Elipse
1 – Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que
a distancia entre estes pontos seja igual a 2c 0, denomina-se
elipse, à curva plana cuja soma
das distancias de cada um de
seus pontos P à estes pontos
fixos F1 e F2 é igual a um valor
constante 2a , onde a c. Assim
é que temos por definição: PF1 +
PF2 = 2 a Os pontos F1 e F2 são
denominados focos e a
distancia F1F2 é conhecida com
distancia focal da elipse. O
quociente c/a é conhecido como
excentricidade da elipse.
Como, por definição, a c,
podemos afirmar que a
excentricidade de uma elipse é
um número positivo menor que a unidade.
2 – Equação reduzida da elipse
Seja P(x, y) um ponto qualquer de
uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0)
os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c a, como vimos acima, podemos
escrever: PF1 +
PF2 = 2.a Usando
a fórmula da
distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c. Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a
expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
222
b2.x2 + a2.y = a2.b2, onde b2 = a – c
Dividindo agora, ambos os membros por a
Veja a figura abaixo, que é elucidativa:
NOTAS: 1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse. 2 – o eixo B1B2 é denominado
eixo menor da elipse. 3 – é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da
elipse. 4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de
termos b =a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade
nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse. 6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e
o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:
2b2 vem
finalmente:
