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Trabalho da Faculdade PUC- MG Engenharia de Computação
Tipologia: Trabalhos
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Para chegarmos ao sistema de coordenadas polares traçamos a semirreta ŌP que receberá o valor r. O polo do sistema de coordenadas polares coincide com a origem do sistema cartesiano e a semirreta formada pela origem e pelo eixo x agora é denominado eixo polar (e). Ao ângulo formado pela semirreta r e o eixo polar designaremos (θ):
r F 0 7 1 O e
Figura 2: O sistema de coordenadas polares. Fonte: h�p://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf *** As coordenadas polares de um ponto** P no plano são escritas na forma ( r,θ ).
Exemplo *Fonte: h�p://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf
Ponto Coordenada Cartesiana Coordenada Polar A (1,0) (1,0) B (0,2) (^) 2)(2,π/ C (-3,0) (3,π) D (0,-3) (3,3π/2) E (1,1) ( √ 2 ,π/4) F (-2,2) ( 2 2 ,3π/4)
Obs 1 : Usando as relações trigonométricas podemos determinar as coordenadas cartesianas de um ponto, conhecendo as coordenadas polares r e (θ): cos (θ) = cateto oposto / hipotenusa x / r x = r. cos(θ) sen (θ) = cateto adjacente/hipotenusa y / r y= r. sen(θ) Se fizermos r = 0, teremos: x=0, y=0, portanto, as coordenadas que se referem ao pólo (0,0). Obs 2 : Denotamos um ponto P por (r,–θ) , para r e θ posi�vos , se θ é tomado no sen�do horário. Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.
Exemplo : (1,–π/4) = (1, 7π/4)
Denotamos P por (–r,θ), para r posi�vo , se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos (–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo.
Exemplo : (3,π/2) = (–3,3π/2)
Fonte: www. ime.uerj.br/professores/Mara/apos�ransfcoord.doc
y= r. sen(θ) Cos(θ)= cateto adjacente / hipotenusa x / r x = r. cos(θ) _ r² = x² + y²_* Exemplo 1: Determine as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordenadas polares são P (3 , 4 ∏ /3 ): (4 ∏ /3) = 240°
Tem-se: x = 3. cos (4 ∏ /3) 3. (-1/2) - 3/2. y = 3. sen (4 ∏ /3) 3. (-√3/2) -3√3/2. Portanto P (3, 4 ∏ /3) (coord. Polares) = P (- 3/2 , -3√3/2) (coord. cartesianas).
Exemplo 2: O ponto P(2,60°) em coordenadas polares corresponde a quais coordenadas cartesianas? 60° = ∏ / x = 2. cos (60°) 2. 1/2 1. y = 2. sen (60°) 2. √3/2 √3. As coordenadas correspondentes ao plano cartesiano são P ( 1, √3).
Exemplo 3: Converter as coordenadas (2, 5 ∏ /6) em coordenadas cartesianas. 5 ∏ /6 = 150° x = 2. cos (150°) 2. -√3/2 - √3. y = 2. sen (150°) 2. 1/2 1. Coordenadas cartesianas: (- √3 , 1 ). Coordenadas polares:
Coordenadas Cartesianas:
Par�ndo da equação da reta de coordenadas cartesianas (A x + B y + C = 0), que não passa pela origem. Temos nas coordenadas polares x = r. cos (θ) e y = r. sen (θ). Portanto, subs�tuindo na equação da reta do sistema cartesiano teremos:
Representar a reta (y=2x+1) em coordenadas polares.
A figura ao lado, mostra o gráfico da circunferência de centro no ponto
Exemplos.
1. Em coordenadas cartesianas temos uma circunferência de equação x²+(y–b)²=b² , onde observamos: r = b, centro C(0,b). Transformando em coordenadas polares teremos: Desenvolvendo a equação: x² + y² - 2yb = 0. Subs�tuindo:
Circunferência passando pela origem, centro na reta θ=π/2 (eixo y) em (b,π/2) e raio |b|.
2. Circunferência passando pela origem, centro na reta θ=0 (eixo x) em (a,0) e raio |a|. Observando as coordenadas polares acima, chegamos à equação: cartesiana: (x-a)² + (y)² = a²
