UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Métodos Estatísticos
Primeira Avaliação de Probabilidade e Estatística 26-04-2018
Atenção: Não serão aceitas respostas sem justificativa.
Resolver as questões nos espaços apropriados.
1. Para estudar o comportamento do mercado de smartphones, as marcas foram divididas em três categorias: marca S,
marca I e marca L. Um estudo sobre os hábitos de mudança de marca por parte dos usuários mostrou que o seguinte
quadro de probabilidades condicionais prevalece em qualquer momento no qual um usuário típico adquire um novo
aparelho: Proprietário Mudança para
da marca S I L
S 0,55 0,25 0,20
I 0,20 0,60 0,20
L 0,35 0,30 0,35
Por exemplo: Para i=1,2,...; P(Si+1 |Si)=0,55; P(Li+1|Si)=0,20; P(Si+1|Li)=0,35.
A compra do primeiro smartphone é feita conforme as probabilidades a seguir: P(S1)=0,60; P(I1)=0,25 e P(L1)=0,15.
Calcule as probabilidades de um usuário:
(a) Comprar o seu segundo smartphone de cada uma das marcas: P(S2), P(I2) e P(L2);
(b) Comprar o seu terceiro smartphone da marca S, ou seja, P(S3);
(c) Ter comprado o seu primeiro smartphone da marca S, dado que o segundo também foi da marca S, ou seja,
P(S1|S2).
2. Seja Xuma variável aleatória discreta que corresponde à durabilidade de uma peça, em anos incompletos. A função
de distribuição acumulada de Xé dada por:
F(x) =
0se x < 0,
1/2se 0≤x < 1,
3/5se 1≤x < 2,
4/5se 2≤x < 3,
9/10 se 3≤x < 4,
1se x≥4
(a) Determine a função de probabilidade de X.
(b) A grandeza Y= 2√X+ 3 é considerada uma característica de qualidade importante do processo de produção.
Calcule o valor esperado de Y.
(c) A durabilidade de uma peça similar produzida por meio de um novo processo de fabricação é W. Se W é uma
Poisson de parâmetro 2, independente de X, calcule a probabilidade de que uma peça produzida pelo novo processo
dure menos que uma peça produzida pelo processo original, ou seja, P(W < X ).
3. Numa linha de produção o número de peças defeituosas em 1 dia de operação da fábrica pode ser modelado por uma
distribuição de Poisson com taxa média de ocorrência de 6 peças defeituosas por dia.
(a) Seja T o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos. Forneça
a expressão matemática da função de densidade de T. Deduza através de integração a expressão matemática da
função de distribuição acumulada de T.
(b) Qual a probabilidade de que T esteja entre 8 e 12 horas?
(c) Determine a amplitude de um intervalo de tempo para que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser
produzida ao longo dele seja de 90%.
4. Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conhecida, dada pela tabela abaixo.
(a) Complete a tabela, considerando XeYindependentes.
(b) Calcule as médias e variâncias de XeY.
(c) Calcule P(X+Y= 1|XY = 0).
Boa Prova!
