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CAPÍTULO 5:
CISALHAMENTO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob
Flexão
Hipóteses Básicas:
a) As tensões de cisalhamento τ
são admitidas paralelas à força de cisalhamento V, portanto paralela a “y’’.
b) As tensões τ não variam ao longo
da largura da seção, e sim na altura.
c) As tensões normais σ não ficam afetadas pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento.
< 4
1
h
b
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5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob
Flexão
Analisando o elemento, vemos que existem
tensões de cisalhamento horizontais agindo
entre as camadas horizontais.
Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem
forças de cisalhamento na superfície da
barra.
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento
horizontais agindo entre camadas da viga.
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mp m 1 p 1 , vemos que como σ 1 ≠ σ 2 , é necessário a tensão τ
para equilibrar.
As tensões verticais nos planos mp e m 1 p 1 não estão sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o
equilíbrio na direção x.
Diagrama de corpo livre do elemento mp m 1 p 1 :
dA I
M y F dA z
⋅
⋅
1 =^ ∫ σ 1 ⋅^ =∫
( ) dA I
M dM y F dA z
⋅
2 =^ ∫ σ 2 ⋅^ =∫
onde y varia de y 1 até h/2.
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x:
F 1 (^) + F 3 − F 2 = 0 ∴ F 3 = F 2 − F 1
∫
= ⋅ y ⋅ dA
I
dM
F
z
3
( )
dA
I
dM y
dA
I
M y
dA
I
M dM y
F
z z z
(^3) ∫ ∫ ∫
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
F 3 também pode ser vista em função da tensão τ:
F 3 = τ. b. dx , onde (b. dx) é a área da parte inferior
do elemento.
Logo:
∫ ∫
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ y dA dx b I
dM y dA I
dM b dx
z z
τ τ
emrelaçãoalinha neutra.
MomentoEstáticodaáreasombreada
onde: forçadecisalhamento
⋅ = →
= →
∫ y dA Ms
V dx
dM
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Com essa notação temos:
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
→ FórmuladeCisalhamen to ⋅
⋅
z
s
b I
V M τ
Observações:
V, b e Iz são constantes em uma seção.
Ms varia com a distância y 1.
Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os
elementos como valores positivos, pois sabemos
que a tensão τ atua na mesma direção da força
de cisalhamento V.
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção
Circular
Não podemos assumir que as tensões
de cisalhamento agem paralelamente ao
eixo y.
Em um ponto m na superfície, a tensão
deve agir de forma tangente.
As tensões de cisalhamento na Linha
Neutra, onde as tensões são máximas,
podem ser assumidas como: paralelas a
y e intensidade constante ao longo da
largura.
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção
Circular
Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de
cisalhamento:
z
s máx b I
V M
Onde:
4
4 r Iz
⋅
π
3
2 3 r r r Ms Ay
π
π
b = 2 ⋅ r
2
3
4
2 r
r V
r r
V
máx
π π
τ
A
V
máx
τ
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção
Circular
Para seção circular vazada:
( )
4 1
4 2
Iz = ⋅ r − r
( )
3 1
3 2
Ms = ⋅ r − r
b = 2 ⋅ ( r 2 − r 1 )
⋅
⋅
⋅
2 1
2 2
2 2 1 1
2 2
3
4
r r
r r r r
A
V
b I
V M
z
s τ máx
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Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira
mostrada, determine o máximo valor para P se a
tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para
tração e compressão) e a tensão admissível para
cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa.
Desconsidere o peso próprio.
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
P
0,5m 0,5m
P
100mm
150mm
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Exemplo 1
6 − 6
⋅ × ⋅
W
P
adm flexão
Pflexão = 8 , 25 KN
4 6
.
