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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍDA
CAMPUS IV: LITORAL NORTE
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
PROFESSOR JOSÉ ELIAS
PRELIMINARES: VETORES, RETAS, PLANOS, CÔNICAS E QUÁDRICAS
Vetores, Retas e Planos
Trabalharemos nesta seção com vários exercícios resolvidos envolvendo o estudo dos
Vetores, Retas e Planos. Deixaremos de lado os conceitos e caso sejam necessários faremos uma
breve descrição.
I- Vetores no
3
R
Trabalharemos nesta seção com vários exercícios resolvidos envolvendo o estudo dos
Vetores, Retas e Planos. Deixaremos de lados os conceitos e caso sejam necessários faremos uma
breve descrição.
Exercício 1: Da figura 1 abaixo, considerando os vetores u
r , v
r e w
r , temos que:
a) { u , v , w }
r r é uma base do , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional;
3
R
b) { AC , AF , AH }é uma base do , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional;
3
R
c) (^) { u , v }
r não é uma base do , pois é um conjunto com apenas 2 vetores;
3
R
d) (^) { u , v , AC }
r não é uma base do , pois são 3 vetores LD;
3
R
e) { u , v , w , AG }
r r não é uma base do , pois é um conjunto com 4 vetores.
3
R
Figura 1 Paralelepípedo ABCDEFGH
Exercício 2: Da figura 1 acima, considerando os vetores u
r
, v
r
e w
r
, temos que:
a) { u , v , w }
r r é uma base ortogonal do , pois seus vetores são perpendiculares dois a dois;
3
R
b)
⎭
|| || w
w
v
v
u
u r
r
r
r
é uma base ortonormal do
3
R , pois perpendiculares dois a dois e
unitários.
Definição: O produto interno entre dois vetores a
r e b
r não nulos, é o número denotado por
a b
r v ⋅ e definido pela expressão:
a b || a ||.|| b ||.cos( a , b )
r v r v r v ⋅ =
Exercício 3: Considere os vetores unitários e ortogonais u
r , v
r e w
r da figura 2, então:
a) ⋅ =|| ||.|| ||.cos( , )= 1. 1 .cos( 90 )= 0
o u v u v uv
r r r r rr
b) ⋅ =|| ||.|| ||.cos( , )= 1. 1 .cos( 90 )= 0
o v w v w vw
r r r r r r
c) ⋅ =|| ||.|| ||.cos( , )= 1. 1 .cos( 90 )= 0
o w u w u wu
r r r r r r
d) ⋅ =|| ||.|| ||.cos( , )= 1. 1 .cos( 0 )= 1
o u u u u uu
r r r r r r
e) ( − )⋅ =||− ||.|| ||.cos(− , )= 1. 1 .cos( 180 )=− 1
o u u u u uu
r r r r rr
f) ( 5 )⋅ ( 2 )=|| 5 ||.|| 2 ||.cos( 5 , 2 )= 5. 2 .cos( 90 )= 0
o u v u v u v
r r r r r r
Figura 2 Paralelepípedo ABCDEFGH com medidas 5x2x
Exercício 4: Supondo que || u ||= 3
r , || v ||= 2
r e que é medida do ângulo entre os vetores u
o 30
r
e v
r , determine u v e
r r ⋅ (^) || 3 u- 2 v ||
r r .
