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Prof a^ Ruth P.S. Leão Email: [email protected] HP: www.dee.ufc.br/~rleao
Capítulo 2 FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS
- Introdução 2.1 Fasor 2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-senoidal 2.1.2 Diagramas Fasoriais 2.2 Sistema de Números Complexos 2.2.1 Plano Complexo 2.2.2 Operador j 2.3 Forma Retangular e Polar 2.3.1 Forma Retangular 2.3.2 Forma Polar 2.3.3 Identidade de Euler 2.4 Operação Matemática com Grandezas Complexas 2.4.1 Soma 2.4.2 Subtração 2.4.3 Produto 2.4.4 Divisão 2.4.5 Potenciação 2.4.6 Raiz N-ésima 2.4.7 Logaritmo
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- Introdução
Os fasores e os números complexos são duas importantes ferramentas para a análise de circuitos ca. As tensões e correntes senoidais podem ser matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. O sistema de números complexos é um meio de expressar os fasores e de operá-los matematicamente.
2.1. Fasor
Um fasor é uma representação gráfica semelhante a um vetor, mas em geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas senoidais.
O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ representa sua posição angular relativa ao eixo horizontal tomado como referência. Os ângulos positivos são medidos no sentido anti- horário a partir da referência (0 o) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir da referência.
Figura 2.1: Exemplo de fasores: magnitude e direção.
A Figura 2.2 mostra um fasor de magnitude |A| que gira com velocidade angular ω.
Figura 2.2: Fasor girante.
θ
90º
180º (^) 0º
270º
magnitude
-60º
90º
180º (^) 0º
270º
2
ωt
|A|
90º
180º 0º
A Figura 2.4 apresenta a representação de uma onda co-senoidal por um fasor girante. O valor instantâneo da co-senoide em qualquer ponto da onda é igual à distância horizontal da extremidade do fasor ao eixo vertical, ou seja, igual à projeção do fasor sobre o eixo horizontal.
Note que a amplitude do fasor é igual ao valor de pico da onda senoidal na Figura 2.3 (pontos 90º e 270º) e da onda co-senoidal na Figura 2.4 (pontos 0 o^ e 180º).
A Figura 2.5 mostra um fasor de tensão em uma posição angular específica de 45º e o correspondente ponto na onda senoidal. O valor instantâneo da onda senoidal neste ponto está relacionado à posição (θ) e à amplitude do fasor (Vp). Note que quando uma linha vertical é traçada da extremidade do fasor até o eixo horizontal é formado um triângulo retangular. O comprimento do fasor é a hipotenusa do triângulo, e a projeção vertical, o seu cateto oposto. Assim, o cateto oposto do triângulo reto é igual à hipotenusa vezes o seno do ângulo θ e representa o valor instantâneo da senóide.
Figura 2.5: Relação matemática entre a senóide e o fasor.
O período e a freqüência da onda senoidal estão relacionados à velocidade de rotação do fasor. A velocidade de rotação do fasor é denominada de velocidade angular, ω. Quando um fasor gira a uma
velocidade ω, então ωt representa o ângulo instantâneo do fasor que pode ser expresso como:
θ=ωt (2.1)
2.1.2 Diagramas Fasoriais
Como visto anteriormente, uma onda senoidal periódica de freqüência e amplitude constantes pode ser representada por um fasor girante. Como amplitude e freqüência são constantes, tem-se que uma vez
conhecida o valor instantâneo de uma senóide em t=0, em qualquer tempo o valor da senóide pode ser determinado.
(a) (b) Figura 2.6: Definição de uma onda senoidal.
A onda senoidal mostrada na Figura 2.6 é definida matematicamente como: ν(t)= Vp.sen(ωt+45º) (2.2)
Assim, o fasor da Figura 2.6 (b) tem amplitude igual a Vp, gira a uma velocidade angular ω, e tem um ângulo de fase igual a 45º.
Um fasor em uma posição fixa é usado para representar uma onda senoidal completa porque uma vez estabelecido o ângulo de fase entre a onda senoidal e uma referência, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos demais ciclos.
Um diagrama fasorial pode ser usado para mostrar a posição relativa de duas ou mais ondas senoidais de mesma freqüência, pois uma vez que o ângulo de fase entre duas ou mais ondas de mesma freqüência é estabelecida, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos ciclos.
