Gradiente e Derivada Direcional, Notas de estudo de Cálculo

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Capítulo 2

Derivada Direcional, Gradiente, Máximos e Mínimos

Produto escalar

O produto escalar é uma operação entre vetores que produz um escalar. Essa operação é bastante utilizada no cálculo de tamanhos ou ângulos entre vetores. O produto escalar pode ser calculado através de duas fórmulas, dependendo das informações disponíveis:

• ••• Se possuirmos as coordenadas dos vetores: Considere os vetores u^ =^ (xu,yu) e v^ =^ (xv,yv). A fórmula que calcula o produto escalar

entre esses vetores é dada por:

u ⋅v=xu xv+yuy v

• ••• Se possuirmos os tamanhos dos vetores e o ângulo entre eles: Considere que os vetores u , de tamanho u^ , e v , de tamanho v^ , formem um ângulo θ

entre eles. O produto escalar entre esses vetores é dado por:

u⋅ v= u vcos θ Podemos utilizar a última fórmula para demonstrar que o produto escalar pode ser usado quando desejamos calcular o tamanho de um vetor, dispondo apenas das suas coordenadas. Fazendo

o produto escalar do vetor u = (xu,yu) com ele mesmo:

u ⋅ u= u ucos 0 ∴

2 u ⋅u= u

Observe que o ângulo entre o vetor u = (xu,yu) e ele próprio é zero já que os dois vetores

estão na mesma direção e sentido. O produto escalar que se encontra do lado esquerdo da igualdade

pode ser calculado por u ⋅ v=xu xv+yuyv.

Uma rápida introdução sobre vetores e retas

Considere que desejamos encontrar a equação de uma reta r que passa pelo ponto P = (x 0 ,y 0 ) e é paralela ao vetor u = (a,b) conforme mostra a figura:

A medida da taxa instantânea de crescimento ou decrescimento de uma função é dada pela inclinação da reta tangente à função no ponto (x 0 ,y 0 )conforme mostra a figura a seguir:

Na introdução do capítulo mostramos que se um ponto A = (x,y) está sobre uma reta r,

paralela a um vetor unitário u = (a,b), então podemos afirmar que x e y são dados por:

x = x 0 + ate y =y 0 +bt Considerando uma função z = f(x,y) em que x = g(t)=x 0 +at e y = h(t)=y 0 +bt,

podemos aplicar a seguinte expressão da regra da cadeia:

dt

dy y

z dt

dx x

z dt

dz ∂

Sabemos que se: x = x 0 + at, então, a dt

dx

y = y 0 + bt, então, b dt

dy

Substituindo na expressão da regra da cadeia:

b y

z a x

z dt

dz ∂

A derivada dt

dz representa a taxa instantânea de crescimento ou decrescimento de z

considerando a direção do vetor unitário u que, daqui por diante, representaremos por u

z ∂

b y

z a x

z u

z ∂

Essa última expressão calcula a derivada direcional de z na direção do vetor unitário u.

Inclinação da reta tangente em

( x 0 ,y 0 )é dada por u

z ∂

PA = t

Conforme a definição geométrica dada por limites, as derivadas parciais em relação a x ou a y medem as inclinações das retas tangentes à superfície nas direções x e y conforme o gráfico:

A derivada parcial na direção do vetor u r mede a inclinação da reta tangente à superfície na direção do vetor u

r como mostra o gráfico a seguir:

Podemos perceber no gráfico anterior que, passando pelo ponto P, existem infinitas retas tangentes à superfície z = f(x,y) cuja inclinações são dadas pelas respectivas derivadas direcionais.

A derivada direcional é o caso mais geral de derivação parcial, pois podemos obter as derivadas parciais em relação a x e a y fazendo a direção do vetor unitário u r coincidir com as

direções dos vetores unitários i

r (direção x) e j

r (direção y). A derivada de z na direção do vetor i = ( 1 , 0 )é dada por:

x

z 0 y

z 1 x

z i

z ∂

Inclinação da reta = y

z ∂

Inclinação da reta = x

z ∂

Inclinação da reta = u

z r ∂

u

r

P

P

Definição formal de derivada direcional

Considere um vetor u = (a,b) paralelo a uma reta r que contém o ponto P = (x 0 ,y 0 ) e o

ponto A = (x,y) cujas coordenadas são desconhecidas. Suponha uma função z = f(x,y) em que x

e y seguem a direção da reta r, ou seja, x = g(t)=x 0 +at e y = h(t)=y 0 +bt. A derivada

direcional é definida pela seguinte equação:

t

f(x at,y bt) f(x ,y ) lim t

f(x,y) f(x ,y ) lim u

z (^0000) t 0

0 0 t 0

→ → Graficamente estamos calculando a inclinação da reta tangente à curva obtida no limite

quando t→0 (quando PA → 0 ):

