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1. Cônicas
1.1 Um pouco da historia das cônicas Associado à história das curvas cônicas temos o nome de Apolônio, que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.) forma a triade considerada como sendo a dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável.
Sua obra prima é Secções Cônicas composta por 8 volumes (aproximadamente 400 proposições!).
Embora Apolônio tenha sido o matemático que mais estudou e desenvolveu as cônicas na antiguidade, essas curvas já eram conhecidas em sua época, sendo os precursores Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides.
1.2 O que são cônicas? Dandelin provou que há três tipos de seções cônicas possíveis, e denominaremo-las elipses, circunferências, parábolas e hipérboles. Uma secção cônica, também chamada de cônica, são as curvas resultantes do corte feito por um plano (sendo este o plano secante) que não passa pelo vértice do cone este definido por um eixo de simetria e uma reta geratriz.
Figura SEQ Figura * ARABIC 1-O cone e sua definição Suponha que α seja o ângulo entre o plano cortante e o eixo de simetria e β o ângulo entre a geratriz e o eixo A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz e que corta apenas uma das folhas da superfície, onde o ângulo β é maior que o ângulo α. A parábola é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a geratriz,cujo o angulo β é igual o ângulo α.
A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície, onde o ângulo β é menor que o ângulo α.
Figura SEQ Figura * ARABIC 2-Elipse, Parábola e hipérbole
Dependendo do corte pode se ter duas retas, uma reta e até mesmo um ponto, esse são chamados de cônicas degeneradas
Chama-se de cônica ao conjunto de pontos do plano cujas coordenadas cartesianas satisfazem uma equação do segundo grau com duas variáveis:
= Esta equação de diz completa quando todos os coeficientes A, B, C, D, E e F não forem nulo. A equação possui:
- Três termos do 2º grau: Ax²,Bxy e Cy²;
- Dois termos do 1º grau:Dx e Ey;
- Um termo independente: F Observando o termo Bxy: I)Se B0, o eixo focal da cônica obliquo aos eixos cartesianos. Para que a equação fique desprovida do termo em xy faz-se mister que se aplique uma rotação de eixo de amplitude θ.
II)Se B=0, a equação do 2º grau se reduz a forma, O eixo focal da cônica é paralelo aos eixos cartesianos. Efetuando translação de eixos obtemos a vértice e os seu centro
1.3 Discriminante da equação do 2º grau A equação Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 pode ser identificada uma elipse , uma hipérbole ou uma parábola, conforme o valor do discriminante B²-4CA. Se A equação representa B²-4CA=0 Uma parábola B²-4CA>0 Uma hipérbole B²-4CA<0 Uma elipse
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais a xOy. Mantendo fixa a origem O, faz-se uma rotação nos eixos Ox e Oy de um mesmo no sentido anti-horário.Desta forma obtem-se um novo sistema x’O’y’.
Um ponto P que tem coordenadas(x,y) em relação ao sistema xOy, após uma rotação de eixos assume coordenadas (x’,y’) em relação ao novo sistema x’O’y’.
A imagem acima percebe-se:
,onde e são respectivamente versores de x, y, x’ e y’.Multiplicando , por ficará , mas :
=| |
,substituindo as afirmações na formula: x=x’cos - y’sen , quando multiplicando escalarmente ,por obtem cálculos análogos: y=x’sen+y’cos
1.5 Ordem de transformação Considere a equação Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=. O escopo obtém a equação canonica da cônica. Para isso deve eliminar os elementos do 1º grau e/ou os termos do segundo grau e por conseqüinte aplica-se a translação de eixos e/ou sua rotação. A ordem será primeiro translação e depois rotação.
Exemplo: Dada a equação x²+3xy+y²-10x-10y+5=0: a)Identificar a cônica; b)achar o centro; Resolução: a)Para identificar a cônica é preciso adotar a formula B²-4AC,
A cônica é uma hipérbole. b)Calculo do centro, como a formula da translação é igual a ,substituindo na equação dada: Sendo os coeficientes de x’ igual a zero; 2a +3b-10= Sendo os coeficientes de y’ igual a zero; 3a+2b-10= Resolvendo o sistema fica a=2 e b=2. O centro da cônica é O’=(2,2). Como na translação os termos do 1º grau são eliminados o resulta, x’²+3x’y’+y’²+F’=0,onde F’= 2²+3.2.2+2²-10(2)-10(2)+ F’=-15; Assim, pela translação a equação se transforma na equação: x’²+3x’y’+y’²-15=
1.6 Cônicas degeneradas As cônicas degeneradas são obtidas quando o plano cortante passa pela vértice.
São cônicas degeneradas, um ponto(quando o plano tem em comum apenas o vertice), um par de retas concorrentes(quando o plano contiver o vértice e duas geratriz do cone) e uma reta(quando o plano contive a vértice e uma geratriz, o plano tangecia o cone).
1.6.1 Reconhecendo uma cônica degenerada Dada a equação do segundo grau
Seja, ,
Se é uma cônica regular, caso contrario é uma cônica degenerada.