Na Figura 2.7 três ondas senoidais são representadas por um diagrama fasorial. A senóide A está adiantada das senóides B e C, a senóide B está adiantada em relação à senóide C, porém atrasada em relação à senóide A, e a senóide C está atrasada em relação às senóides A e B, como indicado no diagrama fasorial.
Figura 2.7: Exemplo de diagrama fasorial.
45º (^) 0º
90º
180º
270º
45º -60º
A B
C
Vp
exemplo do ponto 4+j2. Note que o número 4+j2 tem como conjugado 4-j2, pois diferem apenas no sinal da parte imaginária. O conjugado de um número complexo é representado pelo expoente ()*.
Figura 2.8: Plano cartesiano complexo.
Uma posição angular pode ser representada em um plano complexo como mostra a Figura 2.9.
Figura 2.9: Ângulos no plano complexo.
2.2.2 Operador j
O operador j é denominado operador complexo e é definido como:
j= − 1 (2.5)
O operador +j ao multiplicar uma grandeza real move no sentido anti- horário a grandeza localizada no eixo real para o eixo imaginário, rotacionando-a de +90º. De modo semelhante, multiplicando a grandeza real por –j, a grandeza gira de -90º, sentido horário. Assim, j é considerado um operador rotacional.
4º quadrante
-4-j
j
2 -j
4 + j
4 - j
-5 + j
Eixo Imaginário
Eixo Real
+j
-j
2º quadrante 1º quadrante
3º quadrante
0 o/360º
90 o
+j
-j 270º
180º
1º quadrante
4º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
Figura 2.10: Efeito do operador j
Seja uma grandeza real positiva + representada sobre o eixo real. Ao ser aplicado o operador j tem-se:
j 2 2 = ( − 1 ) ⋅( − 1 ) ⋅( 2 ) =( − 1 ) ( )⋅ 2 =− 2
j 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) ( )j 2 j 2
3 2 = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ =− (2.6)
j 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 2
4 2 2 = − ⋅ − ⋅ = − ⋅− ⋅ =
Observe que o operador j 2 gira de +180º a grandeza sobre qual opera convertendo-a a um número real negativo, j 3 gira de 270º, e quando multiplicado por j^4 retorna ao lugar de origem.
2.3. Forma Retangular e Polar
A forma polar e retangular são duas formas de representação de números complexos, usadas para representar grandezas fasoriais. Cada uma apresenta vantagens quando usadas na análise de circuitos, dependendo da aplicação.
Como visto na seção 2.1, um fasor apresenta magnitude e fase. Em geral, a magnitude de um fasor é representada por uma letra itálica ou pela representação de módulo |. |.
Um fasor é representado graficamente por uma seta desde a origem até o ponto no plano complexo.
2.3.1 Forma Retangular
Um fasor, em qualquer quadrante de um plano complexo, pode ser completamente especificado numa forma de notação cartesiana ou retangular como:
A = ± x (^) A ± jy (^) A. (2.7)
± x (^) A representa a projeção de A no eixo real; ± jy (^) A. representa a projeção de A sobre o eixo imaginário.
Figura 2.11: Fasor em diferentes quadrantes.
A
A
A
A
+j
-x (^) A +x (^) A
+jyA
-jyA
+j
(j 2 )2=-
(j 3 )2=-j
Figura 2.13: Coordenadas cartesianas de um fasor.
θ
θ θ
⎟⎟= ∠± ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ ±
± ≡ + ∠
=± ± = ± − A x
y x y
A x jy A cos jsen
A
(^21) A A
2 A
A A
tg
A conversão polar → retangular tem-se:
A ∠±θ ≡A⋅ ( cosθ±jsenθ) =±xA ±jyA (2.13)
2.3.3 Identidade de Euler
Seja o fasor A representado em sua forma retangular trigonométrica:
A = ⏐A⏐.(cosθ + jsenθ) (2.14)
As funções senθ e cosθ expandidas em série:
A = ⏐A⏐[(1-
θ^2 2!
θ^4 4!
θ^6 6!
θ^3 3!
θ^5 5!
θ^7 7!
+ ...)] (2.15)
O fasor A pode ser re-escrito como:
A = ⏐A⏐(1 + jθ +
( jθ )^2
2!
( jθ) 3
3!
( jθ) 4
4!
( jθ) 5
5!
