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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.4b. 2005. Desenhos construídos por: Giuliano M. Belussi.
DESENHO GEOMÉTRICO – AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR
O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É
ÁUREO.
Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.
Encontre (M) o ponto médio de AB. Levante uma perpendicular (r) por B. Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta (r) em O. Ligue os pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo AOB cujo cateto maior é AB, cateto menor é AB/2 e hipotenusa é AB√5/2.
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Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a hipotenusa em C'. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o segmento AB.
Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão, passe por AO uma semi-reta (t). Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que corte a reta (t) em D'. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s) no ponto D transferindo assim, a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.
O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a AB/2 - AB√5/2.
O ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida AD' é igual a AB/2 + AB√5/
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levante por A uma perpendicular (p). Centre o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta (p) em C. Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.
Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo do lado maior AB dado.
3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO
RETÂNGULO L=4 CM
Seja AB o lado menor do retângulo
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Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A. Levante uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de BA' (M). Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB.
Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace um arco que corte a reta (s) em D. Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E encontrando assim o retângulo áureo ABED, no qual o lado AB dado é o segmento áureo do lado BD encontrado.
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Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH. Transporte o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ.
Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante uma perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca do compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT. Transporte o segmento TI para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Com a ponta seca do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU.
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Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ. Para encontrar o pólo da espiral trace os segmentos AD e GB.
5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE
RAIO 5 CM
Seja uma circunferência de diâmetros AB e CD. Com a ponta seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferência trace um arco que corte a circunferência nos pontos 1 e 2.
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6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO, DECÁGONO E
PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA.
Seja a circunferência de diâmetros AB e CD. Encontre M o ponto médio do raio OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.
O segmento CE é igual ao L 5 (lado do pentágono) inscrito na circunferência. O segmento OE é igual ao L 10 (lado do decágono) inscrito na mesma circunferência. O triângulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa x=R√5/2.
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Então, a medida OE que é o valor do L 10 (lado do decágono) será igual a: R - R√5/ que é o segmento áureo do raio. Com o valor L 5 é possível encontrar os vértices CFEGH do pentágono e com o valor L10 é possível encontrar os vértices CJIFEKNGH do decágono.
Ligando as diagonais CGEFHC é possível de se traçar o pentagrama.
A relação áurea é a seguinte:
- O segmento DO = L 10 (lado do decágono) é segmento áureo do raio da circunferência.
- As diagonais do pentágono se cortam no ponto que as divide em média e extrema razão.
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SÉRIE VERMELHA
Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB. Construa dois triângulos retângulos nos quais o lado menor é igual à 1/4 do segmento AB. Têm-se os triângulos ACM e MDB. Siga a mesma construção da série azul, dividindo AM em média razão (Ponto F). Em seguida divida também MB em média razão (ponto H). Continue a divisão áurea, agora para o segmento BH encontrando J. Repita o processo para encontrar mais divisões áureas.
As duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:
- Os pontos F, M, H, J, .... da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade.
- Os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série vermelha em média razão.
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8. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE
UMA ESPIRAL
Seja um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro AB. Considerando as diagonais FHI do pentágono, obtemos um triângulo áureo.
Seja o triângulo áureo FHI, isósceles cujos ângulos adjacentes à base medem 72 graus e o ângulo oposto à base mede 36 graus. Para iniciar o traçado da espiral, trace a bissetriz do ângulo FHI (reta s) que corta o lado iF no ponto J. O ponto J é o vértice do ângulo FJH. Coloque a ponta seca do compasso em J e trace um arco. Em seguida, trace a bissetriz do ângulo JIH (reta u) encontrando o ponto L no segmento JH. Coloque a ponta seca em L e trace o arco HI. Trace a bissetriz do ângulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. Trace a bissetriz do ângulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. Trace a bissetriz (reta v) do ângulo JLI encontrando P no segmento JN. Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL. Trace a bissetriz (reta x) do ângulo LNJ encontrando Q no segmento LP. Com a ponta seca do compasso em Q trace o arco LN. Depois trace a bissetriz do ângulo NPL encontrando o ponto R no segmento NQ. Co a ponta seca do compasso em R trace o arco NP. E assim sucessivamente até chegar ao pólo da espiral.
