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Capítulo 2 FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS
O s fasores e os números complexos são duas importantes
ferramentas para a análise de circuitos ca. As tensões e correntes senoidais podem ser matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. O sistema de números complexos é um meio de expressar os fasores e de operá-los matematicamente.
2.1. Fasor
Um fasor é uma representação gráfica semelhante a um vetor, mas em geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas senoidais.
O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ representa sua posição angular relativa ao eixo horizontal tomado como referência. Os ângulos positivos são medidos no sentido anti- horário a partir da referência (0 o) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir da referência.
Figura 2.1: Exemplo de fasores: magnitude e direção.
A Figura 2.2 mostra um fasor de magnitude |A| que gira com velocidade angular ω.
Figura 2.2: Fasor girante.
θ
90º
180º (^) 0º
270º
magnitude
-60º
90º
180º (^) 0º
270º
2
ωt
|A|
90º
180º 0º
2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-senoidal
Um ciclo completo de uma senóide pode ser representado pela rotação de um fasor que gira 360º. O valor instantâneo da onda senoidal em qualquer ponto da senóide é igual à distância vertical da extremidade do fasor ao eixo horizontal, isto é, a projeção do fasor no eixo vertical.
Figura 2.3 Onda senoidal representada por fasor em movimento.
Figura 2.4 Onda co-senoidal representada por fasor em movimento.
conhecida o valor instantâneo de uma senóide em t=0, em qualquer tempo o valor da senóide pode ser determinado.
(a) (b) Figura 2.6: Definição de uma onda senoidal.
A onda senoidal mostrada na Figura 2.6 é definida matematicamente como: ν(t)= Vp.sen(ωt+45º) (2.2)
Assim, o fasor da Figura 2.6 (b) tem amplitude igual a Vp, gira a uma velocidade angular ω, e tem um ângulo de fase igual a 45º.
Um fasor em uma posição fixa é usado para representar uma onda senoidal completa porque uma vez estabelecido o ângulo de fase entre a onda senoidal e uma referência, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos demais ciclos.
Um diagrama fasorial pode ser usado para mostrar a posição relativa de duas ou mais ondas senoidais de mesma freqüência, pois uma vez que o ângulo de fase entre duas ou mais ondas de mesma freqüência é estabelecida, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos ciclos.
Na Figura 2.7 três ondas senoidais são representadas por um diagrama fasorial. A senóide A está adiantada das senóides B e C, a senóide B está adiantada em relação à senóide C, porém atrasada em relação à senóide A, e a senóide C está atrasada em relação às senóides A e B, como indicado no diagrama fasorial.
Figura 2.7: Exemplo de diagrama fasorial.
45º (^) 0º
90º
180º
270º
45º -60º
A B
C
Vp
2.2. Sistema de Números Complexos
Os números complexos permitem operações matemáticas com fasores e são úteis na análise de circuitos ca.
A álgebra de números complexos é uma extensão da álgebra de números reais. Os números reais constituem um sub-conjunto dos números complexos.
Os números complexos são formados pelos números reais e pelos números imaginários.
{Conjunto dos Complexos} = {Reais} + {Imaginários} (2.3)
Os números imaginários são distinguidos dos números reais pelo uso do operador j ou i.
A representação de um número complexo é dada pela soma algébrica da componente real, ± a, e da componente imaginária, ± jb.
y = ± a (^) ± jb (2.4)
Se a parte real de um número complexo é zero, o número complexo torna-se puramente imaginário: y = (^) ± jb. Se a parte imaginária do número complexo é nula, o número torna-se puramente real: y = ± a.
Na matemática o operador i é usado invés do j, mas em circuitos elétricos o i pode ser confundido com o valor instantâneo da corrente, por isso o j tem preferência.
2.2.1 Plano Complexo
Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo. No plano complexo o eixo horizontal é denominado de eixo real, e o eixo vertical, de eixo imaginário.