Solução:
- Como u v || u ||.|| v ||.cos( u , v )
r r r r rr ⋅ = , temos que:
( ) 1. 3 3 2
⋅ = 3 .( 2 ).cos( 30 )= 2 3 = = =
o u v
r r
- Como || 3 u- 2 || ( 3 u- 2 )( 3 u- 2 )
2 v v v
r r r r r r = ⋅ e
9 ||u|| 12 (u ) 4 || || 27 36 16 7
( 3 u- 2 ) ( 3 u- 2 ) || 3 u|| 2 ( 3 u)( 2 ) || 2 ||
2 2
2 2
v v
v v v v r r r r
r r r r r r r r
temos que: || 3 u- 2 v ||= 7
r r
Exercício 7: Considere os vetores unitários e ortogonais u
r , v
r e w
r da figura 2 acima, então:
a) u^ v w , pois:
r r r × =
o w
r é perpendicular aos vetores u
r e v
r ;
o || ||=|| ||.|| || ( , )= 1. 1. ( 90 )= 1
o w u v senuv sen
r r r r r ;
o usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado;
b) v w u , análogo ao anterior;
r r r × =
c) w u v , análogo aos anteriores;
r r r × =
d) v u w , pela definição;
r r r × =−
e) u v w , pois:
r r r 3 × 2 = 6
o w é perpendicular aos vetores
r 6 u
r 3 e v
r 2 ;
o || 6 ||=|| 3 ||.|| 2 || ( 3 , 2 )= 3. 2. ( 90 )= 6
o w u v sen u v sen
r r r r r ;
o usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado;
f) 0
r r^ r u × u = , pois
o || × ||=|| ||.|| || ( , )= 1. 1. ( 0 )= 0
o u u u u senuu sen
r r r r r r ;
Proposição: Em uma base ortonormal positiva { u , v , w }
r r qualquer, se a xau yav zaw
r r r = + + e
b xbu ybv zb w
r (^) r r = + + , então produto vetorial entre os vetores a
r e b
r é o “determinante”
1 :
b b b
a a a
x y z
x y z
u v w
a b
r r r
r r × =
Exercício 8: Usando a base { u , v , w }
r r da figura 2, calcule a área do paralelogramo formado pelos
vetores AG e CE.
Solução: Como (^) AG u v w
r r r = 5 + 2 + 3 e^ CE^ u v w
r r r = − 5 − 2 + 3 , usando a proposição acima, temos:
u v w u v w u v w
u v w
AG CE
r r r r r r r r r
r r r
× =
como já havíamos calculado anteriormente, e a norma do vetor AG × CEé igual á
2 2 2
AG × CE = AG × CE ⋅ AG × CE = + − + = ≅ ,
logo a área do paralelogramo será igual a A ≅ 32 , 31 u. a.
2 .
1 O determinante está entre aspas, para enfatizar que o cálculo é igual ao de um determinante qualquer, porém a primeira linha é
composta de vetores. 2 A simbologia u.a. significa unidade de área, por exemplo: m
2 (metro quadrado), cm
2 (centímetro quadrado), etc.
Definição: O produto misto entre os vetores a
r , b
r e c
r é o número , denotado por [ a , b , c ]
r rr ,
definido pela expressão:
a bc a b c
r rr r r r [ , , ]= × ⋅
Exercício 9: Considere os vetores unitários e ortogonais u
r , v
r e w
r da figura 9, então:
a) [ u , v , w ]= u × v ⋅ w = w ⋅ w = 1
rr r r r r r r
b) [ u , w , v ]= u × w ⋅ v =− v ⋅ v =− 1
r r r r r r r r
c) [ AB , AD , AE ]= AB × AD ⋅ AE = 10 w ⋅ 3 w = 30
r r
d) [ AG , CE , BH ]= AG × CE ⋅ BH =( 12 u − 30 v + 0 w )⋅(− 6 u + 2 v + 3 w )= 132
r r r r r r
Proposição: Em uma base ortonormal positiva { u , v , w }
r r , se a xau yav zaw
r r r = + + ,
b xbu ybv zb w
r (^) r r = + + e c xcu ycv zcw
r (^) r r
= + + , então produto misto entre os vetores a ,
r
b
r
e c
r
é o
determinante:
c c c
b b b
a a a
x y z
x y z
x y z
[ a , b , c ]=
r r
Exercício 10: Usando a base { u , v , w }
r r da figura 9, calcule o volume do paralelepípedo gerado
pelos vetores AG , CE e BH.
Solução: Como AG u v w
r r r = 5 + 2 + 3 , CE^ u v w
r r r = − 5 − 2 + (^3) , BH u v w
r r r = − 6 + 2 + (^3) e o volume é o
módulo do produto misto, pela proposição acima, temos:
[ ] 132
AGCEBH =− −
como já havíamos calculado anteriormente, logo o volume é V =| 132 |= 132 u. v.
3
3 A simbologia u.v. significa unidade de volume, por exemplo: m
3 (metro cúbico), l (litro), cm
3 (centímetro cúbico), etc.
- Para cada par de parâmetros κ 1 e κ 2 correspondem a um único ponto do plano e para
cada ponto P do plano corresponde um único par de parâmetros.
