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M´
etodos Matem´
aticos I
Coordenadas polares
1
Coordenadas polares
Um m´
etodo importante de representa¸
c˜
ao de pontos num plano
consiste no uso de
coordenadas polares
. Para introduzir um
sistema de
coordenadas polares no plano
, partimos de um ponto
fixo O (chamado
origem
ou
p´
olo
) e uma semi-recta orientada
(chamada
eixo polar
) com extremidade O.
Neste sistema a cada ponto P do plano podemos associar ascoordenadas polares (
r
, θ
) onde:
r
´e a distˆ
ancia de O (P´
olo ou origem) a P.
θ
´e o ˆ
angulo orientado, no sentido contr´
ario ao dos ponteiros
do rel´
ogio, desde o eixo at´
e `
a semi-recta
OP
Nota:
r
pode ser negativo. Neste caso, mede-se
r
unidades na
semi-recta com extremidade O e sentido oposto a
OP
Como se sabe, quando consideramos o sistema de coordenadascartesianas,(
x
y
), no plano, cada ponto tem representa¸
c˜
ao ´
unica.
Usando o sistema de coordenadas polares isto n˜
ao acontece.
P
r
, θ
r
, θ
π
r
, θ
k
π
para
k
Z
3
Rela¸
c˜
ao entre coordenadas polares e coordenadas
cartesianas
Veremos, a seguir, qual a rela¸
c˜
ao entre as coordenadas polares e as
coordenadas cartesianas. Deste modo, obteremos um processopara passar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas evice-versa.
Sendo (
x
y
) as coordenadas cartesianas e (
r
, θ
) as coordenadas
polares de um mesmo ponto
P
, tem-se
x
r
cos
θ
e
y
r
sin
θ
r
(^2)
x
2
y
2
e
tan
θ
y x
com
x
5
Curvas em coordenadas polares
Uma curva pode ser representada em coordenadas cartesianas ouem coordenadas polares, como veremos nesta sec¸
c˜
ao. Embora uma
curva possa ser representada por estes dois sistemas decoordenadas, um dos sistemas poder´
a ser mais adequado que o
outro em determinadas situa¸
c˜
oes.
Ao conjunto de pontos (
r
, θ
) do plano que verificam a equa¸
c˜
ao
F
r
, θ
) = 0 chama-se curva em coordenadas polares.
Vejamos quais s˜
ao as equa¸
c˜
oes polares de algumas rectas e
circunferˆ
encias.
Rectas verticais:
r
cos
θ
a
ou
r
a
sec
θ
Rectas horizontais:
r
sin
θ
a
ou
r
acosec
θ
Rectas que passam pela origem:
θ
θ
0
Circunferˆ
encia centrada na origem:
r
a
(raio=
a
Circunferˆ
encia centrada no eixo
Ox
e tangente ao eixo
Oy
r
a
cos
θ
Circunferˆ
encia centrada no eixo
Oy
e tangente ao eixo
Ox
r
a
sin
θ
7
A t´
ıtulo ilustrativo mostramos alguns gr´
aficos especiais com a
respectiva equa¸
c˜
ao na forma polar.
