Conjuntos Numéricos - Cursinho, Notas de aula de Matemática

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Fundamentos de Matemática

Barro Branco – 2017

Professor Lucas Mariano

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

• (^) 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
• (^) 1.1. Números naturais e números inteiros: indução finita, divisibilidade,

máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, decomposição em

fatores primos.

Exemplos:

1  possui apenas um divisor {1}

2  possui apenas dois divisores {1, 2}. Logo é primo (único primo par).

3  possui apenas dois divisores {1, 3}. Logo é primo.

4  possui três divisores {1, 2, 4}

5  possui apenas dois divisores {1, 5}. Logo é primo.

6  possui quatro divisores {1, 2, 3, 6}

7  possui apenas dois divisores {1, 7}. Logo é primo.

8  possui quatro divisores {1, 2, 4, 8}

9  possui três divisores {1, 3, 9}

10  possui quatro divisores {1, 2, 5, 10}

11  possui apenas dois divisores {1, 11}. Logo é primo.

12  possui seis divisores {1, 2, 3, 4, 6, 12}

13  possui apenas dois divisores {1, 13}. Logo é primo.

14  possui quatro divisores {1, 2, 7, 14}

15  possui quatro divisores {1, 3, 5, 15}

16  possui cinco divisores {1, 2, 4, 8, 16}

17  possui apenas dois divisores {1, 17}. Logo é primo.

g

Números Compostos

Todo número não-primo, ou seja, aqueles que possuem mais de dois divisores.

São chamados de compostos, pois são compostos por número primos. Da

definição de Euclides:

𝑛^ 𝑛 == 𝑎𝑏𝑎𝑏

onde e são inteiros e

Exemplos:

4  é composto por: 2 * 2

6  é composto por: 2 * 3

8  é composto por: 2 * 2 * 2

10  é composto por: 2 * 5

300  é composto por: 2 * 2 * 3 * 5 * 5

g

Exemplo 13

O número 113  não é par, portanto não é divisível por 2;  1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;  não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;  por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).  (^) por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

g

Decomposição em fatores Primos

Todo número natural , tal que , pode ser decomposto num produto de

dois ou mais fatores. Decomposição do número 48 num produto:

No produto todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de

48 a decomposição de 48 num produto de fatores primos. Então a

fatoração de 48 é.

g Existe um dispositivo prático para fatorar um número. 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. O número 180. Então. Ou ainda 180 90 45 15 5 1

g Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus

fatores primos.

Portanto os divisores de 90 são: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Encontre os divisores de:

Máximo Divisor Comum (m.d.c.)

Ao decompor qualquer número em seus fatores primos podemos obter seus

divisores. Em alguns casos os divisores de dois, ou mais, números coincidem,

dessa forma podemos analisar o maior entre eles, por exemplo os divisores de

12 e 18:

Dessa forma observamos que o maior divisor comum entre 12 e 18 é o 6.

Denotamos assim:

m.d.c.(12, 18) = 6

Números Primos Entre Si

Ao calcular o m.d.c. de determinados números, podemos observar que

nenhum de seus divisores são coincidentes (maiores que 1, dado que 1 é o

divisor universal), por exemplo:

Não possuem divisor comum

Neste caso dizemos que esses números são primos entre si.

Considerando a universalidade da divisibilidade do 1, podemos escrever a

definição de números primos entre si como sendo m.d.c. = 1

m.d.c.(24, 35) = 1

O contexto do m.d.c.

O m.d.c. é aplicado quando queremos encontrar a maior parcela igual entre

dois eventos.

O m.d.c. é aplicado quando queremos encontrar a maior parcela igual entre

dois eventos.

(PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita

• com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.” Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é: (A) 25 (B) 29 (C) 37 (D) 41 (E) 45

Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? Decomposição em fatores primos m.d.c.(156, 234) = Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.

Exercícios

Devemos encontrar o m.d.c. entre 156 e 234, esse valor corresponderá à medida do comprimento desejado. 156 78 39 13 1

Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. Encontrar o m.d.c. entre os números 48, 36 e 30. 30 15 5 1

Decomposição em fatores primos m.d.c.(30, 36, 48) = Determinando o número total de equipes: 48 + 36 + 30 = 114 → = 19 equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes em cada uma