Exercício 12: Determinar as equações paramétricas e a equação normal do plano ϕ que contém
o ponto S =( 1 , 1 , 1 )e é perpendicular ao vetor w =( 2 , 1 , 3 )
r .
Solução: Vamos primeiro, achar a equação geral do plano, considerando como vetor normal do
plano o vetor n = w =( 2 , 1 , 3 )
r r ϕ , portanto um ponto^ P^ =^ (^ x , y , z ) para pertencer ao plano^ ϕ^ , tem que
satisfazer à equação n ϕ⋅ SP = 0
r , logo:
( 2 , 1 , 3 )⋅ ( x − 1 , y − 1 , z − 1 )= 0
2 ( x − 1 )+ 1 ( y − 1 )+ 3 ( z − 1 )= 0
Que resulta na equação normal do plano ϕ: 2 x + 1 y + 3 z − 6 = 0
II.1- Planos Paralelos
Observando os dois planos paralelos e distintos α e β , na
figura 17, concluímos que:
Figura 17 Planos paralelos
¾ Os vetores n α
r e n β
r são paralelos, logo 0
r r^ r n α (^) × n β= ;
¾ A interseção entre os dois planos é vazia;
¾ O ponto A ∉ β e o ponto B ∉ α;
¾ O ângulo ( α , β)entre os planos é 0
o ;
¾ Os vetores u ,
r v
r
, a
r
e b
r
, podem, três a três, ser
representados em um plano, logo são LD;
¾ O vetor AB é perpendicular aos vetores n α
r e n β
r ;
¾ Os vetores AB , u e
r v
r
são LI, bem como os vetores AB , a
r
e b
r
¾ O volume do paralelepípedo formado pelos vetores AB , u
r e v
r é positivo;
¾ A distância d ( α, β)entre planos é positiva.
Exercício 13: Determinar a equação normal do plano φ que contenha o ponto A e seja paralelo ao
plano β.
Para determinar a equação deste plano, você terá que achar um ponto e vetor normal do
plano ϕ , ou dois vetores diretores do plano.
Como fazer isso?
¾ Esboce dois planos paralelos;
¾ Represente o ponto C e o vetor normal n β
r
no plano β e os pontos A e P no plano ϕ ;
¾ Observe que, para definir o plano β , só falta determinar o vetor normal;
¾ Escolha como vetor normal do plano ϕ o mesmo do plano β , ou seja, n ϕ n β
r r = ;
“Porque posso escolher esse vetor?”
¾ Temos, portanto, que o plano ϕ é definido por A =( 3 , 0 , 1 )e n ϕ (^) = n β=(− 1 , 1 , 1 )
r r ;
¾ Como AP r
r ⊥ , o produto interno AP ⋅ r = 0
r ;
Logo a equação geral do plano é ϕ: − 1 x + 1 y + 1 z + 2 = 0
III- A Reta
Definição: Qualquer vetor não nulo, que dá a direção de uma reta r , é chamado de vetor diretor
da reta r.
Observação: No sistema de coordenadas, seja P = ( x , y , z )um
A z^ A e^ B (^ x B zB
ponto qualquer da reta r , definida
pelos pontos, distintos, do espaço A = ( xA , y , ) = B , y , ), considere os vetores
u = AB =( xB − xA , yB − yA , zB − zA )=( xu , yu , zu )
r
e
AP = ( x − xA , y − yA , z − zA ),
Portanto, da equação vetorial, temos:
AP = τ AB
AP u
r
r u
u u u
AP
( x − xA , y − yA , z − zA )= τ( x , y , z )
Escrevendo cada coordenada como uma equação e isolando as variáveis x , y e z ,
temos o seguinte sistema de equações, chamado de sistemas de equações paramétricas da
reta r ou simplesmente de equações paramétricas da reta :
τ
τ
τ
A u
A u
A u
z z
y y
x x
z
y
x
r :
Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor u = AB
r , for nula, podemos isolar o parâmetro τ de
cada uma das equações acima, obtendo
u
A
x
x − x
u
A
y
y − y
τ = e
u
A
z
z − z
τ = , ou seja, temos a
seguinte igualdade
u
A
u
A
u
A
y
z z
y
y y
x
x x −
τ = que é é chamado sistema de equações da reta r
na forma simétrica, ou simplesmente equações simétricas da reta r
O que resulta no sistema equivalente , escolhendo 2
z
z
y
x
z = τ e substituindo no
sistema equivalente, obtemos as equações paramétricas da reta e destas,
obtemos as equações simétricas
τ
τ
τ
z
y
x
r
x y z r =
¾ Se não gostar de escalonamento, podemos então determinar dois pontos da reta r ,
escolhendo, por exemplo,
o y = 0 , reduzindo o sistema para , tendo como solução 0
z
z
x
x x = 1 e z =− 2 , ou
seja, um primeiro ponto da reta é A =( 1 , 0 ,− 2 ) ;
o z = 0 , reduzindo o sistema para , tendo como solução e 0
y
y
x
x x =− 3 y = 2 ,
ou seja, um segundo ponto da reta é B^ =(−^3 ,^2 ,^0 ).
