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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR I
Profs: Enaldo Vergasta e Glória Márcia
3 LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Sejam u = (x 1 , y 1 , z 1 ) e v = (x 2 , y 2 , z 2 ) vetores do R^3. Verifique se cada uma das seguintes funções é um produto interno em R^3 : a) u. v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 b) u. v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 2) Considere o seguinte produto interno em P 2 : <p(x),q(x)> = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a o b o, sendo p(x) = a 2 x^2 + a 1 x + ao e q(x) = b 2 x^2 + b 1 x + bo. Para os polinômios p 1 = x 2 – 2 x +3, p 2 = 3 x – 4 e p 3 = 1 – x^2 , calcule: a) <p 1 , p2> b) ||p 1 || e ||p 3 || c) || p 1 + p 2 || d) 3) Considere a função: . Mostre que f é um produto interno em R e calcule: a) ||(1,3)|| b) Um vetor unitário a partir de (1,3) c) Um vetor ortogonal a (1,3) 4) Considere o R^3 munido do produto interno usual e o subconjunto B = {(1, 2, –3), (2, –4, 2)} desse espaço vetorial. Determine: a) O subespaço S gerado por B. b) O subespaço ortogonal a S. 5) Considere o R^3 munido do produto interno usual. Dados os subespaços e , determine e . 6) Considere, em R^3 , o produto interno usual. Em cada um dos seguintes itens, determine os valores de m para os quais os vetores u e v são ortogonais. a) u = (3 m , 2, – m ) e v = (– 4, 1, 5) b) u = (0, m – 1, 4) e v = (5, m – 1, –1)
7) Considere o R^3 com o produto interno usual. Determine um vetor u do R^3 , ortogonal aos vetores v 1 = (1, 1, 2), v 2 = (5, 1, 3) e v 3 = (2, – 2, – 3). 8) Determine os valores de a , b e c de modo que o conjunto B = {(1, – 3, 2), ( 2, 2, 2), ( a , b , c )} seja uma base ortogonal do R^3 em relação ao produto interno usual. Construir, a partir de B, uma base ortonormal. 9) Quais dos seguintes operadores são ortogonais? a) , b) , c) , 10) Verifique quais das seguintes matrizes são ortogonais: a) b) c) d) 11) Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja: a) b) 12) Determine valores reais de a e b para que os seguintes operadores no R^3 sejam simétricos: a) , b) ,. 13 ) Mostre que, se A e B são matrizes ortogonais, então AB também é ortogonal. 13) Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir. a) b) c) , onde d) definido por e) , definido por
f) , definido por.
14) Verifique quais dos operadores definidos abaixo são diagonalizáveis e dê a sua forma diagonal
RESPOSTAS
1) a) Sim b) Sim 2) a) –18 b) e c) d)
3) a) 5 b) c) t .( – 7, 4)
4) a) )
b) ). 5) e ) 6) a) 2/17 b) 3 ou -
7) u = a (1, 7, – 4), )
8) e
9) a) Sim b) Não c) Não 10) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim
11) a) b)
12) a) a = – 2 e b = – 3.
b) a = 0 e b = – 3.
13) a) ,autovalores 2 e -1,com autovetores associados v=(x, 2x), x 0 e u=(-y,y), y 0, respectivamente. b) , não possui autovalores reais.
c) ,autovalores 2 e 3, com autovetores associados v=(0,0,z), z 0 e u=(0,y,y), y 0, respectivamente.
d) , , ,
e) , , ,
f) , , ,
14) a) T é diagonalizável pois = {(1,1),(0,1)} é uma base de auto vetores de T , e b) T não é diagonalizável c) , base de autovetores d) e) f) g) h) 15) 16) Considerando a base de podemos definir , T(3,1) = -2(3,1) = (-6,-2) e T(-2,1) = 3(-2,1) = (-6, 3) 17) 18) a) b) 19) a) Como T não é sobrejetor, então dimN(T ) 0, daí zero é um autovalor de T. Então temos autovalores distintos em um espaço de dimensão quatro, logo diagonalizável: b) , = { + t, t, 1} c) , base de auto vetores de T , ={ ,1,t}
