Pré-visualização parcial do texto
Baixe capítulo 1 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física, somente na Docsity!
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS Escolhemos o “problema do caminho aleatório” em uma dinensão para introduzir alguns conceitos e técnicas da teoria de probabilidades. Por meio desse problema, vamos cstudar as propriedades das distribuições biuomial e gaussiana, exemplificar conceitos importantes, como valor médio e desvio padrão, e discutir o papel dos grandes números. As versões mais simples do problema do caminho aleatório representam modelos de interesse físico, sugeridos pelo fenômeno da difusão de partículas em um méeio viscoso. Estamos supondo que já sejam conhecidas as idéias mais elementares da teoria de probabilidades. Basta saber jogar dados (não viciados) ou baralhos (bem embaralhados), Dispondo de um único dado, a probabilidade de obter a fac 3 numa única jogada é 1/6. Sabemos que há seis eventos possíveis, que correspondem ao espaço amostral (na linguagem da física estatística, ao conjunto de “microestados acessíveis ao sistema”), e que apenas um desses estados cor- responde ao evento “face Estamos supondo de antemão (a priori, como se costuma dizer) que todos os estados acessíveis são equiprováveis. Portanto, a probabilidade de obter a face 3 é exatamente 1/6. Qual à probabilidade de, em duas jogadas consecutivas, obter duas vezcs a mesma face 3º Certamente é 1/36, pois há 36 eventos distintos, equiprováveis, e apenas um deles contêm duas vezes a face 3. Também poderíamos ter dito que, em cada jogada, as pro- babilidades são independentes e que, portanto, se multiplicam. A probabilidade de obter duas faces d intas, em qualquer ordem, é 2/30, e assim por diante, as noções são suficientes para calcular as probabilidades associadas ao problema do caminho aleatório. 22 * Introdução à Física Estatística 1.1 O PROBLEMA DO CAMINHO ALEATÓRIO Vamos considerar um indivíduo que se desloca sobre uma reta, a partir da origem, dando passos de comprimento igual (7) para a direita, com probabi- lidade p, ou para a esquerda, com probabilidade q= | - p. O problema consiste em encontrar a probabilidade Py(m) de que o indivíduo se encontre na posição x= midepois de ter dado N passos (com minteiroc-— Ns ms N), Uma versão vetorial desse problema, num espaço tridimensional, poderia servir para estudar o fenômeno de ditusão de uma molécula gasosa que sofre colisões intermoleculares. Figura 1 Caminho aleatório, com passos de comprimento [. ao longo do eixo x. A probabilidade de uma determinada sequência de N passos, com N; passos ara a direita c No passos para a esquerda, é dada por Pp: ap P q p (opa) = pri Por outro lado, o mimero de sequências desse tipo (isto é, sequências com N, passos paraa direita e No = N— N passos para a esquerda) é dado pelo fator combinatório N: NytN9t Então, a probabilidade de, num total de N passos, dar N, passos para a direita e passos para a esquerda é dada pela famosa distribuição binomial, Wn(M) Dig No comprqg=leN = N. Note que essa probabilidade já está devidamente nor- malizada. De fato, temos 24 * Introdução à Písica Estatística 2 2 pp (4 dt ox com q coeficiente D= 2/27. 1.2 VALORES MÉDIOS E DESVIO PADRÃO Seja u uma variável aleatória que pode assumir M valores discretos, tal que 4; Ocorra com probabilidade 2;= P(u), onde 4 < P;< 1, para qualquer j. Em geral, vamos considerar distribuições devidamente normalizadas, isto é, tal que O valor média, ou valor esperado da variável u, é definido por M / u= (ur) = Sesr(u;) . (5) jd o Se flu) for uma função de «, o valor esperado de ft) será cado por To np Dutopo) e) il mostrar que: 6) (1 Go + gl) =(F(u)) + gtude Gi) left) - elf (ma), onde cé uma constante e fe gsão funções (aleatórias) de u. O desvio da média é definido por Aumu-(u). (mn É claro que (Au) = Uru) =0, ou seja, o valor médio do desvio da média é de muito pouca utilidade. O desvio guadrático é dado por Introdução aos Métodos Jsiatísticos + o) (ou) = (fu - (of) É claro que (Au)2)2 0, ou seja i2)z iu. A dispersão, muitas vezes, é chamada de variância. À raiz da dispersão € o chamado desvio padrão. À comparação entre o desvio padrão e o valor médio é muito importante, pois fornece uma idéia da largura da distribuição de probabilidades (ou seja, indica se a distribuição é muito fina, centrada no valor médio, ou muito espalhada, com grandes flutuações de valores em torno da média). Finalmente, podemos definir o momento em relação à média de ordem n, que também poderá ter utilidade. Por miício dos momentos, sempre é possível o constituir uma distribuição de probabilidades. No entanto, em muitos casos de inter e, para um número grande de eventos, vamos ver que basta um conhe- . iai 1.9) cimento dos deis primeiros momentos, fu) e (u2). WatNO >N » Ng N Figura 1.2 Exemplos dle distribuições estatísticas. No jado direito, No caso do problema do caminho aleatório, temos N 25 Introdução aos Métodos Estatísticos + indicando que a distribuição binomial se torna muito fina, centrada em torno do valor médio (N:, para N suficientemente grande (ver figura 1.2). 