Combinatoria, Notas de estudo de Matemática

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COLTEC – UFMG

Setor de Matemática

ANÁLISE

COMBINATÓRIA

Airton Carrião

1. Princípio Fundamental da Contagem

PARTE I - Resolva os seguintes problemas:

• Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o Cruzeiro dispõe?
• Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, também as meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa?

Uma forma de visualizarmos o que ocorre nos exemplos acima é usando o diagrama de árvore, que é montado como no exemplo abaixo: Para chegarmos ao 2º andar do Coltec, vindos de fora do prédio, podemos escolher entre duas portas de entrada e quatro escadas de acesso. De quantas formas distintas podemos chegar?

e (^1) e (^2) p e (^3) e (^4)

e (^1) e (^2) p e (^3) e (^4)

Complete o diagrama acima para chegarmos ao terceiro andar, sabendo-se que existem duas escadas de acesso do 2º para o 3º andar.

Sendo os conjuntos A={a1, a (^) 2, a3, .......,a (^) m} e B={b1, b (^) 2, b3, .........., b (^) n}, deterine quantos elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (a (^) i, b (^) j) onde a (^) i^ F 0C E A e b (^) j^ F 0C E B, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?

PARTE II - Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiros colocados?

Sendo o conjunto A={a (^) 1, a2, a3,.......,am}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (a (^) i, aj) onde a (^) i , a (^) j^ F 0C E A que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se?

Ex.: 3! = 3.2.1 = 6 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exercícios:

7. Simplifique as expressões abaixo: a) e)

b) f)

m

m

c) g) d)

3. ARRANJO

Resolva os problemas abaixo:

• Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações? E com n participantes?
• Com n participantes de quantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocados? Os cinco primeiros colocados? Ou os p primeiros colocados?
• A partir do resultado obtido no segundo problema obtenha uma expressão que represente de forma simplificada este problema.

Chamaremos a partir de agora de Arranjo a todos agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através da expressão simplificada obtida acima.

Exercícios:

8. Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca?

9. Um banco pede que cada cliente crie uma senha para se utilizar de seu sistema informatizado. Como essa senha deve ter 5 algarismos distintos, quantos são as possíveis senhas? E se pudesse haver repetição?

10. Num exame vestibular os candidatos foram numerados de 001 a 1000. Quantos candidatos receberam números cujos algarismos são distintos?

4. COMBINAÇÃO

Resolva os problemas abaixo:

• Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter

grupos de dois alunos? Descreva esses grupos.

• E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos.

• Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de 8 alunos?
• Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de r alunos?
• A partir do resultado obtido no problema acima obtenha uma expressão que represente o caso de p alunos na turma e r no grupo.

Chamaremos de Combinação a todos os agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos elementos não importa, ou seja serão combinação de n elementos, p a p.

Exercícios:

1. Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?

2. Um químico dispõe de 9 substâncias para realizar três experimentos (A, B e C). De quantos modos poderá fazer os experimentos, colocando 4 substâncias no experimento A, 3 substâncias no experimento B e 2 substâncias no experimento C?

3. Sobre duas retas paralelas marcam-se respectivamente, 7 pontos e 9 pontos. Quantos triângulos podemos determinar com estes 16 pontos?

4. Quantas diagonais tem um octógono?

5. Sabendo-se que , determine o valor de p.

VII - Resolva as questões abaixo:

• De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4 pessoas? E se forem 5 pessoas?
• Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

IX -Resolva a seguinte questão

1. Quantas soluções (x, y, z), com {x, y, z}F 0C C N, possui a equação x+y+z=7?

Sugestão: indicando cada unidade pelo símbolo “|“, podemos indicar 2+1+4 por ||+|+||||; 3+0+ por |||+ +||||; etc.

Definição: O número de soluções inteiras não negativas da equação x 1 + x 2 + ... + xn = r, onde r e x (^) i , para i = 1, 2, ..., n , são inteiros positivos, é dada pela expressão: =

2. Num bar que vende três tipos de refrigerantes: Guaraná, Soda e Tônica. De quantas formas uma pessoas pode comprar 5 garrafas de refrigerantes?
3. Temos duas urnas A e B. De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia?

X – Resolva as questões:

1. De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três salas A, B e C de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?
2. De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo, 4 pessoas?

Definição: Considerando um conjunto A e k subconjuntos de A não vazios A (^) 1, A (^) 2, A3, ..., Ak tais

que: 2).)i Ai F 0C 7 Aj = F 0C 6 , para todo i F 0B 9 j e i, j F 0C E { 1, 2, 3, ..., k} 2).)ii A 1 F 0C 8 A 2 F 0C 8 A 3 F 0C 8 ... F 0C 8 Ak = A

Chamaremos de partição ordenada do conjunto A, à seqüência de conjuntos: (A (^) 1, A2, A3, ..., Ak)

E de partição não ordenada de A à família { A (^) 1, A2, A3, ..., Ak}

3. De quantas maneiras 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 por time? E se os times tiverem os nomes pré-estabelecidos?

1ª Lista de Exercícios Análise Combinatória

1. Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados? Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35? De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias. Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante? Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37? Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva? Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas? Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face? Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares? Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática? Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras de uma sala de aula? Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4? Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo- se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que estavam na reunião? Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136, e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p. Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações.) Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa? O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27 da M36. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado?

3ª Lista de Exercícios Análise Combinatória

1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de cada cor.
3. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?
4. Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras distintas podem fazer isto?
5. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?
6. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?
7. Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos será um número divisível por 3).
8. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.
9. Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.
10. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
11. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
12. Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas maneiras podem posicionar- se para tirar a foto?
13. Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa O +(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.
14. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos.
15. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar?

16. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
17. Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e Ana Paula resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?
18. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall?
19. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros.
20. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado, todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.
21. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.
22. Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?
23. Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:

• Rômulo e Cotinho não entram juntos
• Mac Fly e Erika só entram juntos Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36?

24. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas maneiras seria possível compor a mesa.
25. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta ordem?
26. Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.

GABARITO

Lista 1.

1. a) 35 b) 2. 325 3. 2030
2. 648 5. 6.
3. 90ª. 8. 140 9.
4. 100 11. 12. 13502
5. 2450 14. 168 15. 12
6. 17. 5760 18. 212520
7. 230356

Lista 2.

1. 2. a) b) c) 3. a) b) c) impossível
2. 728 5. 4 6. 20
3. 1500 8. 4! 9.
4. 7!.8.3! 11. 12. 7
5. 192 14. 15. 60
6. 17. 12

Lista 3.

1. 72 2. 9 3. 504
2. 100 5. 6. 30
3. 48 8. 505 9. 144
4. 6840 11. 12.
5. 30.7! 14. 252 15.
6. 17. 36 18.
7. 90 20. 2580480 21. 63
8. 23. 840.20! 24.
9. a) b) 26. 14