Reconhecendo que:
e j θ^ = 1 + jθ +
( jθ )^2
2!
( jθ )^3
3!
( jθ) 4
4!
( jθ) 5
5!
tem-se:
A = ⏐A⏐.e j θ^ = ⏐A⏐.(cosθ + jsenθ) (2.18) com
+j
A
+x (^) A =|A|cosθ
+jyA =j|A| senθ θ
e j θ^ = (cosθ + jsenθ) (2.19)
que representa a identidade de Euler.
De modo análogo tem-se que:
e - j θ^ = (cosθ - jsenθ) (2.20)
O fasor A quando representado como A = |A|.e±jθ^ diz-se estar na forma exponencial.
A forma polar é a representação concisa da forma exponencial.
A =|A|.e±jθ^ ≡|A| ∠ ±θ (2.21)
A Equação 2.22 apresenta as diferentes formas de representar uma onda senoidal variante no tempo por um fasor com magnitude definida pela amplitude da onda senoidal, que gira a uma velocidade angular ω, e cuja representação gráfica indica a condição no instante t=0, para um ângulo de fase que se mantém constante no tempo.
A = ± x (^) A ± j y (^) A = |A|.e ± j θ^ ≡⏐A⏐ ∠ ±θ (2.22)
Assim, ondas senoidais e co-senoidais, de amplitude e freqüência definidas, encontram representação através de fasores.
|A|.cos(ωt±ϕ) = Re[|A|.ej(ωt±ϕ)^ ] = |A|∠±ϕ (2.23) |A|.sen(ωt±ϕ) = Im[|A|.ej(ωt±ϕ)^ ] = |A|∠±ϕ
Uma outra maneira de apresentar a identidade de Euler consiste na definição do fasor como:
A = (cosθ + jsenθ) (2.24)
A derivada de A em relação a θ é dada por:
dA dθ
= -senθ + jcosθ = j(cosθ +jsenθ) = jA (2.25)
Re-escrevendo a Equação 2.25, tem-se:
Figura 2.13: Soma de fasores.
2.4.2 Subtração
A subtração dos fasores A e B é dada por:
C = A - B = (a - c) + j(b - d) (2.33)
Figura 2.14: Subtração de fasores.
2.4.3 Produto
O produto de A e B é dado por:
A.B = (a + jb).(c + jd) = (a.c - b.d) + j(a.d + b.c) (2.34) ou A.B = |A|.e jθ^1 |B|.e jθ^2 = |A|.|B|.e j(^ θ1+^ θ2 ) = |A|.|B|∠ (θ 1 +θ 2 ) (2.35)
A Equação 2.35 mostra que se sobre um fasor A=⏐A⏐.e j θ^1 aplicarmos um fasor B de magnitude |B| e ângulo θ 2 , i.é. B= |B|.e j θ^2 = (cosθ 2 + jsenθ 2 ), o fasor resultante:
A = 3 + j
C = 5 - j B = 2 - j
A
B C
-B C
A
B
C -B
A
B
D = |A|.|B|.e j θ^1. e j θ^2 = |A|.|B|[cos(θ 1 +θ 2 ) + jsen(θ 1 +θ 2 )] (2.36)
O fasor D tem módulo |A|.|B|, e está avançado de θ 2 desde a posição de A formando um ângulo com o eixo de referência igual a (θ 1 +θ 2 ).
Portanto, o operador e j θ^ = cosθ + jsenθ operando sobre um fasor A faz este fasor girar de um ângulo +θ desde sua posição inicial. O operador e - j θ^ = cosθ - jsenθ operando sobre um vetor A faz este vetor girar de um ângulo (-θ).
A multiplicação é mais fácil de ser operada quando as grandezas envolvidas estão na forma polar.
2.4.4 Divisão
( )( ) ( )( )
A
B
a jb c jd
a jb c jd c jd c jd
ac bd c d
j
bc ad (^2 2) c 2 d 2
ou
A ( )
B
A e B e
A
B
e
j j
j = = −
θ θ
θ θ
1 2
1 2
A
B
A
B
= ∠(θ 1 - θ 2 ) (2.38)
Como na multiplicação, a divisão é mais fácil quando as grandezas estão na forma polar.
2.4.5 Potenciação
Seja An^ = (|A|.e j θ^ ) n^ = |A| n.e j n.θ
An^ = |A|n.∠ n.θ (2.