1.3 LIMITE GAUSSIANO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL No limite N -> , temos Wy(0) = q'-» 0€ Wy(N) = pN -> 0, Portanto, Wy(N) deve ter um máximo para NM = My=7N, com 0 < < 1. Para Ngrande, embora N seja um inteiro, podemos supor que perto do máximo a função W(N;) seja quase continua em relação à variável aleatória N,. Na realidade, em vez de trabalhar com Wy(Nj), é mais conveniente trabalhar com In Wy(Nj), que varia bem. mais lentamente. Como a função logaritmo é monotônica crescente, tanto [az achar o máximo de Wy(Ny) ou de ln Wy(Ny). Assim, temos fO)= Way (No = lnNt- In Nt-a(N Ny) +Nylap+(N- Ni) lag. Perto do máximo, tanto N, quanto N- Ny devem scr da ordem de N. Torna-se, então, interessante eliminar os fatoriais por meio da famosa expansão assintótica de Stirling (ver apêndice A.1), que será usada muitas vezes nesse texto, InNt=NInN-N+O(nN). (16) Então, temos NJ NiBN-NON In N 4 Ng =(N=Ay)n(N=Ny)+ f 3 Um +(N = Ny) + Nin p+(N Ny )lag+O(U Ny, Loi(N- N1). Portanto, podemos escrever / Ls tmNç+ (NM) Ha po Ing+oO! =0. (18) Nr E No limite N > «, temos =mRp+n(N-M)+np-Ing=0, (19) 27 28 * Introdução à Física Estatística ou seja, Ny = Mp=(Ni), (29) indicando a coincidência entre o valor mais provável e q valor médio (ver equação 11). E fácil obter a derivada segunda, p N o? 1 1 1 1 Lo NT NIN vob, 7 | (21) 9Nj Ny NoNi ANP (NM No ponto de máximo, para NV — «o, temos cmo 3Npg: lg p IR temos 1 0Nºp22 Pe - bo exp es ge > ->0, para Nos. 2Npy g-pº | Portanto, no intervalo em que a aproximação é ruim, a distribuição pg é prati- camente nula. Como o desvio padrão tanto da binomial quanto da gaussiana é da ordem de JN, tanto a binomial quanto a gaussiana são muito (ou seja, expo- nencialmente) pequenas quando Ny — My for grande, Também é fácil calcular outras derivadas e mostrar que esse cálculo continua válido em ordens superiores. 1.4 DISTRIBUIÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Uma generalização imediata do que já foi visto consiste em levar em conta duasou mais variáveis aleatórias discretas. Vamos, por exemplo, considerar as variáveis ue v Ao par 4,07, podemos associar a distribuição conjunta O =s P(u; uz) =S 1, tal que DPlua)=1. (30) h Podemos também definir a probabilidade Introdução aos Métodos Estatísticos * Palus)= SP.) es) k de que a assuma o valor «;, independentemente do valor de vp. É claro que XP) (32) Duas variáveis aleatórias são estatisticamente independentes, ou não correlacionadas, quando (33) É fácil calcular os valores esperados da soma ou do produto de variáveis aleatórias distintas. Em particular, o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados «penas no caso de variáveis aleatórias estalisticamente independentes. Outra gencralização imediata, que na realidade já foi implicitamente utú- tizada na construção das distribuições gaussianas, consiste em considerar variáveis aleatórias contínuas. Vamos supor que a variável aleatória u possa assumir qualquer valor no intervalo entre « e b. Então, a forma diferencial p(u) du deve ser interpretada como a probabilidade de que a variável uesteja entre os valores ue w+ du ca função p(4) representa na realidade uma distribuição de den- sidades de probabilidade. A normalização será dada por b Fotujáu= . (34) E muito fácil generalizar todos os conceitos probabilísticos que já foram utilizados para distribuições discretas. Por esemplo, o valor médio da função estocástica flu) será dado por No limite contínuo de distribuições discretas, deve-se notar que du é geralmente um intervalo macroscopicamente pequeno, porém microscopicamente grande. A probabilidade deve-se anular com du mas a densidade p(u), que muitas vezes também 3! Introdução «as Métodos Estatísticos + CH) +3(45; 454). (41) jet Porém (45,4) =(As)tAs,) =0, para j* &, pois os passos ão estatisticamente inde- pendentes. Então, temos (ta e las) )= (a). (48) onde +00 - ftas) als). (as) Finalmente, potemos obter o desvio relativo Not td) 1d (44) e mm Novamente, para Ngrande, supondo que w(s) seja uma finção bem-comportada, anulando-se de mancira suficientemente rápida para s-» + 2, a distribuição p(x; N) deve ser localizada nas vizinhanças do valor esperado. Na próxima seção, vamos obter uma forma integral para ptx; N) e mostrar que ela realmente se transforma numa