UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA – UNAMA
CURSO: ENGENHARIA ELETRICA.
ALUNO: UMBERTO VANE PEREIRA.
MATRÍCULA: 4149237
ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA
CÁLCULO VETORIAL E EDO.
. PROF.: Karla Adriana Barbosa
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calculo edo e estatística., Exercícios de Cálculo Avançado
Atividade graduação engenharia
Tipologia: Exercícios
2024
1 / 4
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UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA – UNAMA
CURSO: ENGENHARIA ELETRICA.
ALUNO: UMBERTO VANE PEREIRA.
MATRÍCULA: 4149237
ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA
CÁLCULO VETORIAL E EDO.
. PROF.: Karla Adriana Barbosa
Considere o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada
em um relevo que apresenta cotas diferenciadas ao longo de sua superfície. E
que a função V ⃗= x² y³ - 4y, representa a velocidade de cada partícula em
movimento. Considerando essas informações, calcule o que se pede, em cada
situação proposta:
1 - Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, - 1).
2 - Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, - 1).
3 - Calcular a máxima velocidade no ponto (2, - 1).
1 – Calculando o vetor Gradiente do fluxo no ponto (2, - 1);
Função velocidade é dada por 𝑉
⃗⃗
= x²y³ - 4y.
Vetor gradiente de V (x, y) é obtido derivando parcialmente em relação a x e y;
grad V (x, y) = (
Cálculo das derivadas parciais:
2
3
3
Substitui-se os pontos (2, - 1):
O vetor gradiente em (2,-1) é:
grad V (2,-1) = (-4,8)
Ao estudar o fluxo de um fluido em uma tubulação que corre ao longo do solo em
diferentes alturas, o comportamento da velocidade das partículas em movimento é
essencial para compreender o comportamento do fluido ao longo do caminho;
Considerando a função velocidade do fluido V = x²y³ - 4y, é possível analisar as
características importantes deste fluido no ponto específico (2, - 1), como o vetor
gradiente, a derivada da direção e a velocidade máxima;
O vetor gradiente no ponto (2,-1) é essencial para identificar a direção na qual a taxa
de variação da velocidade é máxima;
O gradiente é obtido diferenciando a função em relação às suas variáveis x e y;
Como vemos o vetor gradiente no ponto (2, - 1) e V = - 4i +8j;
Este vetor indica a direção do aumento mais rápido na velocidade no campo de fluxo.
Então, a derivada da direção da função velocidade em relação ao vetor t = 2i = 5j, no
ponto (2, - 1), é calculada com o produto escalar do vetor gradiente com o normalizado
vetor t;
Isso significa, que a taxa de variação da velocidade na direção do vetor t no ponto (2,-
- é
32
√
29
;
Finalmente, para determinar a velocidade máxima no ponto (2,-1), devemos
considerar que o máximo da velocidade estará no ponto (2,-1), direção do vetor
gradiente, pois este indica a direção do aumento máximo da função;
A magnitude desta velocidade máxima será dada pela norma da função.
Embora a direção e a taxa de mudança do fluxo possam ser bem determinadas, a
velocidade efetiva do fluido neste ponto é zero. Esta dicotomia destaca a importância
de uma análise abrangente para trazer mais próximos da condição real de fluxo,
levando em consideração não apenas a direção do fluxo, mas também as condições
locais, que podem ocasionar variações que e influenciar significativamente o
comportamento do fluido em um sistema dinâmico como este.