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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Departamento de Matem´atica 1.a^ de Lista de MATA07 ( Algebra Linear A)´
- Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
A=
B=
C=
D=
E=
- Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2 × 2 que est˜ao na forma LRFE.
- Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:
A =
B =
C =
D =
E^ =
- Dˆe exemplos, se poss´ıvel, de matrizes satisfazendo as condi¸c˜oes dadas abaixo.
OBS: N (X) e p(X) denotam a nulidade e o posto da matriz X, respectivamente.
a) A 2 × 3 , p(A) = 2; b) B 3 × 2 , p(B) = 3; c)C 2 × 4 , p(C) = 3;
d) D 2 × 3 , N (D) = 2; e) E 4 × 3 , N (E) = 0; f) F 3 × 3 , N (F ) = 0;
g) G 3 × 3 , p(G) = 2.
- Resolva os seguintes sistemas:
x + 2y − 2 z = − 6 3 x + 2y − 2 z = − 2 3 x − 5 z = − 9
a)
x − y + 2z = 4 3 x + y + 4z = 6 x + y + z = 1
b)
x − y − z = 4 x − y + z = 2 c)
x + 2y − 3 z = 0 2 x + 4y − 2 z = 2 3 x + 6y − 4 z = 3
d).
- Determine a solu¸c˜ao do sistema 2 x + (i − 1)y + w = 0 3 y − 2 iz + 5w = 0
considerando o conjunto dos n´umeros complexos.
- Discuta em fun¸c˜ao de k os seguintes sistemas:
− 4 x + 3y = 2 5 x − 4 y = 0 2 x − y = k
a)
x + y − kz = 0 kx + y − z = 2 b)
2 x − 2 y + kz = 2 2 x − y + kz = 3 x − ky + z = 0
c)
x + kz = − 2 x − y − 2 z = k x + ky + 4z = − 5
d)
- Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema poss´ıvel e determinado.
3 x − 7 y = a x + y = b 5 x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b − 1
- Considere as seguintes matrizes invers´ıveis
A =
, B =
(^) e C =
a) Encontre a express˜ao de X tal que BAX = C. b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a.
- Em cada um dos itens abaixo, determine a matriz N , linha reduzida `a forma escada (LRFE), linha equivalente a B, e uma matriz invert´ıvel M , de ordem 3, tal que N = M B.
B =
a) (^) . B =
2 2 − i 0
1 + i
3 + i 2
− 5 − i
b) .
- Verifique se cada matriz a seguir ´e invers´ıvel e, em caso afirmativo, determine a sua inversa, usando escalonamento.
1 2 2 2
a).
b) .
c) .
VI. V = C^2 sobre R.
W = {(a + bi, c + di) ∈ C^2 ; a − 2 c = 0 e b + d = 0}
.
- Sabendo que o conjunto das solu¸c˜oes de um sistema de equa¸c˜oes lineares homogˆeneas ´e um subespa¸co vetorial de Mn× 1 (R), verifique, em cada item a seguir, se W ´e subespa¸co vetorial de V.
a) V = R^3 e W = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x − y + z = 0}.
b) V = R^3 e W = {x, y, z) ∈ R^3 ; x − y − 1 = 0 e y + z = 0}.
c) V = M 2 (R) e W =
x y z w
∈ V ; x − y = 0 e z + w − 2 = 0
d) V = M 2 (R) e W =
x y z w
∈ V ; x − y = 0 e z + w = 0
e) V = P 3 (R) e W = {xt^3 + yt^2 + zt + w ∈ V ; x − y − z = 0}.
f) V = P 2 (R) e W = {xt^2 + yt + z ∈ V ; x − z = 0}.
- Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespa¸cos vetoriais.
a) W 1 = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x + z = 0 e x − 2 y = 0} subespa¸co de R^3.
b) W 2 = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x + 2y − 3 z = 0} subespa¸co de R^3.
c) W 3 =
a b c d
∈ M 2 (R); a + c = 0 e d = 0
subespa¸co de M 2 (R).
d) W 4 = {xt^3 + yt^2 + zt + w ∈ P 3 (R); y = z e x = 0} subespa¸co de P 3 (R).