Logo um vetor diretor é o vetor u = AB =(− 4 , 2 , 2 )
r e, portanto, as equações paramétricas da
reta são e, destas equações, obtemos as equações simétricas
⎪ ⎩
τ
τ
τ
z
y
x
r
x − y z r.
¾ Pode-se também determinar um ponto e um vetor diretor da reta.
o Para encontrar um ponto, fazemos como acima. Vamos utilizar, então, o ponto
A =( 1 , 0 ,− 2 ).
o Para determinar um vetor diretor, basta calcular u n α n β
r r r = × , logo
i j k
i j k
u n n
r r r
r r r
r r r = × = =− 2 + +
α β^111_._
Portanto as equações paramétricas da reta são e destas, obtemos as
equações simétricas
τ
τ
τ
z
y
x
r
x − y z r.
Observação: Apesar das equações paramétricas e simétricas da reta r , encontradas no exercício
acima, serem diferentes, elas representam a mesma reta r , o que as diferencia é a escolha de um
ponto inicial e de um “novo” vetor diretor, múltiplo do vetor diretor obtido anteriormente.
III.1- Retas Paralelas
Observando as duas retas r e s paralelas distintas, na figura
10, concluímos que:
¾ Os vetores diretores r
r e s
r são paralelos, logo são LD;
¾ O ponto S ∉ r e R ∉ s ;
¾ O vetor SR não é paralelo aos vetores diretores;
¾ Não existe interseção entre as retas;
¾ O ângulo ( r , s )entre as retas é 0
o ;
¾ A área do paralelogramo formado pelos vetores r
r e SR é positiva;
¾ A distância d ( r , s )entre as retas é positiva.
III.2- Retas Concorrentes
Observando as duas retas r e s concorrentes, na figura 11,
concluímos que:
¾ Os vetores diretores r e
r s
r não são paralelos, logo
são LI;
¾ A interseção entre as retas é o ponto I;
¾ O ângulo ( r , s )entre as retas está entre 0
o e 180
o ;
¾ Os vetores r ,
r s
r e SR , podem ser representados em um plano, logo são LD;
¾ O volume do paralelepípedo formado pelos vetores r
r , s
r e SR é 0 ;
¾ A distância d ( r , s )entre as retas é 0.
Figura 11 Retas concorrentes.
Figura 12 Retas reversas.
Figura 10 Retas paralelas.
III.3- Retas Reversas
Observando as duas retas r e s reversas, ou seja, as retas
estão em planos paralelos distintos, como na figura 12,
concluímos que:
¾ Os vetores diretores r e
r s
r não são paralelos, logo
são LI;
¾ Não existe interseção entre as retas;
¾ O ângulo ( r , s )entre as retas está entre 0
o e 180
o ;
¾ Os vetores r ,
r s
r e SR , não podem ser representados em um plano, logo são LI;
¾ O volume do paralelepípedo formado pelos vetores r
r , s
r e SR é positivo;
¾ A distância d ( r , s )entre as retas é positiva.