Propriedade da derivada direcional

A derivada direcional tem uma propriedade bastante especial. Quando invertemos o sentido

do vetor unitário a derivada direcional troca de sinal. Considere o vetor unitário u = (a,b) e o seu

vetor unitário oposto − u =(−a,−b). As derivadas parciais na direção de cada um desses vetores

são dadas por:

b y

z a x

z u

z ∂

e ( b) y

z ( a) x

z ( u)

z − ∂

Podemos então dizer que:

u

z b y

z a x

z ( u)

z ∂

Essa equação nos revela que se em uma direção a função está crescendo, na direção contrária a função deve decrescer.

Gradiente

É interessante notar que a expressão da derivada direcional pode ser representada como um produto escalar entre dois vetores:

(a,b ) y

z , x

z b y

z a x

z u

z ⋅ 

Sabemos que o segundo vetor do produto escalar é u. O primeiro vetor é denominado

gradiente da função z = f(x,y)e será representado pela notação ∇z ou grad(z).

Podemos então reescrever o produto escalar da seguinte forma: z u u

z =∇ ⋅ ∂

O símbolo ∇ é chamado operador nabla e, quando aparece ao lado da função, indica a presença da derivação parcial em cada coordenada do vetor gradiente. O nome do símbolo do gradiente é associado à um tipo de harpa hebraica que possui esse formato conforme mostra a figura. 1911, Webster´s Dictionary

Exemplo Calcule o gradiente da função: z =f(x,y)=x^3 y^4

Solução O gradiente da função é dado por:

y

z , x

z z

∇z =( 3 x^2 y^4 , 4 x^3 y^3 )

A palavra gradiente deriva do latim gradus (mesma origem das palavras gradual e gradativo) que significa avançar passo-a-passo.

O significado do gradiente

A derivada direcional, sendo um produto escalar entre vetores, pode também ser calculada da seguinte forma:

=∇ ⋅ = ∇ θ ∂

z u z ucos u

z

Como o vetor u é unitário, a derivada direcional se torna:

=∇ ⋅ = ∇ θ ∂

z u zcos u

z

Como − 1 ≤cosθ≤ 1 , o valor máximo e mínimo da derivada direcional é igual a:

z u z u

z =∇ ⋅ =+∇ ∂

(máximo)

z u z u

z =∇ ⋅ =−∇ ∂

(mínimo)

O valor máximo ocorre quando o ângulo θ entre o gradiente e o vetor u é igual a zero e o

valor mínimo ocorre quando o ângulo θ entre o gradiente e o vetor u é igual a 180o, ou seja,

quando o gradiente e o vetor u estão na mesma direção e no mesmo sentido, a derivada direcional é

máxima e tem valor igual a ∇z.

∇z = 32 = 4 2 O valor máximo da derivada direcional pode ser calculado pela fórmula:

z 4 2 u

z =+∇ = ∂

A derivada direcional é máxima quando o vetor u for igual a:

 

z

z u

Curvas de nível

Os médicos recorrem à tomografia computadorizada quando desejam visualizar a imagem do cérebro do paciente. Nesse tipo de exame, a imagem do cérebro do paciente é “fatiada” em várias partes conforme mostram as figuras a seguir:

Em matemática, diríamos que cada “fatia” da tomografia computadorizada é uma curva de nível da função. Os engenheiros civis utilizam gráficos de nível, chamados mapas topológicos, para auxiliá- los na construção de estradas e pontes. Na construção do gráfico de nível, o relevo da região é “fatiado” em várias cotas (nível de altura) e desenhado num único mapa conforme mostra a figura:

Cada número que acompanha uma curva representa a altura da “fatia” do relevo. Por exemplo, o ponto 1 e o ponto 2 mostrados na figura estão na cota 10, ou seja, possuem a mesma altura igual a 10. No mapa topológico da região estão presentes as várias curvas de nível do relevo.

