Baixe Derivada direcional e gradiente e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matem´atica
DISCIPLINA: MATA03 - C ´ALCULO B
UNIDADE III - LISTA DE EXERC´ICIOS
Atualizado 2010. Derivada direcional e gradiente
[1] Calcule o gradiente das seguintes fun¸c˜oes: (1.1) z = 2x^2 + 5y^2 (1.2) z = (^) x (^2) +^1 y 2 (1.3) z = x^2 + y^2 sen (xy) (1.4) z = e^2 x−^3 y^ cos (2x) cos (3y) [2] Determine a derivada direcional da fun¸c˜ao dada na dire¸c˜ao ~v : (2.1) z = 2x^2 + 5y^2 , ~v =
cos (π 2 ), sen (π 2 )
(2.2) z = (^) x (^2) +^1 y 2 , ~v = (1, 1) (2.3) z = y^2 tg 2 (x), ~v =^12 (−√3, 1) [3] Determine o valor m´aximo da derivada direcional da fun¸c˜ao f no ponto dado e a dire¸c˜ao em que ocorre: (3.1) z = 2x^2 + 3y^2 , P = (1, −1) (3.2) z = e^2 y^ arctg
y
3 x
, P = (1, 3)
(3.3) z = √ 4 − x^2 − y^2 , P = (1, 1) [4] A temperatura num ponto (x, y) de uma placa de metal ´e dada, em graus Celsius, por
T (x, y) = (^) 1 + xxy (^2) + y 2
Suponha que uma formiga se encontra no ponto de coordenadas (1, 1). (4.1) Indique a dire¸c˜ao que a formiga deve tomar para se manter com a mesma temperatura. (4.2) Se num dado momento a formiga sentir frio, qual a dire¸c˜ao e o sentido que deve tomar para que possa aquecer mais rapidamente? [5] Uma equa¸c˜ao da superf´ıcie de uma montanha ´e z = 1200 − 3 x^2 − 2 y^2 , a distˆancia est´a em metros, os pontos do eixo x a leste e os pontos do eixo y a norte. Um alpinista est´a no ponto correspondente a (−10, 5, 850).
(5.1) Qual ´e a dire¸c˜ao da parte que tem inclina¸c˜ao mais acentuada? (5.2) Se o alpinista se mover na dire¸c˜ao leste ele estar´a subindo ou descendo, e qual ser´a esta raz˜ao? (5.3) Se o alpinista se mover na dire¸c˜ao sudoeste, ele estar´a subindo ou descendo, e qual ser´a esta raz˜ao? (5.4) Em qual dire¸c˜ao ele estar´a percorrendo um caminho plano? [6] Uma chapa de metal aquecida em um plano xy de tal modo que a temperatura T ´e inversamente proporcional `a distˆancia da origem. Se a temperatura em P (3, 4) ´e 100◦, determine a taxa de varia¸c˜ao de T em P na dire¸c˜ao do vetor ~u = ~i +~j. Em que dire¸c˜ao e sentido T cresce mais rapidamente em P? Em que dire¸c˜ao a taxa de varia¸c˜ao ´e nula?
Pontos Cr´ıticos
[7] Determine e classifique os pontos cr´ıticos de: (7.1) z = e1+x^2 +y^2 (7.2) z = 3x^2 + 2xy + 2x + y^2 + y + 4 (7.3) z = (x^2 − 1)(y^2 − 4) (7.4) z = x^1 − (^64) y + xy (7.5) z = (^) x (^2) + xy (^2) + 4 (7.6) z = 6y^2 − 8 x^2 +^13 y^3 − 14 y^4 (7.7) z = x^4 + xy + y^2 − 6 x − 5 y (7.8) z = y^2 x + 2yx + 2x^2 − 3 x
[8] Determine os pontos extremos de: (8.1) z = 25 − x^2 − y^2 tais que x^2 + y^2 − 4 y = 0. (8.2) z = x^2 + 2xy + y^2 tais que x − y = 3. (8.3) z = 4x^2 + 2y^2 + 5 tais que x^2 + y^2 − 2 y = 0. [9] Determine os pontos na superf´ıcie g(x, y) = 4xy − 3 y^2 = 1 que s˜ao proximo `a origem (0, 0).