2.Elipse Para estudar uma elipse precisa-se saber o conceito de foco. Os focos são dados pelas esferas de Dadelin ao inscrevemo-las dentro de um cone, uma em cima e outra abaixo do plano cortante que definiu a elipse. Os pontos de intersecção entre as esferas e o plano são chamados de focos.
Figura SEQ Figura * ARABIC 3-A origem dos focos
,o que mostra que b Observe, como em toda elipse a>b (a²>b²) para saber se o eixo maior está sobre o eixo de x ou de y, basta ver onde estar o maior denominador (a²) na equação reduzida. Se o maior denominador estiver em x² o eixo maior está sobre o eixo x, caso contrário o eixo maior está sobre o eixo y.
Exemplo: Dada a elipse 4x²+y²=16, encontrar: a)A medida dos semi-eixos; b)os focos ; c)e a excentridade Solução: a)Para transforma a equação na reduzida é preciso apenas dividi-la por 16,
Já que o maior denominador é o de y², o eixo maior se encontra sobre o eixo y, logo:
b)
Logo os focos são F1=(0,-) e F2=(0,)
c)
2.4 Aplicações da elipse
2.4.1 Trajetória dos planetas A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica. Foi Kepler que desenvolveu essa teoria. No caso da terra os semi-eixos são a=153.493.000Km e b=153.454.000Km. Aonde pode saber a excentricidade que será e=0,0167, quase uma circunferência
O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio em janeiro e o afélio em julho, que são as distâncias mínimas e máximas da terra em relação a
2.4.2 Engenharia Usa-se na engenharia civil para resistência dos materiais, onde é utilizada a elipse de inércia. Na engenharia elétrica usa-se conjunto de elipses homofocais para teoria de correntes elétricas estacionarias. Na engenharia mecânica são usadas engrenagens elípticas
- Eixo: é a reta e que passa por F e é perpendicular a diretriz(VF);
- Vértice : é o ponto de intersecção da parábola com o eixo.
- LATUS RECTUM: é a corda AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal mínima.
3.2 Equação reduzida
Seja vértice V=(0,0). Considere dois casos:
1)O eixo da parábola é o eixo dos y:
Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola de foco F= e diretriz de
equação.
Pela definição da equação da parábola,
d(F,P)=d(P,r).
, ou seja
, ou
,que é a equação reduzida para este caso.
Observe que o número real p0 é o parâmetro da equação da parábola, da equação conclui-se que py0, o parâmetro p e a ordenada y de P tem sinais iguais(py=0 se y=0), se p >0 a abertura da curva será para cima, se p<0 a abertura será para baixo. O gráfico será simétrico ao eixo y, pois se mudar x para –x a equação não mudará, ou seja, o ponto (x,y) pertence ao gráfico da mesma forma que o ponto(-x,y).
2)O eixo da parábola é o eixo de x:
Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola de foco F= e diretriz de
equação , irá se obter a forma análoga do primeiro caso, a equação
Se p>0 a curva tem abertura para o lado direito, se p<0 a abertura será para o lado esquerdo.
Exemplo: Dado uma parábola x²-10y=0, encontre:
a)O foco da parábola;
b)A equação da diretriz.
Solução:
a)Como a equação é da forma:
tem-se:
Foco=(0, );
b) A equação da diretriz será igual a y=.
3.3 Aplicações de uma parábola
3.3.1 Farol de um automóvel
A secção do farol de um automóvel tem o formato de uma parábola. A lâmpada que fica localizada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após de coincidir na parábola irão ser refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
3.3.2 Balistica
Quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força gravidade, a trajetória é uma parabola
4. Hipérbole
É o conjunto dos pontos P(x,y) tais que o modulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos chamados de foco F1 e F2(focos) é constante, ou seja, se dist(x,y)=2c, então a hipérbole é o conjunto de P(x,y) tais que:
- Assíntotas: são as retas r e s. Elas são retas que se aproxima da hipérbole cada vez que a mesma se afasta dos vértices.
O retângulo MNPQ possui as duas dimensões 2a e 2c, sendo a a medida do semi-eixo do eixo real e b a medida do semi-eixo do eixo imaginário.Do triangulo CA2M, obtém a relação:
O ângulo θ é chamado abertura da hipérbole. A excentricidade da hipérbole é o numero obtido através da equação
, já q c>a e vai ser sempre maior que 1.
A excentricidade estar ligada a abertura da hipérbole, se diminuir o valor de a o retângulo MNPQ fica estreito e a abertura da elipse fica maior. Quando o valor de a diminui(sendo que de c permanece) a excentricidade tende a ser maior. Ou seja, quanto maior a abertura, maior a excentricidade.
Quando a=b, o retângulo MNPQ torna-se um quadrado, e as retas assíntotas ficam perpendiculares. A hipérbole desta forma se chama “hipérbole eqüilátera”.
