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O ROTACIONAL
Ricardo Bianconi
Primeiro Semestre de 2008
O rotacional de um campo vetorial ´e uma transforma¸c˜ao linear que leva um campo vetorial em outro, e que tem aplica¸c˜oes em Mecˆanica dos Fluidos e em Eletromagnetismo, al´em de outras ´areas. Vamos defini-lo por meio de integrais de linha. Lembramos que num plano, com base ortonormal positiva (Xu, Xv) (eixos u e v) passando por um ponto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ), e , se γr(t) = p 0 + r cos t Xu + r sen t Xv, e se Dr = {(x, y, z) = p 0 + u Xu + v Xv : u^2 + v^2 ≤ r^2 }, ent˜ao o Teorema de Green estipula que
∮
γr
G · dr =
Dr
∂G 2
∂u
∂G 1
∂v
du dv
sendo que G(u, v) = G(p 0 + u Xu + v Xv) = G 1 Xu + G 2 Xv. Agora seja F(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo veto- rial de classe C^1 , e π um plano com equa¸c˜ao vetorial (x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + u Xu + v Xv, onde suporemos que (Xu, Xv) forma uma base ortonormal e que tenham coordenadas Xu = (u 1 , u 2 , u 3 ) e Xv = (v 1 , v 2 , v 3 ) (na base canˆonica de R^3. Suponhamos que o campo F esteja definido em uma vizinhan¸ca do ponto (x 0 , y 0 , z 0 ). Seja G(u, v) = G 1 (u, v) Xu + G 2 (u, v) Xv, onde
G 1 (u, v) = F(x 0 + u u 1 + v v 1 , y 0 + u u 2 + v v 2 , z 0 + u u 3 + v v 3 ) · Xu
G 2 (u, v) = F(x 0 + u u 1 + v v 1 , y 0 + u u 2 + v v 2 , z 0 + u u 3 + v v 3 ) · Xv Usando a regra da cadeia e omitindo as vari´aveis, temos
∂G 2 ∂u
= u 1 v 1
∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
∂Q
∂x
∂Q
∂y
∂Q
∂z
∂R
∂x
∂R
∂y
∂R
∂z
e tamb´em
∂G 1 ∂v
= u 1 v 1
∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
∂Q
∂x
∂Q
∂y
∂Q
∂z
∂R
∂x
∂R
∂y
∂R
∂z
e assim,
( ∂G 2 ∂u
∂G 1
∂v
M ·
N
sendo que −→ M =
∂R
∂y
∂Q
∂z
∂P
∂z
∂R
∂x
∂Q
∂x
∂P
∂y
e −→ N = (u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ) = Xu × Xv.
O campo vetorial
M ´e chamado de rotacional do campo F, e denotado por rot F ou por ∇F. Essa transforma¸c˜ao tem esse nome porque de certa forma mede o quanto o campo F roda em torno de cada ponto. Provaremos uma f´ormula que torna essa interpreta¸c˜ao mais expl´ıcita. De modo a que se torne mais intuitivo, suporemos que F seja um campo de velocidades de um fluido movendo-se em uma regi˜ao de R^3. Seja p 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto do dom´ınio do campo F e sejam π um plano contendo p 0 , com equa¸c˜ao vetorial (x, y, z) = p 0 + u Xu + v Xv, com base ortonormal positiva (Xu, Xv) (eixos u e v), γr(t) = po + r cos t Xu + r sen t Xv, e se Dr = {(x, y, z) = p 0 + u Xu + v Xv : u^2 + v^2 ≤ r^2 }, e G(u, v) = G 1 (u, v) Xu + G 2 (u, v) Xv, em que G 1 (u, v) = [F(p 0 + u Xu + v Xv) · Xu] e
podemos supor proporcional `a velocidade. Como a velocidade angular local desse fluido ´e zero em torno de cada ponto, o torque total exercido pelo fluido sobre a rolha ´e zero. Assim, veremos os eixos sobre a rolha sempre apontando para as mesmas dire¸c˜oes. Assim, se considerarmos o campo de velocidades em regime estacion´ario (n˜ao variando com o tempo), de um fluido viscoso submetido ao efeito de um eixo vertical cil´ındrico de raio a > 0 rodando em sentido anti-hor´ario, cuja express˜ao ´e proporcional a
F(x, y, z) =
−y x^2 + y^2
i +
x x^2 + y^2
j,
vemos que globalmente, cada part´ıcula percorre uma circunferˆencia centrada no eixo z, mas, como o rotacional deste campo ´e zero, uma rolha bem pe- quena colocada no fluido com eixos desenhados em cima sempre os manter´a apontando para a mesma dire¸c˜ao. Ou seja, o rotacional ´e uma medida local e n˜ao global de rota¸c˜ao de um campo.
