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GLOSSÁRIO: UM DICIONÁRIO PARA
ÁLGEBRA LINEAR
Matriz de adjacência de um grafo. Matriz quadrada com aij = 1 quando existe uma arestado nodo i para o nodo j ; caso contrário aij = 0. A = AT^ para um grafo não direcionado.
Transformação Afim T(v) = Av + vo = transformação linear mais desvio.
Lei Associativa (AB)C = A(BC). Os parênteses podem ser removidos para ler ABC.
Matriz aumentada [ A b ]. Ax = b é passível de solução quando b está no espaço de coluna de A ; então [ A b ] tem o mesmo posto de A. A eliminação em [ A b ] mantém as equações corretas.
Retrosubstituição. Sistemas triangulares superiores são resolvidos em ordem reversa de xn até x 1.
Base para V. Vetores independentes v 1 , ..., vd cujas combinações lineares geram qualquer v em V. Um espaço de vetor tem muitas bases!
Grande fórmula para determinantes n por n. Det (A) é a soma de n! termos, um termo para cada permutação P das colunas. Cada termo é o produto abaixo da diagonal da matriz reordenada vezes det( P ) = ± 1.
Matriz de bloco. Uma matriz de blocos pode ser dividida em blocos matriciais por cortes entre as linhas e/ou entre as colunas. A multiplicação de bloco de AB é permitida se as formas dos blocos assim o permitirem (as colunas de A e as linhas de B devem constituir blocos coincidentes).
Teorema de Cayley-Hamilton. matriz zero.
Matriz M de Mudança de base. Os antigos vetores de base vj são combinações dos
novos vetores de base. As coordenadas de estão relacionadas por d = M c****. (Para ).
Equação Característica. As n raízes são os autovalores de A.
Fatoração de Cholesky para A positivo definida.
Matriz circulante C. Diagonais constantes se envolvem como em um desvio S cíclico. Cada circulante é. Cx = convolução c ∗ x. Autovetores em F.
Co-fator Cij. Remover a linha i e a coluna j ; multiplicar o determinante por.
Foto coluna de Ax = b. O vetor b se torna uma combinação das colunas de A. O sistema é passível de resolução somente quando b estiver no espaço coluna C(A).
Espaço coluna C ( A ) = espaço de todas as combinações das colunas de A.
Matrizes que comutam AB = BA. Se diagonalizáveis, elas compartilham n autovetores.
Matriz companheira. Coloque c 1 , ..., cn na linha n e coloque n – 1 1´s ao longo da diagonal 1. A seguir.
Solução completa x = xp + xn para Ax = b. ( xp particular) + ( xn no espaço nulo).
Complexo conjugado para qualquer número z = a + ib complexo. Então.
Número de condição. Em Ax = b , a mudança relativa é menor que cond (A) vezes a mudança relativa. Os números de condição medem a sensibilidade do resultado para alterações na entrada.
Método de Gradiente Conjugado. A seqüência de passos (final do Capítulo 9) para resolver Ax = b positivo definida minimizando-se sobre subespaços crescentes de Krylov.
Matriz de Covariância Σ. Quando variáveis aleatórias xi possuem mediana = valor médio = 0, suas covariâncias Σ i j são as médias de xi xj. Com médias a matriz Σ = média de é positiva (semi)definida; ela será diagonal se xi forem independentes.
Regra de Cramer para Ax = b. Bj tem b substituindo a coluna j de A e xj = Bj / A.
Produto vetorial u x v em R^3. O vetor perpendicular a u e v , extensão = área do paralelogramo, computada como o “determinante” de [ i j k ; u 1 u 2 u 3 ; v 1 v 2 v 3 ].
Desvio cíclico S. Permutação com s 21 = 1, s32 = 1, ..., finalmente = 1. Seus autovalores são raízes n-ésimas de 1; autovetores são colunas da matriz F de Fourier.
Determinante A = det (A). Definida por det I = 1, sinal contrário para troca de linha e linearidade em cada linha. Então A = 0 quando A for singular. Também AB = A B e
. A grande fórmula para det (A) tem uma soma de n! termos, a fórmula do co-fator usa determinantes de tamanho n – 1, volume da caixa = det (A) .
