Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia de Sergipe Diretoria de Ensino COLIMA C´alculo II – Lista 1 II Semestre/ Prof. Alisson de Oliveira Silva email:[email protected]

E. 1. Calcule a ´area da regi˜ao sobreada

(a) (b)

(c) (d)

E. 2. Em cada problema abaixo,(i) esboce a ´area R da regi˜ao limitada pelas curvas dadas e (ii) calcule a ´area dessa regi˜ao.

a) x^2 = y; y = −4. b) y^2 = −x; x = −2; x = −4. c) x^2 + y + 4 = 0; y = −8. d) x^3 = 2y^2 ; x = 0; y = −2.

e) y = senx, y = ex; x = 0, x =

π 2

f) y = x; y = x^2 , y = x^4.

g) y =

x

; y =

x^2

; x = 2.

h) y = 1 +

x; y =

x + 3 3

i) y = cos x; y = sen2x; x = 0; x =

π 2

j) y = senx; y = sen2x; x = 0; x =

π 2

l) y = |x + 1| + |x|; y = 0; x = −2; x = 3. m)

x +

y = 1; x = 0; y = 0. n) y^2 = 4 + x; y^2 + x = 2. o) y = x

4 − x^2 ; y = 0.

E. 3. Ache a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas x^2 = 4py, y = x + 8p e y = −x + 8p para p > 0.

E. 4. Ache a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas y^2 = 4px e x^2 = 4py.

E. 5. A base de um s´olido ´e a regi˜ao circular do plano xy limitada pelo gr´afico de x^2 + y^2 = a^2 , a > 0. Determine o volume so s´olido, se toda se¸c˜ao transversa por um plano perpendicular ao eixo x ´e um quadrado.

E. 6. Um s´olido tem como base a regi˜ao do plano xy limitada pelos gr´aficos de y = 4 e y = x^2. Determine o volume do s´olido, se toda se¸c˜ao transversa por um plano perpendicular ao eixo x ´e um triˆangulo is´osceles com hipotenusa no plano xy.

E. 7. Um s´olido tem como base a regi˜ao no plano xy limitada pelos gr´aficos de y^2 = 4x e x = 4. Se toda se¸c˜ao por um plano perpendicular ao eixo y ´e um semic´ırculo, calcule o volume do s´olido.

E. 8. Um tetraedro tem trˆes faces mutuamente perpendiculares e trˆes arestas mutuamente perpendiculares de 2, 3 e 4 cm, respectivamente. Determine seu volume.

E. 9. Encontre o volume do s´olifo obtido pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada pelas curvas dadas en torno dos eixos especificados. Esboce a regi˜ao, o s´olido e um disco ou arruela.

a) y = x^2 ; x = 1; y = 0; ao redor do eixo x.

b) y =

x ; x = 1; x = 2; y = 0; ao redor do eixo x.

c) y = x^2 ; 0 ≤ x ≤ 2; y = 2; x = 0; ao redor do eixo y. d) y = x^2 ; y^2 = x; ao redor do eixo x. e) y = x^4 ; y = 1; ao redor de y = 2. f) y = x^2 ; x = y^2 ; ao redor de x = −1. g) y = x; y = 0; x = 2; x = 4; ao redor de x = 1. h) y = x^2 ; y = 4 − x^2 ; em torno do eixo x. i) y^2 = x; 2y = x; em torno do eixo y.

E. 10. Encontre o volume do s´olido S descrito, via integra¸c˜ao definida.

a) Um cone circular reto de altura h e raio da base r. b) Um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r.

R

r

h

c) Uma calota de uma esfera de raio r e altura h.

r

h

d) A base de S ´e uma regi˜ao el´ıptica limitada pela curva 9x^2 + 4y^2 = 36. As sec¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo x s˜ao triˆangulos is´osceles retos com hipotenusa na base. e) A base S ´e a regi˜ao parab´olica {(x, y)|x^2 ≤ y ≤ 1 }. As sec¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo y s˜ao quadrados.