Os engenheiros mecânicos utilizam curvas de nível quando precisam selecionar bombas d’água que funcionem com o maior rendimento possível. Podemos relacionar a altura de descarga, a vazão e o rendimento de uma bomba d’água conforme a superfície a seguir:

Os fabricantes apresentam as curvas de nível da superfície anterior no seguinte gráfico:

As curvas de nível de uma função representam as diversas “fatias” do gráfico da função, uma para cada valor escolhido da variável dependente z. As figuras a seguir mostram os gráficos de funções e as suas curvas de nível:

Gráfico da função z = f(x,y)=x^2 +y^2 Curvas de nível de z =f(x,y)=x^2 +y^2

Curvas de rendimento constante

Vazão (litros por segundo)

Altura (metros)

Altura de descarga (metros) Vazão (litros por segundo)

Rendimento (%)

Fica mais fácil verificar a afirmação anterior na figura a seguir:

A derivada na direção do vetor u tangente à curva de nível é igual a zero, ou seja:

0 u

z

∂

Sabemos que a derivada direcional é dada pelo seguinte produto escalar:

z u u

z =∇ ⋅ ∂

Logo, podemos afirmar que: ∇z ⋅u= 0 O produto escalar anterior anterior é muito importante, pois indica que o vetor gradiente é

perpendicular ao vetor u que é tangente a qualquer curva de nível da função. A figura seguinte

mostra a configuração dos vetores u e ∇z sobre uma das curvas de nível da função:

Máximo, Mínimo e Ponto de Sela

Um ponto P = (x 0 ,y 0 )é chamado de ponto crítico da função z = f(x,y) se nesse ponto as

derivadas parciais em relação a x e em relação a y são ambas iguais a zero, ou seja, as inclinações das retas tangentes à função z = f(x,y)no ponto P devem ser iguais a zero.

Ao longo da curva de nível não há crescimento nem decrescimento da função já que todos os pontos estão “à mesma altura”.

u

∇ z

u

u

u

Por exemplo, a figura a seguir mostra um ponto crítico da função. Observe que as derivadas parciais em relação a x e em relação a y são ambas iguais a zero:

Sabemos que a segunda derivada de uma função fornece a sua concavidade. Na figura mostrada anteriormente, a segunda derivada parcial em relação a x é negativa, pois a concavidade da curva paralela ao eixo x é para baixo. Estamos então sobre o ponto mais alto da curva. Além disso, a segunda derivada em relação a y também é negativa, indicando que a concavidade da curva paralela ao eixo y também está voltada para baixo. Combinando as duas situações, podemos afirmar que localizamos um ponto de máximo local. Observe a figura a seguir:

A inclinação da reta

tangente à curva: 0 y

z

∂

A inclinação da reta

tangente à curva: 0 x

z

∂

Solução As derivadas parciais em relação a x e a y são dadas por:

3 x 3 x

z (^2) = − ∂

3 y 3 y

z (^2) = − ∂

Os pontos críticos da função podem ser encontrados anulando as derivadas parciais:

3 x 3 0 x

z (^2) = − = ∂

3 y 3 0 y

z (^2) = − = ∂

Temos então um sistema com duas equações e duas variáveis:

3 y 3 0

3 x 3 0 2

2

As soluções do sistema são os pontos: ( 1 , 1 ), ( 1 ,− 1 ), (− 1 , 1 ), ( − 1 ,− 1 ) Embora tenhamos encontrado os pontos críticos da função, ainda não sabemos que tipo de ponto crítico é cada um dos pontos calculados. Para isso, precisamos da ajuda do determinante Hessiano conforme as condições dadas no quadro mostrado anteriormente. Vamos calcular as derivadas parciais presentes no Hessiano:

6 x x

z 2

2

∂

e 6 y y

z 2

2

∂

y x

z xy

(^2) z 2

∂ ∂

Substituindo as derivadas parciais no Hessiano temos a seguinte expressão:

36 xy 0 6 y

6 x 0 H( x,y)= =

Vamos analisar cada ponto crítico encontrado conforme as condições de caracterização dadas anteriormente.

