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Regime transitório em circuitos
É conhecimento comum que a quase totalidade dos circuitos reais que conhecemos tem um interruptor
através do qual iniciam e terminam o seu funcionamento.
Até aqui, o nosso estudo de circuitos tem ignorado a questão de saber o que se passa na transição do
“antes” para o “depois” do fecho (ou ao contrário) desse interruptor.
O conhecimento rigoroso desta transição é muito importante e é dele que agora nos vamos ocupar.
Como é habitual, vamos estudar os casos canónicos, pois a partir destes podem deduzir‐se todos os
outros.
Circuito RC.
O nosso objectivo é conhecer a forma como evoluem as correntes, tensões e carga a partir do instante
em que se fecha o interruptor S, no circuito da figura.
Quando S fecha, estabelece‐se uma corrente i(t) que carrega o C. A equação da malha que então se
forma permite escrever a equação do circuito :
ሺ௧ሻ
, ou (1)
ௗ
ௗ௧
ሺ௧ሻ
pois ݅ ൌ
ௗ
ௗ௧
Esta equação diferencial pode escrever‐se usando uma notação já conhecida
V ൌ R. ∆q
୯
C
E tem, como se sabe, uma solução que é a soma do integral geral da equação homogénea respectiva
com um integral particular da eq. completa.
Ora a eq. homogénea é
ൌ 0 ou ቀ .ܴ∆
ଵ
ቁ ݍൌ 0 ou ainda ቀ∆
ଵ
ோ
e a solução é
V
S
R
C
V
S R
C
i(t)
Figura 1 – Regime transitório num circuito RC. À esquerda, o circuito antes do fecho do interruptor com C
descarregado. À direita, depois do fecho do interruptor S, o mesmo circuito com a corrente i(t) que se
estabelece para carregar C.
qሺtሻ ൌ A. εି
భ RC
୲ , em que A é a constante de integração.
A solução completa escreve‐se
qሺtሻ ൌ A. εି
భ RC
୲
em que k é o integral particular da eq. completa.
Determinemos A e k a partir de condições fronteira conhecidas:
- ݍሺ0ሻ ൌ 0 (o condensador está inicialmente descarregado)
(o condensador acaba por carregar até ficar com a tensão V)
A primeira permite escrever 0 ൌ ܣ݇ ՜ ݇െ ൌ ܣ
e a segunda
qሺtሻ ൌ ܸܥെ ܸܥ. εି
భ ೃ ୲
qሺtሻ ൌ CV ቀ1 െ εି
భ RC
୲ ቁ (3)
que é a solução procurada.
Notemos que o factor ܴ ܥ tem a dimensão ିݐ
ଵ , de tal forma que o expoente da exponencial fica
adimensional, como tinha de ser. Este factor chama‐se constante temporal do circuito e tem um signi‐
ficado físico óbvio: dá uma medida da rapidez com que o regime transitório se estabelece ou extingue.
O conhecimento de qሺtሻ através da equação (3) permite conhecer todas as outras correntes e tensões
do circuito:
iሺtሻ ൌୢ
୯ୢ
୲
V
R
εି
భ RC ୲^ (4)
vR ሺtሻ ൌ R. iሺtሻ ൌ V εି
భ RC ୲^ (5)
vC ሺtሻ ൌ
୯ሺ୲ሻ
C
ൌ V ቀ1 െ εି
భ RC
୲ ቁ (6)
Circuito RL.
Equações do circuito
ௗ
ௗ௧
, ou (1)
V ൌ ሺL∆ Rሻi
A solução desta eq. diferencial é da forma
ோ ௧^ ܤ
V
S R
L
iሺtሻ ൌ
V
L
க ∆భ౪ ି^ க ∆మ౪
∆ (^) భି ∆ (^) మ
Para dar forma à solução, podem distinguir‐se três casos
1. ܴට^
ଶ
ଶ
3. ܴට ଶ^ െ 4
Caso 1.
A solução assume a forma de soma de duas exponenciais. No caso de ser ainda ܴ ଶ^ 0 ب ܥܮ4 െ a solução
fica
ோ
భ ೃ
௧
ೃ ಽ
௧
Caso 2.
No limite, quando ܴට ଶ^ െ 4
tende para zero, fica
ோ ଶ௧
O regime transitório, neste caso, tende a desvanecer‐se mais rapidamente.
Caso 3.
Aqui, as raízes ߣଵ e ߣଶ não são reais mas, antes, complexas.
Fazendo ݓ ൌ ට^
ଵ
ோ మ
ସమ
vem ߣଵ ߣ െଶ ݓ݆2 ൌ (^)
e
A equação (11) pode escrever‐se
ோ ଶ
௧
௪ ௧
௪ (^) ௧
que simplifica para
ோ ଶ
௧
sin ݓ ݐ
Esta expressão significa que a corrente oscila com uma frequência angular ݓ e amplitude a decair
exponencialmente.
Na figura seguinte estão representados os traçados típicos da corrente nos três casos estudados.
Corrente
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Tempo ‐ segundos