A Figura 2.8 mostra um conjunto de pontos no plano cartesiano complexo. O número +2 é um número complexo cuja parte imaginária é nula; o número –j2 é um número complexo negativo com parte real nula, e representado sobre o eixo imaginário. Quando um ponto não está situado sobre nenhum eixo, mas está localizado em um dos quatro quadrantes, o número é definido por suas coordenadas, a
Figura 2.10: Efeito do operador j
Seja uma grandeza real positiva + representada sobre o eixo real. Ao ser aplicado o operador j tem-se:
j 2 2 = ( − 1 ) ⋅( − 1 ) ⋅( 2 ) =( − 1 ) ( )⋅ 2 =− 2
j 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) ( )j 2 j 2
3 2 = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ =− (2.6)
j 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 2
4 2 2 = − ⋅ − ⋅ = − ⋅− ⋅ =
Observe que o operador j 2 gira de +180º a grandeza sobre qual opera convertendo-a a um número real negativo, j 3 gira de 270º, e quando multiplicado por j^4 retorna ao lugar de origem.
2.3. Forma Retangular e Polar
A forma polar e retangular são duas formas de representação de números complexos, usadas para representar grandezas fasoriais. Cada uma apresenta vantagens quando usadas na análise de circuitos, dependendo da aplicação.
Como visto na seção 2.1, um fasor apresenta magnitude e fase. Em geral, a magnitude de um fasor é representada por uma letra itálica ou pela representação de módulo |. |.
Um fasor é representado graficamente por uma seta desde a origem até o ponto no plano complexo.
2.3.1 Forma Retangular
Um fasor, em qualquer quadrante de um plano complexo, pode ser completamente especificado numa forma de notação cartesiana ou retangular como:
A = ± x (^) A ± jy (^) A. (2.7)
± x (^) A representa a projeção de A no eixo real; ± jy (^) A. representa a projeção de A sobre o eixo imaginário.
Figura 2.11: Fasor em diferentes quadrantes.
A
A
A
A
+j
-x (^) A +x (^) A
+jyA
-jyA
+j
(j 2 )2=-
(j 3 )2=-j
Portanto, um fasor é uma grandeza complexa. Qualquer que seja o quadrante em que esteja situado o fasor A, seu módulo é dado por:
| A | = A^2 A
2
x +^ y (2.8)
Figura 2.12: Abertura angular do fasor no plano complexo.
A abertura angular, no 1º e 4º quadrante, que o fasor faz com o eixo real positivo de referência é dada por:
θ = arctg (
x
y
A
± A) (2.9)
O ângulo θ no 2º e 3º quadrantes é definido como:
θ=±180º ± φ
θ=±180º ± tg -1(
x
y
A
A ) (2.10)
2.3.2 Forma Polar
O fasor A quando representado na forma polar consiste da magnitude |A| e da posição angular relativa ao eixo real, expresso como:
|A|∠±θ (2.11)
Um fasor na forma retangular pode ser convertido para a forma polar e vice-versa. Na conversão retangular → polar tem-se:
yA x (^) A
θ
|A| yA
|A|
-x (^) A
φ θ=180^ o^ - φ
-yA |A|
-x (^) A φ (^) θ=-180 o (^) +φ -yA
x (^) A
1º quadrante (^) 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante
De modo análogo tem-se que:
e - j θ^ = (cosθ - jsenθ) (2.20)
O fasor A quando representado como A = |A|.e±jθ^ diz-se estar na forma exponencial.
A forma polar é a representação concisa da forma exponencial.
A =|A|.e±jθ^ ≡|A| ∠ ±θ (2.21)
A Equação 2.22 apresenta as diferentes formas de representar uma onda senoidal variante no tempo por um fasor com magnitude definida pela amplitude da onda senoidal, que gira a uma velocidade angular ω, e cuja representação gráfica indica a condição no instante t=0, para um ângulo de fase que se mantém constante no tempo.
