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Derivadas I
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x 0
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Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x 0 para x 0 + x 0 :
Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg , revise TRIGONOMETRIA , clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER.
Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x 0 , como sendo o limite da razão incremental acima, quando x 0 tende a zero, e é representada por f ' (x 0 ) , Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando x 0 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo S P Q = .tende ao valor do ângulo . Ora, quando x 0 0 , já vimos que o quociente y 0 / x 0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x 0. Mas, o quociente y 0 / x 0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo S P Q = , onde P é o vértice do ângulo. Quando x 0 0 , o ângulo S P Q = , tende ao ângulo .
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x 0 , é igual numericamente à tangente do ângulo . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.
Podemos escrever então: f '(x 0 ) = tg
Guarde então a seguinte conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x 0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x 0.
Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!
Vamos lá!
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.
Calcule a derivada da função y = x
2 , no ponto x = 10. Temos neste caso: y = f(x) = x
2 f(x + x) =(x + x)
2 = x
2
2 f(x + x) -f(x) = x
2
2
2 = 2x. x + ( x)
2
2
y = f(x + x) -f(x) = x
2
2
2
Portanto,
Observe que colocamos na expressão acima, x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido. Portanto a derivada da função y = x
2 é igual a y ' = 2x. Logo, a derivada da função y = x
2 , no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 =
Qual a interpretação geométrica do resultado acima?
Ora, a derivada da função y = x
2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x
2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , será um ângulo tal que tg = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que 87º 8' 15".
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x
2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a 87º 8' 15".
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa x = 1000. Resposta: 5.
Paulo Marques - Feira de Santana