o Determinar dois vetores diretores do plano. Para tanto, acharemos outros dois
pontos, como por exemplo, os pontos C 1 (^) =( 0 , 0 , 2 ) e , achando os
vetores
C 2 =(− 2 , 0 , 0 )
CC 1 (^) =( 0 , 1 ,− 1 )e^ CC 1 (^) =(− 2 , 1 ,− 3 ), logo:
2
2
2
1
1
1
μ
μ
μ
μ
μ
μ
β
z
y
x
o Considere y = μ 1 e z = μ 2 , logo x =− 2 + μ 1 + μ 2 , isto é:
2
1
μ
μ
μ μ
β
z
y
x
ou
⎪ ⎩
2
2
2
1
1
1
μ
μ
μ
μ
μ
μ
β
z
y
x
Estudo das Cônicas
1 – Circunferência
Sabemos da geometria elementar que circunferência é o conjunto de todos os pontos
eqüidistantes de um ponto fixo C = (^) ( a b , )denominado centro da circunferência.
Considerando o centro da circunferência como sendo o ponto ), r sendo o raio e
um ponto da circunferência, temos:
C = ( a b ,
P = ( , x y )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(^2 2 2 2 )
d C P , = x − a + y − b = r ⇒ x − a + y − b = r.
Portanto, uma circunferência de centro C = (^) ( a b , ) e raio r tem equação
( ) ( )
(^2 2 )
x − a + y − b = r , denominada Equação Reduzida da circunferência.
2 2 x + y = 4
Circunferência
de centro C=(0,0) e raio 2.
2 2 x − 1 + y − 2 = 1
Circunferência de centro C=(1,2) e raio 1.
Desenvolvendo a equação reduzida (^) ( ) ( )
(^2 2 )
x − a + y − b = r temos:
. Esta equação é chamada equação geral da circunferência.
2 2 2 2 2
x + y − 2 ax − 2 by + a + b − r = 0
Exercício 1: Determine o centro e o raio da circunferência
2 2
x + y − 4 x − 8 y + 19 = 0.
Solução:
Da equação geral , vamos encontrar a equação reduzida
2 2
x + y − 4 x − 8 y + 19 = 0
( ) ( )
(^2 2 )
x − a + y − b = r.
Vamos utilizar um processo conhecido como completamento de quadrados. Para isso,
lembramos que ( )
2 2 2 x − 2 ax + a = x − a e ( )
2 2 2
y − 2 bx + b = y − b.
Com base na equação separamos os termos que envolvam as
variáveis x e y , da seguinte forma:
2 2
x + y − 4 x − 8 y + 19 = 0
2 - Parábola
ara cima e observando a trajetória percorrida pela água. Essa trajetória
Podemos visualizar concretamente uma parábola, dirigindo um jato d’água de uma
mangueira obliquamente p
é parte de uma parábola.
Definição: Dados um ponto F e uma reta r de um plano, com F ∉ r , chamamos de parábola o
onjunto dos pontos desse plano eqüidistantes da reta r e do ponto F.
parábola. O
eixo de simetria da parábola é a reta s , que passa por F e é perpendicular à diretriz r.
ponto V nada mais é que o ponto médio do
segmento
c
O ponto F é denominado foco da parábola e a reta r é denominada diretriz da
Observe que d (^) ( F V , (^) ) = d V D ( , (^) )= c e assim o
FD , e é denominado vértice da parábola.
partir do foco F e da reta diretriz r , podemos chegar à equação da parábola que é formada por
todos os pontos do plano tal que
Se um satélite emite um conjunto de ondas
eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena
parabólica, uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que
tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios
exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola,
onde estará um aparelho receptor que converterá as ondas
eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em
ondas, que por sua vez, significarão filmes, telejornais e outros
programas que você assiste normalmente com maior qualidade.
Curiosidades
Nosso objetivo é determinar uma equação que represente uma parábola. Desta forma, a
P = (^) ( x y , ) d (^) ( P F , (^) ) = d (^) ( P r , ).
Como ilustração, vamos determinar a equação da parábola que tem como diretriz a reta
= − e como foco o ponto conforme figura abaixo:
s que pertencem à parábola são tais que (^) ) , onde
Assim :
r : x 4 F = ( 6, 2)
Os ponto P = (^) ( x y , ) d (^) ( P F , (^) ) = d (^) ( P Q ,
Q = (^) ( −4, y )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
( ) ( )
) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
d P F d P Q x y x y y
y x
x x x x y x
− = − )
= e reta diretriz
Sabemos que o vértice da parábola é o ponto médio do segmento
2 2 2 2 2
2
x 6 y 2 x 4 x 6
y
Portanto a equação y x é a equação da parábola que possui foco
2 r : x = − 4
( ) (
2
F (^) ( 6, ).
