Baixe Conceitos básicos de aplicações lineares em espaços vectoriais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
4.1def Sejam A e B dois conjuntos. Diz-se que uma correspon- dência f : A −→ B é uma aplicação se ∀a ∈ A, ∃^1 b ∈ B : b = f (a). Ao conjunto A chama-se domínio de f e ao conjunto B chama-se contradomínio de f. 4.2def Sejam A, B, C e D conjuntos tais que C ⊂ A e D ⊂ B, e f : A −→ B uma aplicação. Então, (a) chama-se ao conjunto {f (x) : x ∈ C} imagem de C por f , que se denota por f (C). (b) Chama-se ao conjunto f (A) imagem de f. (c) Chama-se ao conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ D} imagem inversa de D por f , que se denota por f ←(D).
4.3exe Sejam os conjuntos A = {x 1 , x 2 }, B = {y 1 , y 2 , y 3 }, C = {x 2 }, D = {y 1 , y 3 }. Então, (a) dê um exemplo de uma correspondência entre A e B que não é uma aplicação:
(b) Dê um exemplo de uma correspondência entre A e B que é uma aplicação:
(c) Considerando a aplicação dada na alínea anterior, deter- mine a imagem de f , f (C) e f ←(D):
4.4def Sejam A e B conjuntos e f : A −→ B uma aplicação. Então, (a) f diz-se uma aplicação injectiva se ∀x, y ∈ A : x 6 = y ⇒ f (x) 6 = f (y). (b) f diz-se uma aplicação sobrejectiva se B = f (A), i.e., ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : y = f (x). (c) f diz-se uma aplicação bijectiva se f for injectiva e so- brejectiva, i.e., ∀y ∈ B, ∃^1 x ∈ A : y = f (x).
4.5exe Dê exemplos de uma aplicação que não é injectiva nem sobrejectiva (f 1 ), que é injectiva mas não é sobrejectiva (f 2 ), que não é injectiva mas é sobrejectiva (f 3 ) e que é bijectiva (f 4 ):
4.10exe Exemplos de aplicações lineares: (a) sejam a matriz A ∈ Rm×n^ e a aplicação f 1 : Rn^ −→ Rm x 7 −→ Ax. Então, f 1 ∈ L(Rn, Rm), pois
(b) Seja a aplicação f 2 : R 1 [x] −→ R
ax + b 7 −→
0
(ax + b)dx.
Então, f 2 ∈ L(R 1 [x], R), pois
4.11obs O exemplo da alínea (a) é fundamental, pois como se verá mais adiante, todas as aplicações lineares podem ser repre- sentadas por uma aplicação linear daquele tipo. 4.12exe A aplicação g : R^2 −→ R^2 (a, b) 7 −→ (a^2 , 0) não é uma aplicação linear de R^2 em R^2 , pois
4.13def Seja f ∈ L(V, V ′). Então, (a) ao conjunto f (V ) chama-se imagem de f , que se de- nota por Imf , i.e., Imf = {f (x)|x ∈ V }. (b) Ao conjunto f ←(0V ′) chama-se núcleo de f , que se denota por Nucf , i.e., Nucf = {x ∈ V |f (x) = 0V ′}.
4.14teo Seja f ∈ L(V, V ′). Então,
(a) se F é um subespaço de V , f (F ) é um subespaço de V ′ (em particular, Imf é um subespaço de V ′). (b) Se F ′^ é um subespaço de V ′, f ←(F ′) é um subespaço de V (em particular, Nucf é um subespaço de V ). 4.15def Seja f ∈ L(V, V ′). Então, (a) à dimensão do subespaço imagem de f chama-se ca- racterística de f , que se denota por cf , i.e., cf = dim(Imf ). (b) À dimensão do subespaço núcleo de f chama-se nuli- dade de f , que se denota por nf , i.e., nf = dim(Nucf ).
4.16teo Sejam V e V ′^ espaços vectoriais e f ∈ L(V, V ′). Então, se dim(V ) = n, n = cf + nf.
4.17teo Sejam f ∈ L(V, V ′) e {u 1 ,... , un} um conjunto gerador de V (podendo ser, como caso particular, uma base de V ). Então, (a) a aplicação f fica definida desde que se conheçam os vectores f (u 1 ),... , f (un) (do ev V ′). (b) Imf = 〈f (u 1 ),... , f (un)〉.