- Verifique se s˜ao verdadeiras ou falsas as afirma¸c˜oes abaixo:
a) Dois vetores s˜ao L.D. se, e somente se, um deles ´e m´ultiplo do outro.
b) Um conjunto que cont´em um subconjunto de vetores L.D. ´e L.D..
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D.
d) Se w 1 ∈ [w 2 , w 3 ], ent˜ao {w 1 , w 2 , w 3 } ´e L.D..
e) Se [w 1 , w 2 ] = [w 1 , w 2 , w 3 ] ent˜ao {w 1 , w 2 , w 3 } ´e L.D..
f) Se {w 1 , w 2 , w 3 } ´e L.I. ent˜ao [w 1 , w 2 ] = [w 1 , w 2 , w 3 ].
- Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir s˜ao L.I. ou L.D.
a) V = R^4 e S 1 = {(1, − 2 , 4 , 1), (2, 1 , 0 , −3), (0, − 5 , 8 , 5)}.
b) V = M 2 × 3 (R) e S 2 =
c) V = P 2 (R), S 3 =
t^3 − 4 t^2 + 2t + 3, t^3 + 2t^2 + 4t − 1 , 2 t^3 − t^2 − 3 t + 5.
- Considere os vetores de M 2 (R) dados a seguir:
v 1 =
, v 2 =
2 x − 1 0
, v 3 =
y 2
e v 4 =
2 y z
Determine se poss´ıvel, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro.
a) {v 1 , v 4 } ´e L.I. b) {v 1 , v 2 } ´e L.I. c){v 1 , v 2 , v 3 } ´e L.I.
- Verifique, em cada caso, se o conjunto S ´e uma base de V. Caso n˜ao seja, justifique.
a) V = R^2 e S = {(1, −1), (− 2 , 2)}. b)V = R^3 e S = {(1, 1 , 0), (0, 0 , 1)}.
c) V = P 2 (R) e S = {t^2 − 1 , t + 2, 5 }. V = M 2 × 3 (R) e
S =
d)
- Em cada item, determine uma base e a dimens˜ao do subespa¸co vetorial W de V.
a) V = R^4 e W = [(1, 0 , 0), (0, 5 , −2), (7, 0 , 2), (3, π, 2)].
b) V = R^3 e W = [(1, 0 , 3), (0, − 1 , 2), (1, − 1 , 5)].
c) V = M 2 (R) e W =
x y z w
∈ V ; x − y + z = 0
d) V = P 3 (R) e W =
t^3 + t^2 , t^2 − 2 t, 1
e) V = R^4 e W = {(x, y, z, w) ∈ V ; z = w e y = 2x}.
- Determine, em cada item, uma base de V que cont´em S.
a) V = R^3 e S = {(1, 2 , 0), (0, 1 , −1)}. b)V = P 2 (R) e S = {t + 1, 2 t − 1 }.
- Verifique, em cada caso, se a transforma¸c˜ao T ´e linear:
a) T : R^3 → R^2 , T (x, y, z) =
x^2 , y
b) T : R^3 → R^3 , T (x, y) = (x + y, x, 0). c) T : R^3 → R^3 , T (x, y, z) = 2x − 3 y + 4z. d) T : V → V, T (v) = −v.
e) T : R^2 → M 2 (R), T (x, y) =
x + 2y 0 1 y
f) T : P 3 (R) → M 2 (R), T (xt^3 + yt^2 + zt + w) =
x + y y −z w + z
g) T : M 3 × 2 (R) → R^2 , T
a b c d e f
(^) = (−a + c, b + c).
h) T : Pn(R) → Pn(R), T (p) = p′, sendo p′^ a derivada do polinˆomio p.
