora. Os espa¸cos nos quais J seja sobrejetora s˜ao chamados de Reflexivos.
Defini¸c˜ao 2.8.1 Seja E um espa¸co de Banach, diremos que E ´e um espa¸co reflexivo quando a aplica¸c˜ao J definida acima ´e sobrejetora.
Observa¸c˜ao 2.8.1 Como uma conseq¨uˆencia imediata, temos que RN^ ´e um espaco re- flexivo. Em geral podemos afirmar que todo espa¸co normado e completo de dimens˜ao finita ´e reflexivo.
Propriedades dos espa¸cos duais
- E ´e um espa¸co reflexivo se e somente se E∗^ ´e reflexivo
- Se E∗^ ´e um espa¸co separ´avel ent˜ao E ´e separ´avel.
- E ´e um espa¸co reflexivo e separ´avel se e somente se E∗^ ´e um espa¸co reflexivo e separ´avel.
Teorema 2.8.1 Se E ´e um espa¸co reflexivo e separ´avel, ent˜ao a bola unit´aria e fechada de E ´e um conjunto compacto com respeito `a topolog´ıa fraca.
Demonstra¸c˜ao.- Seja xn uma seq¨uˆencia limitada em E. Por ser E reflexivo teremos que J : E → E′′
´e uma bije¸c˜ao. Logo teremos que J(xn) ´e limitada em E′. Portanto existe uma sub- seq¨uˆencia de xn tal que
J(xnk ) ⇀ F fraco estrela em E′′
Onde F ∈ E′′. Pela reflexividade, existe x ∈ E tal que J(x) = F. Da convergˆencia fraca estrela temos 〈J(xnk ), f 〉 → 〈J(x), f 〉 ∀f ∈ E′.
De onde, pela defini¸c˜ao de J temos
〈f, xnk 〉 → 〈f, x〉 ∀f ∈ E′.
38 Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de Banach
O que significa que xnk converge fraco em E. Por ser E numer´avel ent˜ao a topolog´ıa inducida sobre a bola ´e metriz´avel. Logo a bola ´e um espa¸co m´etrico onde toda seq¨uˆencia limitada possui uma subseq¨uˆencia convergente. Portanto, concluimos que a bola ´e um conjunto relativamente compacto. Em geral temos
Teorema 2.8.2 E ´e um espa¸co reflexivo se e somente se toda seq¨uˆencia limitada possui uma subseq¨uˆencia convergindo fraco.
