MO417 – Complexidade de Algoritmos
Segundo Semestre de 2011
Segunda Lista de Exerc´
ıcios
1. Sejam f(n)eg(n)func¸˜
oes assintoticamente n˜
ao-negativas. Usando a definic¸˜
ao b´
asica da
notac¸˜
ao Θ, mostre que a func¸˜
ao h(n) = max{f(n), g(n)}pertence a Θ(f(n) + g(n)).
2. Mostre que para quaisquer constantes a, b onde b > 0temos que (n+a)b∈Θ(nb).
3. ´
E verdade que 2n+1 ∈O(2n)? E 22n∈O(2n)?
4. Explique por que a afirmac¸˜
ao “o tempo de execuc¸˜
ao do algoritmo A´
e pelo menos O(n2)” n˜
ao
faz sentido.
5. Mostre que n!∈o(nn), n!∈ω(2n)elog n!∈Θ(nlog n). N˜
ao utilize a aproximac¸˜
ao de Stirling.
6. Prove ou apresente um contra-exemplo para cada uma das afirmac¸˜
oes abaixo.
(a) se f(n)∈O(g(n)) ent˜
ao g(n)∈O(f(n))
(b) f(n) + g(n)∈Θ(min(f(n), g(n)))
(c) se f(n)∈O(g(n)) ent˜
ao 2f(n)∈O(2g(n))
(d) se f(n)∈O(g(n)) ent˜
ao g(n)∈Ω(f(n))
(e) se h(n)∈o(f(n)) ent˜
ao f(n) + h(n)∈Θ(f(n))
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