4.2 Equação reduzida
Seja uma hipérbole de centro C(0,0). Considere dois fatos:
1)O eixo real esta sobre o eixo do x
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole de focos F1(-c,0) e F(c,0). Pela definição:
;
, desta forma a equação reduzida é definida como:
2)Se o eixo real estiver sobre o eixo dos y
O processo será análogo ao primeiro caso, obtém-se a equação reduzida,
Exemplo:
Para a hipérbole com equação reduzida igual , onde a =4 e b=3.
Sabe-se que os vértices são (-4,0) e (4,0), que são obtidas através de y=0. No entanto, se tivesse feito o contrario seria impossível, com isso afirma-se que a hipérbole não passa no eixo y.
Como a equação apresenta apenas potências pares de x e y, a hipérbole será é simétrica em relação ao eixos coordenados e em relação a origem.
As retas assíntotas r e s que passam pelo centro da hipérbole, no caso, a origem do sistema, logo sua equações são do tipo sendo m a declividade, onde. Para hipérbole que tem como equação reduzida , o m é
Exemplo:
Para uma hipérbole de equação , encontre:
a. A medida dos semi-eixos;
b. Os vértices;
c. Os focos;
d. A excentricidade;
e. As equações assíntotas.
Resolução:
a)Primeiramente é preciso transformar a equação em reduzida,
;
, assim
b) vértices A1(0,-2) e A2(0,2);
c)
O significado geométrico do parâmetro pode ser visto do seguinte modo.
Sejam um circulo de centro na origem e raio a e um circulo de centro na origem e raio b
Figura 10-Círculos Ca e Cb Considere para cada os ponto e , tais que o vetores e fazem um ângulo t, medidos em radianos, no sentido anti-horário com semi-eixo positivo OX. A intersecção paralela ao eixo OX que passa pelo ponto Pa, com ponto com a reta r b : y = b sin t, paralela ao eixo OX que passa pelo ponto Pb, nos dá o ponto P =(a cos t; b sin t) pertencente à elipse
.
Seja, agora, a elipse ,de centro (x 0 , y 0 ). Por uma translação dos eixos coordenados, obtemos um sistema de eixos onde =(x 0 , y 0 ) é o centro da elipse. Nas novas coordenadas x e y, a equação cartesiana da elipse fica na forma e, portanto, é uma parametrização da elipse nas coordenadas x e y.Como x = x - x 0 e y = y -y 0 , obtemos que: é uma parametrização da elipse nas coordenadas x e y.
Exemplo:
Parametrize a elipse de equação x 2 + 4y 2 - 2x - 16y = -1.
Completando os quadrados: obtemos que a elipse tem centro no ponto (1; 2), , a = 4e b = 2. Então,
é uma parametrização da elipse.
5.2 Parametrização de uma parábola
As equações cartesianas canônicas das parábolas se caracterizam por apresentar uma das variáveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa variável como dependente da variável do segundo grau.
Assim, por exemplo, na parábola P de equação cartesiana de vértice (a, b) e reta-focal paralela ao eixo-OY,
escolhendo a variável independente t como sendo x - a, a variável dependente y se expressa como y =; Portanto, P tem por equações paramétricas:
Exemplo:
Parametrize a parábola P : y 2 - 2x + 4y = 0.
Completando o quadrado: vemos que P é uma parábola de vértice V = (-2;-2) Então, como , sendo t=y+2,temos que:
,são equações paramétricas da parábola P.
5.3 Parametrização de uma hipérbole
Consideremos a hipérbole H : x 2 - y 2 = 1 equilátera (a = b = 1) de centro na origem cuja reta-focal é o eixo OX. Sejam cosh t = e senh t =, t R, respectivamente, as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Os pontos (cosh t, senh t) e (- cosh t, senh t) pertencem à hipérbole H, pois, ( para todo T R Figura 11-Seno e cosseno hiperbolico
Além disso, variando t R, vemos que x = ±cosh t percorre todos os valores em (-1;-1][1;+1), enquanto y = senh t percorre todos os valores reais. Portanto, ,onde t R, é uma parametrização para o ramo H + de H que intesecta o semi-eixo positivo OX, e onde t R, é uma parametrização para o ramo H - de H que intersecta o semi-eixo negativo OX.
Seja, agora, a hipérbole H : de centro (x 0 ; y 0 ) e reta-focal paralela ao eixo OX. Considere a hipérbole H 0 : Como (x; y) H se, e só se, ( ,) =, t H 0 e H 0:, t R; são equações paramétricas da hipérbole H, temos que
são equações paramétricas da hipérbole H.
se transformou em
2 Se aplicarmos a uma rotação qualquer em torno da origem, esta fica invariante e portanto sua equação não muda. Como o raio podemos dividir ambos os membros da equação da esfera
por e obtemos
6.2.2 O elipsóide Podemos especular o que acontece se usarmos parâmetros diferentes nos denominadores, como
Se os parâmetros a, b e c estiverem muito próximos de r, deveremos ter aí uma superfície muito próxima da esfera de raio r, não é mesmo?! A maneira natural universal de se tentar conhecer ou ter uma descrição de uma superfície, é fazer secções da mesma por planos especiais, como aqueles paralelos aos planos coordenados. Vamos então cortar a superfície
pelo plano z = k. Substituindo vem
ou