× ⋅ × ⋅
− adm cisalh
A
P
Pcisalh = 12 KN
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Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a
estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam
ultrapassadas as seguintes tensões:
σ Rupt .( T )= 70 MPa ; C. S .= 7
σ Rupt .( C )= 56 MPa ; C. S .= 8
τ adm = 1 , 2 MPa
B
40kN/m
A
2m 4m
30kN
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
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Exemplo 2
a) Tensões admissíveis:
MPa C S
Rupt T adm T^10 7
70
..
.( ) ( )= = =
σ σ
MPa C S
Rupt C adm C^7 8
56
..
.( ) ( )= = =
σ σ
RVA = 125 kN
RVB = 65 kN D.E.C.
A C B
30 65
95 b) Seções críticas:
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Exemplo 2
Trecho AC :
V = − 65 + 40 ⋅ ( 6 − x )
V = 175 − 40 ⋅ x = 0 ⇒ x = 4 , 375 m
M (^) A =− 30 × 2 =− 60 KN. m
( )
( ) MC 52 , 81 KN. m 2
2
=
= × − − ×
Seções críticas: A e C
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As tensões de cisalhamento nos flanges da viga
atuam em ambas as direções, verticais e horizontais.
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de
Vigas com Flange
Alma
Mesa ou Flange
Mesa ou Flange
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5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de
Vigas com Flange
As tensões de cisalhamento na alma de viga de
flange largo são verticais e são maiores que as
tensões nos flanges.
Devido a complexidade da distribuição das tensões
de cisalhamento no flange, iremos considerar
apenas as tensões agindo na alma da viga.
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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef.
z
s
b I
V M
⋅
⋅ τ = onde b = t^ e^ Ms é da área sombreada
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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
Momento Estático da área sombreada.
1 1
h h A b
1 1 1
h^ h h y
1 2 2
y
h A t
1
2 1
y
h
y y
( ) ( )
2 1
2 1
2 1
2 1 1 2 2 4 8 8
h y
t h h
b M (^) s = A ⋅ y + A ⋅ y = ⋅ − + ⋅ − ⋅
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5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma
A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento
e os flanges são superponíveis por uma pequena
parcela.
alma^ (^ máx mín )
t h
V ⋅ ⋅τ + τ
1
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5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de
Vigas com Flange
Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção
transversal em T. Pede-se para determinar a tensão
de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento
a 3 cm da borda superior da viga, na seção de
engastamento.
50kN
2m 25cm
5cm
5cm
45cm
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Exemplo 3
a) Centróide e Momento de Inércia:
cm A
y A y 18 , 57 1
1 1
⋅
∑
∑
( )
2 4 '
I I Ai di 88452 , 4 cm z z 25cm =^ ∑ + ⋅ =
5cm
5cm
45cm
x
y
z y
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Exemplo 3
b) Diagrama de Esforço Cortante:
Vmáx = 50 kN
50kN
+
D.E.C.
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Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que
a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que
σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m.
5.3 Tensões de Cisalhamento em
Almas de Vigas com Flange
q
A (^) B
a a a
C D E
aq aq (^) aq
a
5 10cm 5
20cm
5
5
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Exemplo 4
a) Centróide e Momento de Inércia:
y cm
x cm
3 3
(ext.) (int.)
×
×
Iz = Iz − Iz =
4 I (^) z = 38. 333 , 33 cm
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Exemplo 4
b) Esforços internos máximos:
RVB = 4,5q e RVD = 3,5q
M (^) B = − 4 ⋅ q M^ C =^ −^8 ⋅ q +^7 q =− q M (^) D = − 4 ⋅ q
Logo: M^ máx =^ −^4 ⋅ q Vmáx =^2 ,^5 ⋅ q
Seções críticas: B, C e D.
2q
2,5q
0,5q
1,5q
2q
- -
+ +
A B C D E
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Exemplo 4
c) Verificação da σadm:
MPa I
M e adm z
1 2 ≤ =^10
⋅ ⋅ ×
−
− 6 8
2
10 10 38333 , 33 10
4 q 15 10 q ≤ 6 , 39 kN / m
