FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA
Barro Branco – 2017
Professor Lucas Mariano
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Os conceitos básicos de conjuntos numéricos, incluindo números naturais e inteiros, indução finita, divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, e decomposição em fatores primos. O texto inclui definições, reflexões e um exemplo de falha na indução finita.
Tipologia: Notas de aula
2020
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FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA
Barro Branco – 2017
Professor Lucas Mariano
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
- (^) 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
- (^) 1.1. Números naturais e números inteiros: indução finita, divisibilidade,
máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, decomposição em fatores
primos.
Conjuntos dos números naturais ( IN ) “Deus criou os números naturais. O resto é invenção do homem”
- Leopold Kronecker O conjunto dos números naturais é representado por: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN, obtido excluindo o zero de IN: IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou IN* = IN – { 0 } Os números naturais são usados nas contagens (a população do Brasil é de aproximadamente 211.768.643), nos códigos (o CEP de minha casa é 13.419 - 130) e nas ordenações (o 1º colocado na corrida; o 2º colocado na corrida).
PARA REFLETIR
Qualquer número natural tem um único sucessor;
Números naturais diferentes tem sucessores diferentes;
O zero é o único natural que não é sucessor de nenhum outro.
Há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é -3, bem como o oposto de -3 é 3, valendo 3 + (-3) = 0 = (-3) + 3
PARA REFLETIR
Existe números natural que não é inteiro?
Existe número inteiro que não é natural?
Princípio de Indução Finita (P.I.F) Algumas vezes nos defrontamos com afirmações (uma propriedade matemática) envolvendo os números naturais e a questão que surge é: será tal afirmação verdadeira, ou seja, vale para qualquer número natural? 1 + 2 + 3 + ... + n = , para todo número natural n.
1 + + + , para todo número natural n.
Para responder a questão não basta apenas testar a veracidade das fórmulas tentando diversos números, pois sempre haverá um número que você não testou e, assim, não se pode concluir se vale para todos os números naturais. Para isso fazemos o uso de um teorema.
Pierre de Fermat (1601 – 1665, França)
, para todo número natural n.
𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑡𝑟 ê 𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛 ú 𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑠 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
Princípio de Indução Finita (P.I.F)
Seja P(n) uma propriedade em termos de números naturais (n). Suponhamos
que as afirmações abaixo estejam satisfeitas:
a) P(1) é válida.
b) Se P(k) vale então P(k + 1) é válida para todo n
O P.I.F, intuitivamente, nos garante que se tivermos um conjunto finito de, por exemplo, peças de dominó dispostas verticalmente, de tal modo que quando uma cai, a seguinte cai – e sendo dado que a primeira cai – concluímos que todas caem. Evidentemente, não importa quantas peças tenhamos em nosso conjunto
PARA REFLETIR , para todo número natural n, exceto o zero. Teste para n = {1, 2, 3, 4, 5} Obs.: Falha em n = 5.