[10] Utilizando o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, (10.1) Mostre que o retˆangulo com ´area maxima com perimetro fixo ´e um quadrado (10.2) Calcule a ´area m´axima de um retˆangulo com lados paralelos aos eixos coordenadas e inscrito na regi˜ao limitada pelo eixos e pela reta x + 2y = 2. (10.3) Determine o retˆangulo de per´ımetro m´aximo (com lados paralelos aos eixos) que pode ser inscrito na elipse x^2 + 4y^2 = 4.
[18] Calcule, usando integral dupla, o volume: (18.1) do tetraedro limitado no 1o^ octante pelo plano z 3 + x 2 + y = 1. (18.2) do s´olido limitado pela superf´ıcie f (x, y) = 4 − x
2 9 −^
y^2 16 , os planos x = 3 e y = 2 e os trˆes planos coordenadas. (18.3) do s´olido do 1o^ octante delimitado pelos planos coordenadas, pelo parabol´oide z = x^2 + y^2 − 1 e pelo plano 2x + y = 2. (18.4) do s´olido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabol´oide z = 1 − x^2 − y^2 ( use coordenadas polares).
Campos Vetoriais
[19] Descreva geometricamente os seguintes campos de vetores definidos em R^2 : (19.1) −→ F (x, y) = x^2 −→ j (19.2) −→ F (x, y) = −→ i + −→ j (19.3) −→ F (x, y) = −y−→ i + x−→ j
[20] Calcule a divergˆencia dos seguintes campos vetoriais: (20.1) −→ F (x, y) = (xy^2 , ex^2 +y^2 ) (20.2) −→ F (x, y) =
cos (x + y), sen (πxy)
(20.3) −→ F (x, y) = ( sen 2 x, 2 cos x) [21] Verifique se os seguintes campos vetoriais s˜ao conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial: (21.1) −→ F (x, y) = (2x sen y + 4ex, cos x) (21.2) −→ F (x, y) = (ey^ , xey^ + y) (21.3) −→ F (x, y) = (3x^2 + 2y^2 , 4xy + 6y^2 ) (21.4) −→ F (x, y) = (exy^ + xyexy, x^2 exy^ )
Integrais Curvil´ıneas
[22] Calcule a integral de linha, onde C ´e a curva dada: (22.1)
Z
C^ (y/x)^ ds,^ C^ :^ x^ =^ t
(^4) , y = t (^3) ,^1 2 ≤^ t^ ≤^1 (22.2)
Z
C^ (2 cos^ x^ + 3y)^ ds,^ C^ :^ x^ =^ t,^ y^ = 2t,^ e^ ≤^ t^ ≤^ e
2 (22.3)
Z
C^ (xy
(^4) ) ds, C ´e a metade direita do c´ırculo x (^2) + y (^2) = 16 (22.4)
Z
C^ xy dx^ + (x^ −^ y)^ dy,^ C^ consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2)
[23] Mostre que as integrais a seguir n˜ao dependem do caminho C escolhido. Calcule essas integrais. (23.1)
Z
C^ (2x^ sen^ y)^ dx^ + (x
(^2) cos y − 3 y (^2) ) dy, onde C ´e qualquer caminho de (−1, 0) a (3, 2). (23.2)
Z
C^ (−e
x (^) cos y) dx + (ex (^) sen y) dy, onde C ´e qualquer caminho de (0, 0) a (2, 1).
[24] Calcule
Z
γ
−→ F · dγ em cada um dos seguintes casos:
(24.1) −→ F (x, y) = x^2 −→ i + (x − y)−→ j , γ(t) = (t, sen (t)), 0 ≤ t ≤ π (24.2) −→ F (x, y) = x^2 −→ j , γ(t) = (t^2 , 3), − 1 ≤ t ≤ 1 (24.3) −→ F (x, y) = (x − y)−→ i + (x + y)−→ j , γ(t) = (3t + 2, 5t − 4), − 1 ≤ t ≤ 1
[25] Calcule o trabalho do campo −→ F = x^2 −→ i + (y^3 + ey^ + x)−→ j ao longo do semi-circulo C de centro (0, 0) que vai de (1, 0) a (−1, 0).