Matriz diagonal D. d (^) i j = 0 se i ≠ j. Diagonal de bloco: zero fora de blocos quadrados D i i.
Matriz diagonalizável A****. Deve ter n autovetores independentes (nas colunas de S ; automático com n. autovalores diferentes). Então matriz de autovalor.
Diagonalização matriz de autovalor e S – matriz de autovetor. A deve ter n autovetores independentes para tornar S não inversível. Para todo inteiro k, temos Ak^ = SΛk^ S-1.
Dimensão do espaço vetorial dim ( V ) = número de vetores em qualquer base de V.
Lei Distributiva A(B + C) = AB + AC. Adicionar e multiplicar, ou multiplicar e adicionar.
Produto escalar. O produto escalar complexo é. Vetores perpendiculares possuem produto escalar zero. (AB)ij = (linha i de A ) ⋅ (coluna j de B).
Matriz escalonada U. A primeira entrada diferente de zero (o pivô) em cada linha vem depois do pivô na linha anterior. Todas as linhas zero vêm por último.
Autovalor? e autovetor x****. Ax =****? x com x ≠ 0 de modo que det( A -? I) = 0.
Eighshow. Autovalores gráficos 2 por 2 e valores únicos (MATLAB ou Java).
Eliminação. Uma seqüência de operações de linha que reduz A a uma triangular superior U ou a
uma forma R reduzida = rref ( A ). Então A = LU com multiplicadores em L, ou PA = LU com trocas de linha em P , ou EA = R com um E inversível.
Matriz de eliminação = Matriz elementar Ei j. A matriz de identidade com um na entrada i, j
( i ≠ j ). Então Ei j A subtrai vezes a linha j de A da linha i.
Elipse (ou elipsóide) x T Ax = 1. A deve ser positivo definida; os eixos da elipse são autovetores de
A , de comprimento. (Para x = 1 os vetores y = Ax ficam na elipse exibidas pelo eigshow; comprimentos de eixo ).
Exponencial tem derivada resolve u´= Au.
Matriz inversa A-1. Matriz quadrada com A-1A = I e AA-1= I. Sem inversão se det A = 0 e posto (A) < n e AX = 0 para um vetor x diferente de zero. Os inversos de AB e AT^ são B-1^ A-1^ e ( A-1 )T^. Fórmula de co-fator ( A-1)i j = Cj i / det A.
Método iterativo. Uma seqüência de passos visando aproximar a solução desejada.
Forma de Jordan J = M-1AM. Se A tem s autovetores independentes, sua matriz de autovetores “generalizados” M dá J = diag (J1,..., Js). O bloco Jk é ?k Ik + Nk onde Nk tem 1 na diagonal 1. Cada bloco tem um autovalor ?k e um autovetor (1, 0, ..., 0).
Leis de Kirchhoff. Lei da Corrente: a corrente líquida (o que entra menos o que sai) é zero em cada nodo. Lei da Voltagem: As diferenças de potencial (quedas de voltagem) somam a zero ao redor de cada ciclo.
Produto de Kronecker (produto tensorial) A B. Blocos ai i B, autovalores ?p (A) ?q (B).
Subespaço de Krylov Kj(A,b). O subespaço gerado por b, A b, ...,Aj-1 b. Métodos numéricos aproximam A-1 b por xj com resíduo b – Axj l nesse subespaço. Uma boa base para Kj exige somente multiplicação por A em cada passo.
Solução com mínimos quadrados. O vetor que minimiza o erro resolve. Então é ortogonal a todas as colunas de A.
Inversa esquerda A+.. Se A tem uma posto completo coluna, então A+^ = (ATA)-1^ AT^ tem A+A = In.
Espaço Nulo à esquerda N ( AT). O espaço nulo de AT^ = “espaço nulo à esquerda” de A porque yT^ A = 0T.
comprimento. Raiz quadrada de xTx (Pitágoras em n dimensões).
Combinação linear. Adição de vetor e multiplicação escalar.