V FA , onde
F = (^) ( 6, (^2) ) e A = (^) ( −4, 2 (^) )e assim ( )
V , V 1, 2
⎛ −^ + ⎞
Pela distância de V até F encontramos um valor c dado por:
( ) ( ) ( )
2
c = d V F , = 6 − 1 + 2 − 2 = 5.
Observe agora que na equação (^) )
2
( ) (
2
y − 2 = 20 x − 1 , obtida anteriormente, aparecem as
coordenadas do vértice xv = 1 e yv = 2 e também o valor c = 5 :
(^2) { (^) { 20
v v
y x (^) {
2
1
y c x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ −^ ⎟ =^ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎠
⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝
Reciprocamente, a p artir da equação da parábola, y (^) ) ( x )
2 ( −^2 =^20 −^1 r
ao vértice
, podemos chega
V e o valor de , e daí, teremos o foco F e a diretriz r.
ada a equação (^) ). Obtemos
c
( ) (
2 D y − 2 = 20 x − 1 V = (^) ( 1, 2)e c = 5.
Caso 2: A reta diretriz r é paralela ao eixo 0x.
Faremos alguns exercícios para que possamos assimilar e trabalhar melhor a equação
Se a concavidade é voltada para
cima, então a equação reduzida
da parábola é:
( ) ( )
2
v v
x − x = c y − y
Se a concavidade é voltada para
baixo, então a equação reduzida
da parábola é:
( ) ( )
2
x − xv = −4. c y − yv.
c
c
reduzida de uma parábola.
Exercício 1: Se uma parábola possui equação
2
x − 4 x − 12 y − 8 = 0 , determine as coordenadas
o foco e a equação da reta diretriz.
Soluçã
Primeiramente vamos fazer o completamento do quadrado na variável x.
Temos: 4 4 4 4 2 4
a
x − x = x − x + − = x − −.
Desta forma a equação pode ser escrita na forma:
)
do vértice, d
o:
{ { (^ ) 2
2 2 2
2 2
a a =
2
x − 4 x − 12 y − 8 = 0
( ) ( ) ( ) (
2 2 2
12 y + 12 ⇒ x + 1.
Portanto, da equação da parábola (^) )
x − 2 − 4 − 12 y − 8 = 0 ⇒ x − 2 = − 2 = 12 y
( ) (
2 x − 2 = 12 y + 1 obtemos V = ( 2, − 1 ) e
4 c = 12 ⇒ c = = 3.
Como na equação (^) ) o termo envolvendo a variável x está elevado ao
quadrado, então pelos casos vistos anteriormente, a reta diretriz é paralela ao eixo
Utilizando o
( ) (
2
x − 2 = 12 y + 1
0x.
vértice V = (^) ( 2, − (^1) ) e o valor c = 3 = d V ( , F ), encontraremos o foco e a reta
gráfico no
lano cartesiano. Observe:
diretriz da parábola esboçando um
p
Logo, V^ =^ ( 2,^ −^1 ), F^ =^ ( 2, 2)e a reta diretriz é r : y = − 4.
Exercício 2: Determine a equação da parábola com eixode simetria perpendicular ao eixo 0y ,
vértice V = (2, 0)e que passa pelo ponto P = (6, 4).
Solução: Fazendo um esboço gráfico do vértice V = (2, 0), do ponto P =(6, 4) e partindo do fato
ue o eixo de simetria é perpendicular ao eixo 0y , a nossa parábola tem a seguinte forma:
o, pelos casos já mostrados anteriormente, a nossa parábola possui a seguinte
q
Log
equação: (^) ( ) ( ) ( ) ( )
(^2 2 )
y − yv = 4 c x ( − xv ) ⇒ y − 0 = 4 c x − 2 ⇒ y = 4 c x −.
Como o ponto P (6, 4)pertence à parábola então:
( )
2
4 = 4 c 6 − 2 ⇒ 16 = 16 c ⇒ c =1.
Portanto a equação da parábola é (^) ( )
2
y = 4 x − 2.