[26] Calcule o trabalho do campo −→ F = (yex^2 + cos (x^2 )−→ i + (x^2 − tg (y^2 ))−→ j ao longo da fronteira do triˆangulo dado pelos pontos (0, 0), (1, 0) e (1, 1) orientada no sentido hor´ario.
Teorema de Green
[27] Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha: (27.1)
I
C
−x^2 y 1 + x^2 dx^ + arctgx dy, onde^ C^ ´e o caminho fechado formado por^ y^ = 0,^ x^ = 1, y = 1, x = 0. (27.2)
I
C^ x dx^ +^ xy dy, onde^ C^ ´e o caminho fechado formado por^ y^ = 0,^ x
(^2) + y (^2) = 1 (x, y ≥ 0), x = 0. (27.3)
I
C^ −y
(^3) dx + x (^3) dy, onde C ´e o caminho fechado formado por y = x (^3) e y = x. (27.4)
I
C^ (x
(^2) − y) dx + x dy, onde C ´e a circunferˆencia x (^2) + y (^2) = 9. (27.5)
I
C^ (−y
(^2) + arctgx) dx + ln x dy, onde C ´e o caminho fechado formado por y = x 2 e x = y^2.
[28] Se R for uma regi˜ao plana qualquer ´a qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a ´area A de R ´e dada pela formula
A =^12
I
∂R^ −y dx^ +^ x dy^ (∗)
Use a f´ormula (∗) para calcular a ´area das regi˜oes limitadas pelas curvas dadas:
[7]
(7.1) (0, 0) ponto min (7.2)
− 14 , −^14
ponto min (7.3) (0, 0) max ; (1, 2), (1, −2), (−1, 2), (−1, −2) selas (7.4)
ponto max. (7.5) (−2, 0) ponto min; (2, 0) ponto max (7.6) (0, 0) sela; (0, −3) e (0, 4) max. locais (7.7) (1, 2) ponto min. (7.8) (0, 1) e (0, −3) selas ; (1, −1) min. local
[8]
2 ,^ −
[9]
± √^25 , ± √^15
[10]
(10.2)^12 (10.3) lados √^25 e √^85
[11]
x
y
4
Z 2 2
0
Z 4
2 x^ f^ (x,^ y)^ dydx
(11.1) y^ = 2x
x
y
Z 1
0
Z √ 3 y
√y^ f^ (x,^ y)^ dxdy
y = x^2 y = x^3 x
y
3
Z 2
0
Z y 2
y 3 f^ (x,^ y)^ dxdy^ +
Z 3
2
Z 1
y 3 f^ (x,^ y)^ dxdy
y = 2x
y = 3x
[12]
x
y
Z 1
0
Z 1 −x 2
1 −x
sen (πx) 1 − x dydx^ =
π
y = 1 − x
y = 1 − x^2
x
y
Z 1
0
Z x
0 ye
x^3 dydx = e^ −^1 6
y = x
x
y
Z 2
0
Z x 3
0
x^4 + 1 dydx =^17
y = x^3
[13]
(13.1) e^3 − e − 2 (13.2)^4 π (13.3)^3
[14]
(14.1)^89615 (14.2) 0 (14.3)
arctg(2) − π 4
ln 2
[15]
(15.1) 2π (15.2)^158 (15.3) 4a (15.4) 16 π
[16]
(16.1)^34 (16.2) e^2 −e^2 (16.3)^92 (16.4)^1456
[17]^9 π^ + 16
[18]
(18.1) 1 (18.2)^432 (18.3)^116 (18.4) π 2
[20]
(20.1) y^2 + 2yex^2 +y^2 (20.2) − sen (x + y) + πx cos (x + y) (20.3) sen (2x)
[21]
(21.1) n˜ao conservativo (21.2) conservativo; f (x, y) = xey^ + y
2 2 +^ k,^ k^ ´e constante (21.3) conservativo; f (x, y) = x^3 + 2xy^2 + 2y^3 + k, k ´e constante (21.4) conservativo; f (x, y) = xexy^ + k, k ´e constante