- Para cada transforma¸c˜ao linear T abaixo, determinar a lei de defini¸c˜ao, o n´ucleo e uma base da imagem.
a) T : R^2 → R^3 , tal que T (1, 2) = (3, − 1 , 5) e T (0, 1) = (2, 1 , −4).
b) T : R^3 → R^2 , tal que T (1, 0 , 0) = (2, 0), T (0, 1 , 0) = (1, 1) e T (0, 0 , 1) = (0, −1).
c) T : P 2 (R) → R^2 , tal que T
t^2
= (5, 7), T (t) = (0, 5) e T (1) = (0, 1).
d) T : P 2 (R) → M 2 (R), tal que
T (t^2 − 1) =
, T (t) =
, e T (−2) =
e) T : M 2 (R) → R, tal que
T
= 3, T
= 0, T
= 1 e T
- Exemplifique, se poss´ıvel, as situa¸c˜oes descritas nos itens a seguir. Caso n˜ao seja poss´ıvel, justifique.
a) T : R^3 → P 2 (R) linear tal que, Im(T ) =
t^2 + 2t + 3
4 t^2 + 5t + 6
b) T : M 2 (R) → R^3 linear, tal que N(T ) =
e Im(T ) = [(3, 1 , 0), (0, − 1 , 0)].
c) T : M 2 (R) → P 2 (R) linear, tal que N(T ) =
e Im(T ) =
t^2 , t + 2, 1
d) T : R^2 → R^3 linear, tal que N(T ) = [(1, 2)] e Im(T ) = [(1, 1 , 0)].
e) Uma aplica¸c˜ao linear injetora T : R^3 → R^2.
f) Uma aplica¸c˜ao linear sobrejetora T : R^2 → R^3.
g) Uma aplica¸c˜ao linear T : V → W , tal que Im(T ) = { 0 }.
h) T : R^3 → R^3 linear, tal que N(T ) =
(x, y, z) ∈ R^3 ; z + y = 0.
i) O subespa¸co U de M 2 (R), tal que a aplica¸c˜ao linear injetora T : P 2 (R) → M 2 (R) seja um isomorfismo de P 2 (R) sobre U.
- Seja T : V → V uma transforma¸c˜ao linear. Sabendo-se que dim(V ) = 5 e dim (N(T ) ∩ Im(T )) = 2, determine dim (N(T ) + Im(T )). A transforma¸c˜ao T pode ser injetora? Justifique as respostas.
- Seja T : M 2 (R) → M 2 (R), definida por T
x y z w
2 x 0 −z y + w
I) Determine:
a) N(T ) e Im(T ). b) N(T ) ∩ Im(T ). c)dim (N(T ) + Im(T )).
II) Verifique se M 2 (R) = N(T ) ⊕ Im(T ).
b) N =
i 2
e^ M^ =
3 + 2i
- 6
−5 + i 26
- a)
. b) N˜ao ´e invers´ıvel. c)
- a) a ̸= 1. b) a ̸= 4 e a ̸= −2.
- a) V 1 n˜ao ´e espa¸co vetorial (a propriedade associativa da soma n˜ao ´e v´alida).
b) V 2 n˜ao ´e espa¸co vetorial (n˜ao vale a distributiva (a + b).v = a.v + b.v).
- I. a) N˜ao. Contra-exemplo: (−2) · (1, − 2 , 3) = (− 2 , 4 , −6) ∈/ W.
b) N˜ao. Contra-exemplo:: (0, 1 , 0) + (1, 0 , 0) = (1, 1 , 0) ∈/ W. c) Sim. d) N˜ao. Contra-exemplo:
2 .(1, 2 , 3) ∈/ Q^3.
e) N˜ao. Contra-exemplo: (1, 1 , 0) + (− 1 , − 1 , 0) = (0, 0 , 0) ∈/ W. f) N˜ao. Contra-exemplo: (2, 4 , 0) + (− 3 , 9 , 0) = (− 1 , 13 , 0) ∈/ W.
II. a) a) Sim.
b) N˜ao. Contra-exemplo:
∈ / W.
c) N˜ao. Contra-exemplo:
∈ / W.
d) N˜ao. Contra-exemplo: (−1) ·
∈ / W.
III. a) Sim. b) Sim.
IV. N˜ao. Contra-exemplo: i ·
i 0 0 0
∈ / W.
V. Sim. VI. Sim.
- Nos itens a, d, e e f, temos que W ´e subespa¸co, pois as equa¸c˜oes que o caracterizam formam um sistema linear homogˆeneo. J´a nos itens b e c, W n˜ao ´e subespa¸co, pois as equa¸c˜oes que o caracterizam formam um sistema linear n˜ao homogˆeneo.