Transformação linear T. Cada vetor v no espaço domínio transforma-se em T ( v ) no espaço imagem, e a linearidade exige. Exemplos: Multiplicação de matriz Av , diferenciação em espaços de função.
v1,...vn linearmente dependentes. Combinação linear com nem todos ci= 0 que resulta em .
Números de Lucas Ln = 2,1,3,4, ... satisfazem com autovalores
da matriz de Fibonacci. Compare L 0 = 2 com Fibonacci.
Matriz de Markov M. Todas as e cada soma de coluna é 1. O maior autovalor. Se , as colunas de Mk^ aproximan o autovetor em estado estacionário M s = s > 0.
Multiplicação de Matriz AB. A entrada i, j de AB é (linha i de A ) ⋅ (coluna j de B ) =. Por colunas: Coluna j de AB = A vezes coluna j de B. Por linhas: linha i de A multiplica B. Colunas vezes linhas: AB = soma de (coluna k) ( linha k). Todas essas definições equivalentes resultam da regra de que AB vezes x é igual a A vezes B x.
Polinômio mínimo de A. O polinômio de grau mais baixo com m(A) = matriz zero. As raízes de m são autovalores, e m (?) divide det (A – ?I).
Multiplicação A x = x 1 (coluna 1) + ... + xn (coluna n ) = combinação de colunas.
Multiplicidades AM e GM. A multiplicidade algébrica AM de um autovalor? é o número de vezes em que? aparece como raiz de det (A – ?I) = 0. A multiplicidade geométrica GM é o número de autovetores independentes (= dimensão do autoespaço para ?).
Multiplicador. A linha pivô j é multiplicada por e subtraída da linha i para eliminar a entrada i,j,: = (entrada a eliminar) / (pivô j).
Rede. Um gráfico dirigido com constantes c 1 , ..., cm associadas com as arestas.
Matriz Nilpotente N. Alguma potência de N é a matriz zero, Nk^ = 0. O único autovalor é? = 0 (repetido n vezes). Exemplos: matrizes triangulares com diagonal zero.
Norma de uma matriz. A é a proporção máxima. Então
e e. Norma de Frobenius ; normas e são as maiores somas de colunas e linhas de.
Equação normal. Fornece a solução de mínimos quadrados para A x = b se A
possuir posto completo n. A equação diz que (colunas de A)⋅ = 0.
Matriz normal N. NNT^ = NTN, leva a autovetores ortonormais (complexos).
Espaço nulo N (A) = Soluções de Ax = 0. Dimensão n – r = (n.° de colunas) – posto.
Matriz de espaço nulo N. (As colunas de N são as n – r soluções especiais para As = 0. Matriz ortogonal Q. Matriz quadrada com colunas ortonormais, de modo que QTQ = I implica QT^ = Q-1. Preserva extensão e ângulos,. Todos os , com autovetores ortogonais. Exemplos: Rotação, reflexão, permutação.
Subespaços ortogonais. Cada v em V é ortogonal a cada w em W****.
Vetores ortonormais q 1 , ...qn. Produtos escalares são se e. A matriz Q com essas colunas ortonormais tem QTQ = I. Se m = n então QT^ = Q-1^ e q 1 , ..., qn é uma base ortonormal para Rn: cada.
Produto vetorial uvT^ = coluna vezes linha = matriz de posto um.
Pivotamento parcial Na eliminação, o j-ésimo pivô é escolhido como a maior entrada disponível (em valor absoluto) na coluna j. Então, todos os multiplicadores possuem. O erro de arredondamento é controlado (dependendo do número de condição de A).
Solução particular xp. Qualquer solução para A x=b; freqüentemente xp tem variáveis livres = 0.
Matriz de Pascal PS = pascal( n ). Matriz simétrica com entradas binomiais (formula). Todos os PS = PLPU contêm o triângulo de Pascal com det = 1 (veja índice para mais propriedades).
Matriz de permutação P. Existem n! ordens de 1,..., n ; os n! P têm as linhas de I nessas ordens. PA coloca as linhas de A nessa mesma ordem. P é produto de trocas Pi j de linha; P é par ou ímpar (det P = 1 ou –1) com base no número de trocas.