4.19teo Sejam f ∈ L(V, V ′) e C = {u 1 ,... , un} um subconjunto de V. Então, (a) f é uma aplicação injectiva sse Nucf = { (^0) V }, i.e., nf =
(b) Se C é um conjunto gerador de V (podendo ser, como caso particular, uma base de V ), então f é uma apli- cação sobrejectiva sse V ′^ = 〈f (u 1 ),... , f (un)〉, i.e., cf = dim(v′). (c) Se C é uma base de V , então f é uma aplicação bijectiva sse {f (u 1 ),... , f (un)} é uma base de V ′.
4.20obs Sejam V e V ′^ espaços vectoriais de dimensão finita e f ∈ L(V, V ′). Então, se dim(V ) 6 = dim(V ′), f não é uma aplicação linear bijectiva.
4.21obs Sejam f ∈ LK(V, V ′), C = {v 1 ,... , vn} uma base de V , C′^ = {v′ 1 ,... , v m′ } uma base de V ′^ e v ∈ V. Então, ( ∃α 1 ,... , αn ∈ K : v = α 1 v 1 + · · · + αnvn
f (v) = f (α 1 v 1 + · · · + αnvn) = α 1 f (v 1 ) + · · · + αnf (vn), em que cada f (vi) (i = 1,... , n) pode escrever-se como combinação linear dos vectores da base de V ′, vindo: f (v 1 ) = a 11 v 1 ′+· · ·+am 1 v m′ ,... , f (vn) = a 1 nv 1 ′+· · ·+amnv m′. Tem-se, então,
f (v) = α 1
∑^ m
i=
ai 1 v i′ +· · ·+αn
∑m
i=
ainv i′ =
∑^ n
j=
∑^ m
i=
αjaijv i′ =
∑^ m
i=
( (^) ∑n
j=
aijαj
v i′.
Assim, se f (v) = β 1 v 1 ′ + · · · + βmv′ m, as coordenadas de f (v) em relação à base C′^ são dadas por
β 1 ... βm
a 11 · · · a 1 n ...... ... am 1 · · · amn
α 1 ... αn
i.e., se conhecermos a matriz Af,C,C′ = [aij] ∈ Km×n, po- demos sempre determinar o transformado de um vector v por maio da aplicação linear f. À matriz Af,C,C′ chama-se matriz da aplicação f em relação às bases C e C′. O teorema seguinte é o caso particular quando V = Rn e V ′^ = Rm^ e quando se consideram as respectivas bases canónicas.
4.24teo Sejam f : Rn^ −→ Rm^ uma aplicação linear e Af ∈ Rm×n a matriz da aplicação f. Então, (a) f é uma aplicação injectiva sse c(Af ) = n. (b) Condição necessária para f ser uma aplicação injectiva: n 6 m, i.e., se n > m, f não é uma aplicação injectiva. (c) Se f é uma aplicação injectiva, então o sistema Af x = b, x ∈ Rn, é PD ou Imp ∀b ∈ Rm. (d) f é uma aplicação sobrejectiva sse c(Af ) = m. (e) Condição necessária para f ser uma aplicação sobrejec- tiva: n > m, i.e., se n < m, f não é uma aplicação sobrejectiva. (f) Se f é uma aplicação sobrejectiva, então o sistema Af x = b, x ∈ Rn, é PD ou PI ∀b ∈ Rm. (g) f é uma aplicação bijectiva sse c(Af ) = m = n. (h) Condição necessária para f ser uma aplicação bijectiva: n = m, i.e., se n 6 = m, f não é uma aplicação bijectiva. (i) Se f é uma aplicação bijectiva, então o sistema Af x = b, x ∈ Rn, é PD ∀b ∈ Rm.
