Operações com Conjuntos: União, Interseção e Diferença, Esquemas de Matemática

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Operações com

Conjuntos

A partir de dois conjuntos conhecidos A e B

podemos obter outros conjuntos através das

seguintes operações:

I. Reunião ou União de conjuntos; II. Interseção de conjuntos; III.Diferença de conjuntos e conjunto complementar.

EXEMPLO

 Dados os conjuntos

A = {0, 1, 2, 3, 4},

B = {1, 3, 5, 7} e

C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:

 (^) a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}  (^) b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  (^) No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Interseção dos Conjuntos A e B (A ∩ B)

É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B.

A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}

A B

Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.

Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )

É o conjunto dos elementos que pertencem ao

primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.

A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

A B

Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )

É o conjunto dos elementos que pertencem ao

primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.

B – A = {x / x ∈ B e x ∉ A}

A B

Exemplos

 Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e

B = {x natural, menor que 10 / x é primo}.

Determine A ∪ B, A ∩ B, A – B e B – A.

A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7}

A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A ∩ B = {2}

A B

2 0 4 6 8 3 5 7

A – B = {0, 4, 6, 8}

B – A = {3, 5, 7}

Complemento de um Conjunto

No caso em que B ⊂ A, a diferença A – B pode ser

chamada, complementar de B em relação a A:

∁ B ⊂ A ⇒ A – B = ∁

A B

A – B

 (^) O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por Α B A B A

Exemplos

 Se A = {a, b, c, d, e} e

B = {d, e, f, g} estão contidos no universo

U = {a, b, c, d, e, f, g, h},

determinar o conjunto ∁A ∩ B

∁A = U – A = {f, g, h} ∁A ∩ B ={f, g, h}^ ∩^ {d, e, f, g} =^ {f, g}

Número de elementos da

união de conjuntos

Exemplos

 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8},

temos:

 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 A ∩ B = {4, 5, 6}

 (^) Podemos comprovar que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 6 + 5 – 3 = 8 (^) A B 2 (^1 ) 6 5 3 8 7

Exemplos

 O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13

elementos; o conjunto A ∩ B, 5 elementos.

Determinar o número de elementos do conjunto

A ∪ B.

A B

8 – 5 = 3 5 13 – 5 = 8 n(A ∪ B) = 3 + 5 + 8 = 16 (A – B) (B – A) A ∩ B

 (^) Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor do Grêmio?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido em Porto Alegre?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Porto- alegrenses. G P 36 – x x 28 – x 36 – x + x + 28 – x = 42 (G – P) (G – P) G ∩ P ⇒ 64 – x = 42 ⇒ x = 22 SITUAÇÃO PROBLEMA 2

Referências:

• IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. MATEMÁTICA – Ensino Médio. 6ª edição. São Paulo: Atual, 2015.
• DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São Paulo: Ática: 2014.
• GIOVANNI, José Rui; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática. São Paulo: FTD, 2007
• Prof. Jorge. < http://slideplayer.com.br>