A = ± x (^) A ± j y (^) A = |A|.e ± j θ^ ≡⏐A⏐ ∠ ±θ (2.22)
Assim, ondas senoidais e co-senoidais, de amplitude e freqüência definidas, encontram representação através de fasores.
|A|.cos(ωt±ϕ) = Re[|A|.ej(ωt±ϕ)^ ] = |A|∠±ϕ (2.23) |A|.sen(ωt±ϕ) = Im[|A|.ej(ωt±ϕ)^ ] = |A|∠±ϕ
Uma outra maneira de apresentar a identidade de Euler consiste na definição do fasor como:
A = (cosθ + jsenθ) (2.24)
A derivada de A em relação a θ é dada por:
dA dθ
= -senθ + jcosθ = j(cosθ +jsenθ) = jA (2.25)
Re-escrevendo a Equação 2.25, tem-se:
dA A
= jdθ (2.26)
Integrando ambos os lados da Equação 2.26:
LnA = jθ + C (2.27)
A constante complexa de integração C é obtida fazendo-se θ=0 na Equação (2.27) onde obtém-se C=LnA. O valor de A para θ=0 é obtido da Equação 2.24; assim, para A = 1 + j0 implica em C=0. Portanto:
LnA = jθ (2.28) ou A = e jθ^ (2.29)
O ângulo θ pode ser expresso em função do tempo: θ =ωt + ϕ.
2.4. Operação Matemática com Grandezas Complexas
Os fasores, representados por números complexos, podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, além das operações de potenciação, raiz, e logaritmo.
2.4.1 Soma
Seja os fasores A e B definidos como:
A = a + jb (2.30)
B = c + jd (2.31)
A soma de A e B é dada por:
C = A + B = (a + c) + j(b + d) (2.32)
A representação gráfica da soma de fasores é mostrada na Figura 2.13.
Figura 2.13: Soma de fasores.
A = 3 + j
C = 5 - j B = 2 - j
A
B C
A multiplicação é mais fácil de ser operada quando as grandezas envolvidas estão na forma polar.
2.4.4 Divisão
( )( ) ( )( )
A
B
a jb c jd
a jb c jd c jd c jd
ac bd c d
j
bc ad (^2 2) c 2 d 2
ou
A ( )
B
A e B e
A
B
e
j j = = j −
θ θ
θ θ
1 2
1 2
A
B
A
B
= ∠(θ 1 - θ 2 ) (2.38)
Como na multiplicação, a divisão é mais fácil quando as grandezas estão na forma polar.
2.4.5 Potenciação
Seja An^ = (|A|.e j θ^ ) n^ = |A| n.e j n.θ
An^ = |A|n.∠ n.θ (2.
2.4.6 Raiz N-ésima
n (^) A= A1/n= (|A|.e j θ^ ) 1/n^ = |A|1/n. e j θ/n^ = = |A|1/n^ ∠ θ/n (2.40)
As outras (n-1) raízes são obtidas somando-se 2πq rad a θ antes que se efetue a divisão por n, para q = 0, 1, 2,..., (n-1).
⎥ ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎞ ⎜ ⎝
⎛ (^) θ+ π
= ∠θ+ π
n
2 q jsen n
2 q =n A cos
n A n A ( 2 q) n, q=0,1,2,...(n-1)
(2.41)
Cada raiz multiplicada por si mesma n vezes resulta no fasor A.
2.4.7 Logaritmo Ln A = Ln(|A|.e j θ^ ) = Ln|A| + Lne j θ = Ln|A| + jθ.Ln e = Ln|A| + jθ (2.42)
Referências
[1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits , 6 th^ Ed. Prentice Hall,
- ISBN 0-13-095997-9.927p.
[2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos , LTC, 6 a Edição, 2003.
[3] Kerchner, R.M., Corcoran,G.F., Circuitos de Corrente Alternada, Porto Alegre, Globo, 1973.