gaussiana no limite de Ngrande. De certa forma, isso explica porque as dis- tribuições gau tuações físicas envolvendo siarras ocorrem com tanta frequência en: um número grande de exentos independentes (associados a uma forma arbitrária de probabilidade). w 34 * Introdução à Física Estatística *1.5 DISTRIBUIÇÃO PARA O PROBLEMA DO CAMINHO AI RALIZADO, LIMITE GAUSSIANO YTÓRIO GENE- Como os passos no problema do caminho aleatório generalizado são estatisti- camente independentes, a probabilidade de uma determinada sequência é dada por um simples produto, de maneira análoga ao que foi feito no caso do problema discreto. Vamos considerar de novo uma sequência de Npassos supondo que o deslocamento no jésimo passo tenha o comprimento aleatório Sp ocorrertdo cem a probabilidade w(s;) ds; A probabilidade de encontrar o caminhante entre xe x+ dx, onde N =, j= é dada por pla:N)dx= Í . Í wls ás cw(sy dy , asspésgto ce +sytutdx (45 onde as integrações devem ser realizadas de - 9 a - 2, com a restrição indicada. Para remover essa restrição, podemos utilizar a função à de Dirac, que admite uma representação da forma (ver apêndice A.3) ir, para -yil ve, com y— 0. Portanto, temos +00 “ea Já plsiNJer= fe fas Jasiec(sn )dsy dxô «Ss, e (417) Utilizando agora uma representação integral da função ô (ver apêndice 4 3), +oo h 1 a (x) “a Fepasa, (48) temos 36 * Introdução di Física Estatística Então, p(x) se anula a não ser que x= (2n- N) E, com n=0,1,...,A Para obter a forma discreta da distribuição binomial, temos de integrar p(x) num intervalo intinitesimai no entorno de x= (2n— N) £ Assim, temos, finalmente, (Qn-njire Nº pin N n(N a)” p(x: NJdx = (en-Njl-e Também podemos obter p(x:;N), de forma simples e direta, por meio de uma equação estocástica de diferenças, como já foi feito na seção 1.1 para o caso do caminho aleatório com passos iguais. Generalizando a equação (3), temos a relação de recorrência +eo plaN+D= fole-snuloas, (52) cujo lado direita tem a forma de uma integral de convolução. Introduzindo as transformadas de Fourier, +os PuNj= Fesplito) pf asjas, (53) c úw(k), dada pela equação (51), temos PltNAO = pl NJa(h). (54) Levando em conta que no instante inicial (isto é, para N= 0) o caminhante está na origem, ou seja, que p(x; 0) = (x), essa equação nos fornece E ' AN BltsN)= fo(s)] . (55) A distribuição p(x;N) será dada pela transformada inversa de Fourier, +os plxN)= = Fesplo) a(o), (56) Tntrodução cos Métodos Estatísticos + que não poderia deixar de coincidir com a equação (50)! Vamosagora obteruma expressão para p(x; N) no limite de Nmuito grande. Devido ao fator oscilante exp(iks), a função d(k) só é apreciável nas vizinhanças de E 0. Isso é ainda amais acentuado no caso de [á()]N, com Ngrande. Vamos, então, escrever a expansão +oo 400 í ; ô(k) = Pesos Jw(sjas = food lriks GEP atas = (57) =14ik(s)-5 Portanto, temos N RA Monta [a(n] = expn Ia à(x)] 1 (58) = expfaoful 5) + 2 elo) — (52) + of? | . Abandonando os termos de ordem superior a 42, temos a integral +as 1 , , elx) = E Í espia + Nik(s)— 659) que fornece a forma gaussiana 2 ; 1/2 x—u plx)= (oro?) exp fe » (50) onde = Niste 02. N((AS)2). Novamente, encontramos uma distribuição ganssiana com o mesmo valor esperado e a mesma variância da distribuição original. Na rea- lidade, a distribuição gaussiana, nesse caso, é uma manifestação particular do famoso teorema do limite central da teoria das probabilidades, Isso tudo funciona desde que: (i) os passos sejam estatisticamente independentes; ii) a função w(s) diminua de maneira sulicientemente rápida com s-> + 9 e (Hi) N'seja suficien- temente grande. Condições dessa natureza podem ser identificadas numa. grande 3 7 introdução aos Métodos Estatísticos » onde À = Mp é o número médio de eventos. Esta é a chamada distribuição de Poisson. Formute um problema estatístico que poderia ser resolvido em termos des: a distribuição. Num caminho aleatório em uma dimensão, depois de N passos a partir da origem, a posição é dada por onde Es; é um conjunto de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, dadas pela distribuição de probabilidades onde q e ! são constantes positivas. Depois de N passos, quai o deslocamento médio a partir da origem? Qual o valor do desvio quadrático médio da variável aleatória x? Para Ngrande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema? Como é que seus resultados s » modificariam se em cada passo se situar o deslocamento fosse sempre positivo, com probabilidades iguais d em qualquer ponto no intervalo entre 1- be lt bd com 0 0, Obtenha uma expr ssão para a distribuição de probabilidades associada à variável aleatória x. Essa distribnção se transforma numa gaussiana para Ngrande? Por quê? 39 