- Aplicações Lineares — TP 73
4. Aplicações Lineares — TP
4.1 Considere a seguinte aplicação f : (^) (x, yR^2 ) −→ 7 −→ (^) (x − Ry,^3 0 , x). (a) Calcule f (2, 1). (b) Calcule f (y, 1). (c) Calcule f (y, x). (d) Calcule f (x + 2y, y − x). sols 4.1 (a) f (2, 1) = (1, 0 , 2). (b) f (y, 1) = (y − 1 , 0 , y). (c) f (y, x) = (y − x, 0 , y). (d) f (x + 2y, 2 y − x) = (2x, 0 , x + 2y). 4.2 Indique quais das seguintes aplicações são lineares: f 1 : (^) (x, yR^2 ) −→ 7 −→ (^) (2x −R 2 y, x). f 2 : (^) (x, y, zR^3 ) −→ 7 −→ (^) (x + y + 2R^2 , z − 3). f 3 : (^) (x, yR^2 ) −→ 7 −→ (^) (0,R −^2 x). f 4 : (^) (x, yR^2 ) −→ 7 −→ (^) |x −R y|.
sols 4.2 f 1 e f 3 são aplicações lineares. f 2 e f 4 não são aplicações lineares. 4.3 Seja f uma aplicação definida por f : R x −→ 7 −→ (^) (x + α −R 22 β, −x), em queaplicação linear. α e β são duas constantes reais. Diga, justificando, qual a relação entre α e β para que f seja uma
sols 4.3 α = 2β. 4.4 Considere as seguintes aplicações lineares: f 1 : (^) (x, yR^2 ) −→ 7 −→ (^) x +R y, f 2 : (^) (x, y, zR^3 ) −→ 7 −→ (^) (x + y + z, 2 Rx^2 + 2y + 2z), f 3 : (^) (x, y, zR^3 ) −→ 7 −→ (^) (x − z, 0 R, y^3 − 2 z), f 4 : (^) (x, y, z, wR^4 ) −→ 7 −→ (^) (x − y, z −R w, x^3 − 3 w). Determine Imf , cf , Nucf e nf para cada uma delas. sols 4.4 f 1 : Imf 1 = R, cf 1 = 1, Nucf 1 = {(x, −x)|x ∈ R}, nf 1 = 1. f 2 : Imf 2 = {(a, 2 a)|a ∈ R}, cf 2 = 1, Nucf 2 = {(−y − z, y, z)|y, z ∈ R}, nf 2 = 2. f 3 : Imf 3 = {(a, 0 , c)|a, c ∈ R}, cf 3 = 2, Nucf 3 = {(z, 2 z, z)|z ∈ R}, nf 3 = 1. f 4 : Imf 4 = R^3 , cf 4 = 3, Nucf 4 = {(3w, 3 w, w, w)|w ∈ R}, nf 4 = 1. 4.5 Para cada uma das alíneas seguintes, determine a função f sabendo que é uma aplicação linear definida por: (a) f (1, 0) = (− 1 , 1 , 2) e f (0, 1) = (3, 0 , 1). (b) f (1, 2) = (3, − 1 , 5) e f (0, 1) = (2, 1 , −1).
- Aplicações Lineares — TP 75
sols 4.11 Ax = b em que A =
^21
1 − 2
. O sistema é impossível, logo C.S. = ∅. 4.12 Sendo α ∈ R, considere as aplicações lineares associadas às seguintes matrizes: A 1 =
^10 −^23 13 0 α 0 0 0 −3 + α
(^) , A 2 =
^10 α^0 0 0
(^) , A 3 =^ [^14 2 α^ ]. Para cada uma das aplicações, indique para que valores de α a aplicação é injectiva e sobrejectiva. sols 4.12 (A 1 ): nunca é injectiva e é sobrejectiva para α 6 = 3. (A 2 ): injectiva para α 6 = 0 e nunca é sobrejectiva. (A 3 ): injectiva e sobrejectiva para α 6 = 8. 4.13 SejaDetermine os valores de f uma aplicação linear de α para os quais R^3 em R^3 tal quef é bijectiva. f (1, 0 , 0) = (1, 0 , α), f (0, 1 , 0) = (1, − 1 , 1) e f (0, 0 , 1) = (1, 1 , α^2 ). sols 4.13 α 6 = 1. 4.14 Sejanão sobrejectivas e bijectivas para f uma aplicação tal que f ∈ L m > n, m(Rn, Rm). Dê exemplos de aplicações injectivas, não injectivas, sobrejectivas,= n e m < n, sempre que tal seja possível.