Colunas pivô de A. Colunas que contêm pivôs depois da redução por linhas; não são combinações de colunas anteriores. As colunas de pivôs são a base para o espaço coluna.
Pivô d. A entrada da diagonal ( primeira diferente de zero) quando uma linha é usada na eliminação.
Plano (ou hiperplano) em Rn. Soluções para aTx = 0 dão o plano (dimensão n – 1) perpendicular a a ≠ 0.
Decomposição polar A = QH. Q ortogonal, positiva (semi)definida H.
Matriz A positivo definida. Matriz simétrica com autovalores positivos e pivôs positivos. Definição: xTAx > 0 a menos que x = 0.
Matriz skew simétrica K. A transposta é –K, uma vez que Ki j = -Kj.i. Autovalores são imaginário puro, autovetores são ortogonais, é uma matriz ortogonal.
Sistema solúvel Ax = b. O lado direito b está no espaço de coluna de A.
Conjunto gerador v1, ...,vm para V. Todos os vetores em V são uma combinação de v1,...,vm.
Soluções especiais para As = 0. Uma variável livre é si = 1, outras variáveis livres = 0.
Teorema espectral A = Q? QT. A simétrico real tem ?i real e qi ortonormal com. Em mecânica, o qi fornece os eixos principais.
Espectro de A = o conjunto de autovalores {?1,...,?n}. Raio espectral =.
Base padrão para Rn. Colunas da matriz identidade n por n (escrito i, j, k em R^3 ).
Matriz de rigidez K. Se x fornecer os movimentos dos nodos em uma estrutura discreta, K x fornecerá as forças internas. Com freqüência K = ATCA onde C contém constantes de mola da Lei de Hooke e A x = deslocamentos (tensões) dos movimentos x****.
Subespaço S de V. Qualquer espaço vetorial dentro de V , incluindo V e Z = {vetor zero}.
Soma V + W de subespaços****. Espaço de todos ( v em V ) + ( w em W ). Soma direta: dim ( V + W) = dim V + dim W quando V e W compartilham somente o vetor zero.
Fatorações simétricas A = LDLT^ e A = Q? QT.. O número de pivôs positivos em D e os autovalores positivos em? é o mesmo.
Matriz simétrica A. A transposta é AT^ = A, e ai j = ai j. A -1^ também é simétrica. Todas as matrizes da formação RT^ R e LDLT^ e Q?QT^ são simétricas. Matrizes simétricas possuem autovalores reais em? e autovetores ortonormais em Q.
Matriz de Toeplitz T. Matriz com diagonal constante, de modo que ti j depende somente de j – i. Matrizes de Toeplitz representam filtros lineares invariantes no tempo em processamento de sinais.
Traço de A = soma das entradas da diagonal = soma de autovalores de A. Tr AB = Tr BA.
Matriz transposta AT. Entradas (formula). AT^ é n por m , ATA é quadrada, simétrica, positivo semidefinida. As transpostas de AB e A-1^ são BT^ AT^ e ( AT)-1.
Desigualdade triangular. Para normas matriciais:
.
Matriz tridiagonal T : ti j = 0 se i - j > 1. T-1^ tem posto 1 acima e abaixo diagonal.
Matriz unitária****. Colunas ortonormais (análogo complexo de Q ).
Matriz de Vandermonde V. Vc = b fornece o polinômio com
em n pontos. e det V = produto de.
Vetor v em R n^. Seqüência de n números reais v = (v 1 , ..., vn) = ponto em Rn.
Adição de vetor. v + w = (v 1 + w 1 , ..., vn + wn) = diagonal do paralelogramo.
Espaço vetorial V****. Conjunto de vetores tal que todas as combinações cv + dw permanecem em V****. As oito regras exigidas são fornecidas na Seção 3.1 para cv + dw.
Volume da caixa. As linhas (ou colunas) de A geram uma caixa com volume det( A ).
Ondaletas (Ondas pequenas: wavelets ) wj k (t) ou vetores w j k. Estendem e desviam o eixo de tempo para criar. Vetores de w 00 = (1, 1, -1, -1) seriam (1, -1, 0,0) e (0,0,1, - 1).
