Calculo Numérico: Determinação de Raízes de Equações, Notas de estudo de Cálculo

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C´alculo Num´erico

Ra´ızes de Equa¸c˜oes

Ana Paula

Sum´ario

(^1) Introdu¸c˜ao

2 M´etodo da Bisse¸c˜ao

(^3) Revis˜ao

Introdu¸c˜ao

I (^) Ser˜ao estudados aqui m´etodos num´ericos para a resolu¸c˜ao do problema de determinar as ra´ızes de uma equa¸c˜ao f (x) = 0

I (^) ou, o que ´e o mesmo, determinar os zeros da fun¸c˜ao f (x)

I (^) Tais ra´ızes podem ser reais ou complexas

I (^) Considera-se aqui o caso em que f ´e uma fun¸c˜ao real de uma vari´avel real x

I (^) Ser´a estudada somente a determina¸c˜ao de ra´ızes reais

Introdu¸c˜ao

I (^) As ra´ızes correspondem aos pontos onde o gr´afico da fun¸c˜ao f(x) intercepta o eixo x

x

y^6

f (x)

r (^1) s r (^2) s r (^3) s

Introdu¸c˜ao

I (^) Defini¸c˜ao (raiz): Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao dada, ent˜ao um ponto r ∈ [a, b] ´e um zero (ou raiz) de f se f (r) = 0.

I (^) Exemplo:

−60.0 0.5 1.0 1.5 2.0x 2.5 3.0 3.5 4.

−

−

0

2

4

6

y

f(x) = ( x - 1)( x - 2 )( x - 3 )

Introdu¸c˜ao

I (^) Os m´etodos num´ericos estudados aqui seguem as seguintes etapas

I (^) Isolamento das ra´ızes

I (^) Encontrar um intervalo [a, b] que contenha apenas uma raiz, ou

I (^) Determinar uma aproxima¸c˜ao inicial x 0 (ou mais de uma, dependendo do m´etodo) I (^) Refinamento

I (^) Gerar uma sequˆencia {x 0 , x 1 ,... } que convirja para a raiz exata r de f (x) = 0

Teorema da Existˆencia

I (^) Teorema: Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se f (a)f (b) < 0 , ent˜ao existe pelo menos um ponto x ∈ [a, b] tal que f (x) = 0.

I (^) Geometricamente, o teorema afirma que a curva de uma fun¸c˜ao cont´ınua que come¸ca abaixo do eixo horizontal e termina acima dele, deve cruzar o eixo em algum ponto

Abordagem gr´afica

I (^) Exemplo

I (^) Existem 3 ra´ızes no intervalo [0, 4]

I (^) Existem 2 ra´ızes no intervalo [0,5; 2,5] I (^) Nota-se que f (0,5) = − 1. 875 e f (2,5) = − 0. 375

−60.0 0.5 1.0 1.5 2.0x 2.5 3.0 3.5 4.

−

−

0

2

4

6

y

f(x) = ( x - 1)( x - 2 )( x - 3 )

Abordagem gr´afica

I (^) Al´em de fornecer estimativas grosseiras para as ra´ızes, as interpreta¸c˜oes gr´aficas s˜ao ferramentas importantes para se entender as propriedades das fun¸c˜oes e antecipar armadilhas dos m´etodos num´ericos.

Busca Incremental

I (^) Outra possibilidade ´e fazer uma tabela de valores

x f (x) sinal 0,5 -0,416925538604 < 0 1,0 -0,591470984808 < 0 1,5 -0,434994986604 < 0 2,0 0,0907025731743 > 0 2,5 0,964027855896 > 0 3,0 2,10887999194 > 0

I (^) Logo, h´a ao menos uma raiz em [1,5; 2]

I (^) Outra possibilidade ´e fixar o in´ıcio do intervalo x = a e procurar b de modo que f (a)f (b) < 0

I (^) b = a + h, a + 2h, a + 4h,...

Exemplo

I (^) Exemplo 2 Encontre um intervalo de tamanho unit´ario em que haja ao menos uma raiz para f (x) =

x − 5 e−x^ = 0 de modo que x ≥ 0.

Exemplo

I (^) Exemplo 3 H´a garantia de haver apenas uma raiz para f (x) =

x − 5 e−x^ = 0 no intervalo [1, 2]?

Classes de M´etodos

I (^) M´etodos Intervalares: S˜ao baseados em duas aproxima¸c˜oes iniciais que delimitam a raiz, isto ´e, est˜ao uma de cada lado da raiz.

I (^) M´etodos Abertos: Podem evolver uma ou mais aproxima¸c˜oes inicias, mas n˜ao ´e necess´ario que elas delimitem a raiz.

Classes de M´etodos

I (^) Para problemas bem condicionados, os m´etodos intervalares sempre funcionam, por´em convergem lentamente. J´a os m´etodos abertos n˜ao funcionam sempre (podem divergir), por´em, quando funcionam, geralmente convergem de forma mais r´apida.

I (^) Em ambos os casos s˜ao necess´arias aproxima¸c˜oes iniciais, que podem surgir do contexto f´ısico analisado. Para os casos em que estimativas iniciais n˜ao sejam ´obvias, podemos fazer a busca incremental, ou seja, encontrar o intervalo no qual a fun¸c˜ao muda de sinal.