Operações com limites
de funções
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Como fazer definição de derivadas
Tipologia: Exercícios
2024
1 / 10
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de funções
Adição
▪ +∞ + 𝑙 = +∞, com 𝑙 ∈ ℝ ▪ +∞ + +∞ = +∞ ▪ −∞ + 𝑙 = −∞, com 𝑙 ∈ ℝ ▪ −∞ + (−∞) = −∞
▪ +∞ + (−∞) indeterminação
Divisão
1 0 +^
1 0 −^
0 ∞
∞ 0
▪
▪
Multiplicação
▪ +∞ × 𝑙 = +∞, com 𝑙 > 0 ▪ +∞ × 𝑙 = −∞, com 𝑙 < 0 ▪ +∞ × +∞ = +∞ ▪ +∞ × −∞ = −∞ ▪ −∞ × 𝑙 = −∞, com 𝑙 > 0 ▪ −∞ × 𝑙 = +∞, com 𝑙 < 0 ▪ −∞ × −∞ = +∞ ▪ +∞ 𝑟 = +∞, com 𝑟 ∈ ℚ
▪ −∞ 𝑟 = +∞, se 𝑟 ∈ ℕ é par ▪ −∞ 𝑟 = −∞, se 𝑟 ∈ ℕ é ímpar
▪ ∞ × 0 indeterminação
indeterminações
Produto de uma função limitada por uma função com limite nulo Dados 𝐷 ⊂ ℝ, as funções 𝑓: 𝐷 → ℝ e 𝑔: 𝐷 → ℝ e um ponto 𝑎 aderente a 𝐷, se 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝟎 e se 𝒈 é limitada , então 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟎.
lim
𝑥→+∞ sen 𝑥 𝑥^2
= 0 , pois − 1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ e lim
𝑥→+∞ 1 𝑥²
Exemplo:
Nota: (também aplicável ao caso de limites em +∞ ou −∞)
Levantamento algébrico de indeterminações
1) Com funções racionais
𝟎 × ∞
Simplificar a expressão de modo a obter:
e 𝒙 → 𝒂
- Fatorizar o numerador e o denominador.
- Simplificar.
- Utilizar as propriedades operatórias dos limites.
Levantamento algébrico de indeterminações
2 ) Com funções racionais e^ 𝒙^ →^ ±∞
+∞ + −∞ Igual ao limite do termo de maior grau. 0 0 0 × ∞ Simplificar a expressão de modo a obter:
Igual ao limite do quociente do termo de maior grau do numerador e do denominador.
Levantamento algébrico de indeterminações
1) Com funções racionais
Exemplos
e 𝒙 → ±∞
1. lim
𝑥→+∞
7 − 4 𝑥 2
- 5 = lim 𝑥→+∞
7
lim
𝑥→−∞ 3 × 𝑥^2 + 1 −2𝑥× 𝑥^3 − 1
= lim
𝑥→−∞ 3𝑥²+ 3 −2𝑥^4 +2𝑥
= lim
𝑥→−∞ 3 𝑥² −2𝑥^4
- lim 𝑥→−∞ 3 𝑥³− 1 − 2 𝑥 𝑥^2 + 1
= lim 𝑥→−∞
2
Levantamento algébrico de indeterminações
4) Limites de funções que envolvem módulos
Poderá ser útil definir a função por ramos e determinar os limites laterais. lim 𝑥→ 1 2𝑥− 2 𝑥²− 1
Exemplo: 2𝑥 − 2 = ቊ 2 𝑥 − 2 se 𝑥 ≥ 1 −2𝑥 + 2 se 𝑥 < 1 lim 𝑥→1⁺
= lim 𝑥→1⁺
= lim 𝑥→1⁺
= lim 𝑥→1⁺
lim 𝑥→1⁻
= lim 𝑥→1⁻
= lim 𝑥→1⁻
= lim 𝑥→1⁻
Como lim 𝑥→1⁺ 2𝑥− 2 𝑥²− 1 ≠ lim 𝑥→1⁻ 2𝑥− 2 𝑥²− 1 , então não existe lim 𝑥→ 1 2𝑥− 2 𝑥²− 1