• Ponto ( 1 , 1 ):

Como 36 0 6

H( 1 , 1 )= = e ( 1 , 1 ) 6 x

z 2

2

∂

, então, ( 1 , 1 )é ponto de mínimo

• Ponto ( 1 ,− 1 ):

Como 36 0 6

H( 1 , 1 ) =−

− = , então, ( 1 ,− 1 )é ponto de sela

• Ponto (− 1 , 1 ):

Como 36 0 6

H( 1 , 1 ) =−

− = , então, (− 1 , 1 )é ponto de sela

• Ponto ( − 1 ,− 1 ):

Como 36 0 6

H( 1 , 1 ) =

− − = e ( 1 , 1 ) 6 x

z 2

2 − − = − ∂

, então, (− 1 , 1 )é ponto de máximo

Observe o gráfico da função z = x^3 +y^3 − 3 x− 3 y+ 4 e comprove os resultados obtidos:

As curvas de nível e o campo de gradientes da função z = x^3 +y^3 − 3 x− 3 y+ 4 são mostrados nos gráficos a seguir:

Curvas de nível da função Campo de gradientes da função

Observe que o sentido das setas do campo de gradientes conduz aos pontos críticos, onde o gradiente é zero. As setas podem convergir de todas as direções para um ponto de máximo (1) ou divergir de um ponto de mínimo para todas as direções (2). Os pontos de sela (3) são caracterizados pela convergência de setas numa direção e divergência de setas em outra direção.

( − 1 ,− 1 )é máximo

( 1 ,− 1 )é ponto de sela

(− 1 , 1 )é ponto de sela

( 1 , 1 )é mínimo

Exemplo Considere que desejamos maximizar a função: z =f(x,y)= xy Sujeita à seguinte restrição: g( x,y)=x^2 +y^2 − 8

Solução

Devemos encontrar os gradientes ∇z e ∇g : ∇z =(y,x )e ∇g =( 2 x, 2 y) Conforme o método dos multiplicadores de Lagrange, existe um λ tal que: ∇z =λ∇ g Temos que: y = λ 2 xe x =λ 2 y Isolando λ nas duas equações:

2 x

y λ = e 2 y

x λ =

Igualando os valores de λ: x 2 =y^2 Substituindo na curva g (x,y)= 0 : g( x,y)=x^2 +y^2 − 8 = 0 2 x^2 − 8 = 0 ∴ x =± 2 Substituindo na expressão x 2 = y^2 temos que: y =± 2 Os pontos a seguir são candidatos à maximizar a função z = f(x,y)=xy: ( 2 , 2 ), ( 2 ,− 2 ), (− 2 , 2 ), ( − 2 ,− 2 ) Para sabermos qual dos pontos anteriores maximiza a função basta calcular o valor de z para cada um dos pontos calculados:

(x ,y) ( 2 , 2 ) ( 2 ,− 2 ) (− 2 , 2 ) ( − 2 ,− 2 ) z = xy 4 -4 -4 4

O valor máximo da função é 4 e ocorre nos pontos ( 2 , 2 )e ( − 2 ,− 2 ). Por outro lado, a função tem valor mínimo igual a -4 nos dois outros pontos encontrados.

Curva de nível z = 4 Restrição g( x,y)= 0

Curva de nível z =− 4

Projeto de Aplicação: Mínimos Quadrados

Suponha que tenhamos um conjunto de dados tabelados que foram obtidos de um experimento qualquer com n valores de x e y:

x x 1 x 2 x 3 ... xn y y 1 y 2 y 3 ...^ yn

Precisamos encontrar uma função f(x) que aproxime a tabela com o menor erro possível. Graficamente, podemos ter uma idéia melhor do problema:

Podemos descobrir a função f(x) através do método dos mínimos quadrados. Quando as quantidades envolvidas x e y são grandes em relação ao erro calculado, podemos facilmente verificar que esse erro elevado ao quadrado é pequeno e ainda sempre positivo. Deste conceito simples é que surge o método dos mínimos quadrados. Considere o seguinte gráfico:

Para a abscissa xi podemos identificar dois valores de y: um corresponde ao valor tabelado yi e o outro correspondente ao cálculo de f(xi), ou seja, substituindo xi na função que aproxima os pontos tabelados. O erro entre o valor tabelado yi e o valor calculado f(xi) é igual a: E =yi −f(xi ) O erro elevado ao quadrado é dado por: E 2 = [y (^) i−f(x i)]^2 Como f(x) depende de vários parâmetros (constantes), vamos chamar: f (x)=f(x,a,b,c ,...) Quando os valores de a, b, c, ... são conhecidos, a função possui apenas uma variável. Para o nosso caso, conhecemos o valor de x e desconhecemos os valores das constantes. A função então possui várias variáveis.