- a) W 1 = [(1, 1 / 2 , −1)]. b) W 2 = [(− 2 , 1 , 0), (3, 0 , 1)].
c) W 3 =
. d) W 4 =
t^2 + t, 1
- a) V; b) V; c) F; d) V; e) V; f) V.
- a) L.D.; b) L.D.; c) L.I..
- a) y ̸= 0 ou z ̸= 0. b) x ∈ R. c) x, y ∈ R.
- a) S n˜ao ´e base de R^2 porque os vetores s˜ao L.D.
b) S n˜ao ´e base de R^3 porque n˜ao gera o R^3. c) S ´e base de P 2 (R). d) S n˜ao ´e base de M 2 × 3 (R) porque n˜ao gera o M 2 × 3 (R).
- a) α = {(1, 0 , 0), (0, 5 , −2), (7, 0 , 2)}, dim W = 3.
b) α = {(1, 0 , 3), (0, − 1 , 2)}, dim W = 2.
c) α =
, dim W = 3.
d) α = {t^3 + t, t^2 − 2 t, 1 }, dim W = 3.
e) α = {(1, 2 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 1)}, dim W = 2.
- a) α = {(1, 2 , 0), (0, 1 , −1), (x, y, z)}, onde z + y − 2 x = 0.
b) α = {t + 1, 2 t − 1 , xt^2 + yt + z}, onde x ̸= 0.
- I. a) W 1 ∩ W 2 = [(1, 1 , 1)] = W 2. b) W 1 ∩ W 2 =
(x, y, z) ∈ R^3 ; x = y e z = 0}.
II. a) Como W 2 ⊂ W 1 , ent˜ao W 1 ∪ W 2 = W 1 , logo W 1 ∪ W 2 ´e subespa¸co de R^3. b) Temos que W 1 ∪ W 3 =
(x, y, z) ∈ R^3 ; x = y ou x = y − z. Observe que v = (1, 1 , 3), u = (2, 3 , 1) ∈ W 1 ∪ W 3 , mas v + u /∈ W 1 ∪ W 3.
c) T tal que T
= 0, T
= 0 − t^2 , T
= t + 2 e T
d) T tal que T (1, 0) = (1, 1 , 0) e T (1, 2) = (0, 0 , 0).
e) Imposs´ıvel, pois se T ´e injetora, teremos dim N(T ) = 0 e n˜ao valer´a a igualdade dim R^3 = dim N(T ) + dim Im(T ), pois Im(T ) ⊂ R^2 tem dimens˜ao menor ou igual a dois.
f) Imposs´ıvel, pois se T ´e sobrejetora, teremos Im(T ) = R^3 e da´ı dim Im(T ) = 3. Sendo assim, n˜ao valer´a a igualdade dim R^2 = dim N(T ) + dim Im(T ).
g) T dada por T (v) = 0, para todo v ∈ V (a transforma¸c˜ao linear identicamente nula).
h) T tal que T (1, 0 , 0) = (0, 0 , 0), T (0, 1 , −1) = (0, 0 , 0) e T (0, 0 , 1) = (1, 0 , 0).
i) Devemos ter U = Im(T ).
- Como dim N(T ) + dim Im(T ) = dim V = 5, tem-se:
dim (N (T ) + Im(T )) = dim N(T ) + dim Im(T ) − dim (N (T ) ∩ Im(T )) = 5 − 2 = 3.
Como, por hip´otese, dim (N(T ) ∩ Im(T )) = 2, teremos
2 ≤ dim N(T ) ≤ 5 = dim V,
o que nos d´a N (T ) ̸= { 0 }. Portanto, a transforma¸c˜ao n˜ao pode ser injetora.
- I) a) N(T ) =
e Im(T ) =
b) N(T ) ∩ Im(T ) =
II) Como N(T ) + Im(T ) ´e um subespa¸co de M 2 (R) e possui dimens˜ao 4, ent˜ao N(T ) + Im(T ) = M 2 (R). Como N(T ) ∩ Im(T ) = { 0 }, temos que M 2 (R) = N(T ) ⊕ Im(T ).
