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MAE 0219 - Introdução à Probabilidade e Estatística
Lista 3
Professores: Pedro Morettin & Chang Chiann
- Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:
(a) Lançamento de dois dados: anota-se a configuração obtida. Ω = {(Cara, Coroa), (Coroa, Cara), (Cara, Cara), (Coroa, Coroa)}
(b) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora. Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , ...}
(c) Investiga-se famílias com 4 crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo. Ω = {(F, F, F, F ), (F, F, F, M ), (F, F, M, M ), (F, M, M, M ), (M, M, M, M ), (M, F, F, F ), (M, M, F, F ), (M, M, M, F ), ...} (ou seja, todas as 16 permutações)
(d) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que queimem. Ω = {t : t > 0 }
(e) Lança-se uma moeda até aparecer cara e anota-se o número de lançamentos. Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , ...} Ou seja, pode aparecer Cara no primeiro lançamento, no segundo e assim por diante.
(f) De um grupo de 5 pessoas (A,B,C,D,E) sorteiam-se duas, uma após outra, com repo- sição, e anota-se a configuração formada. Ω = {(A, A), (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, A), (B, B), ...} Ou seja, todas as 25 permutações.
(g) Mesmo enunciado que f, sem reposição. Ω = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, A), (B, C), ...} Ou seja, todas as 5*4=20 permutações.
- Duas moedas são lançadas - liste os eventos:
(a) pelo menos uma cara (A) 2 A = {(Cara, Coroa), (Cara, Cara), (Coroa, Cara)}
(b) duas caras (B) B = {(Cara, Cara)}
(c) complementar de (b) Bc^ = {(Cara, Coroa), (Coroa, Coroa), (Coroa, Cara)}
- Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A: soma dos números obti- dos igual a 9 e B: número no primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere os elementos de A e B. Obtenha A ∪ B, A ∩ B e Ac.
A = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)}
B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
A ∪ B = {(3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),
A ∩ B = { 6 , 3), (4, 5), (5, 4)}
Ac^ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
- Obtenha as probabilidades dos eventos que aparecem nos problemas 2 e 3.
Problema 2
P (A) =
P (B) =
P (B) = P (x ≥ b) + P (y ≥ b) − P (x ≥ b ∩ y ≥ b) P (B) = (1 − b) + (1 − b) − (1 − b)^2
(d) Calcule P (Bc), onde B foi definido em (c). P (Bc) = 1 − P (B) = 2b − 1 + (1 − b)^2
- Considere um quadrado como da figura 1. Considere os eventos:
A = {(x, y) : 1/ 3 ≤ x ≤ 2 / 3 , 0 ≤ y ≤ 1 / 2 } B = {(x, y) : 1/ 2 ≤ x ≤ 1 , 1 / 4 ≤ y ≤ 3 / 4 }
Calcular P (A), P (B), P (A ∪ B), P (Ac), P (Bc) e P (Ac^ ∩ Bc) P (A) = 13 · 13 = (^19) P (B) = 12 · 24 = (^14) P (A ∩ B) = ( 23 − 12 ) · ( 12 − 14 ) = 241 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 249 P (Ac) = (^56) P (Bc) = (^34) P (Ac^ ∩ Bc) = (^58)
- Considere, agora, a situação do problema 6, mas suponha que o quadrado não tenha área unitária. Como você definiria a probabilidade de um evento A? Sejam (x 1 , x 2 ) e (y 1 , y 2 os limites do quadrado equivalente ao evento A. Seja R a área total do quadrado equivalente ao espaço amostral. Assim:
P (A) =
(x 2 − x 1 )(y 2 − y 1 ) R
- Selecionamos da tabela abaixo um dentre os 100 números. Preencher a tabela (ou itens):
(a) O primeiro dígito é zero P rob = 101
(b) Os dois dígitos são iguais P rob = 101
(c) Os dois dígitos são diferentes P rob = 109
(d) O primeiro dígito é maior que o segundo P rob = 10045 (equivale à matriz triangular superior sem a diagonal)
(e) O primeiro dígito é maior ou igual ao segundo P rob = 10055 equivale à matriz triangular superior com a diagonal)
(f) O segundo dígito é 1 P rob = 101
(g) A soma dos dígitos é 5 P rob = 1006
(h) A soma dos dígitos é 9 P rob = 101
(i) Nenhum dos dígitos é maior que 3 P rob = 10016
(j) Apenas um dos dígitos é maior que 3 e o segundo não P rob = 10048
- Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 3 de meias azuis. Tiram-se 2 meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar:
(a) Um par verde? Com reposição: P rob = 1016 · 1016 = (^2564)
Sem reposição: P rob = 1016 · 159 = (^38)
(b) Um par de meias da mesma cor? Com reposição: P rob = 2564 + 166 · 166 = 0, 53
Sem reposição: P rob = 38 + 166 · 155 = 0, 5
(c) Um par com meias de cores diferentes? (Pode ser AV ou VA)
Com reposição: P rob = 1016 · 166 + 166 · 1016 = 0, 47
Sem reposição: P rob = 1016 · 156 + 166 · 1015 = 0, 5
P rob = 16 + 13 · 16 = 0, 23.
- Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição.
(a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades. Ω = {(P, P ), (P, V ), (V, P ), (V, V )} P ({(P, P )}) = 38 · 27 = 566 P ({(P, V )}) = P ({(V, P )}) = 38 · 57 = (^1556) P ({(V, V )}) = 58 · 47 = (^2056)
(b) O mesmo problema, para extrações com reposição. Ω = {(P, P ), (P, V ), (V, P ), (V, V )} P ({(P, P )}) = 38 · 38 = 649 P ({(P, V )}) = P ({(V, P )}) = 38 · 58 = (^1564) P ({(V, V )}) = 58 · 58 = (^2564)
- No problema anterior, calcule as probabilidades dos eventos:
(a) bola preta na primeira e segunda extrações; P ({(P, P )} = 566 sem reposição P ({(P, P )} = 649 com reposição
(b) bola vermelha na primeira extração; P ({(V, P ), (V, V )} = 1556 + 2056 = 3556 sem reposição P ({(V, P ), (V, V )} = 1564 + 2564 = 4064 com reposição
(c) bola preta na segunda extração. P ({(V, P ), (P, P )} = 1556 + 566 = 2156 sem reposição P ({(V, P ), (P, P )} = 1564 + 649 = 2464 com reposição
- Uma urna contem 5 bolas pretas, 3 vermelhas, 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 5 bolas. Qual é a probabilidade de que saiam duas bolas pretas, duas azuis e uma amarela?
Como as bolas são retiradas ao mesmo tempo, a retirada é sem reposição. Assim, a probabilidade de tirar a configuração (P P Az Az Am) é:
5 13
Porém, existem (^) 2!2!1!5! = 30 configurações diferentes, cada uma com a mesma probabili- dade. Portanto, P rob = 30 · 12872 = 42920.
- Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio?
Ω = {(AA), (ACC), (ACBB), (ACBA), (BB), (BCC), (BCAA), (BCAB)}.
- No espaço amostral do problema anterior, atribua a cada ponto contendo k letras a probabilidade (^21) k (assim, AA tem probabilidade 1/4).
(a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos do espaço amostral é um.
P ({(AA), (BB)}) = 2 · 14 = 12
P ({(ACC), (BCC)}) = 2 · ( 12 · 14 ) = 14
P ({(ACBB), (BCAA)}) = 2 · ( 12 · 12 · 14 ) = 18
P ({(ACBA), (BCAB)}) = 2 · ( 12 · 12 · 12 · 12 ) = 18
P (Ω) = P ({(AA), (BB)}) + P ({(ACC), (BCC)}) + P ({(ACBB), (BCAA)})
+P ({(ACBA), (BCAB)}) = 12 + 14 + 2 · 18 = 1
(b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas par- tidas seguidas). Em seguida, calcule a probabilidade de que B vença. Qual a proba- bilidade de que não haja decisão?
P(A vencer)=P ({(AA), (BCAA)}) = 14 + 161 = 165 P(B vencer)=P ({(BB), (ACBB)}) = 14 + 161 = 165 P(C vencer)=P ({(ACC), (BCC)}) = (^14) P(sem decisão)=P ({(ACBA), (BCAB)}) = 18.
- Na tabela abaixo damos as áreas de concentração de 1000 estudantes de uma faculdade, segundo o ano em que estão matriculados. A letra N indica uma área de concentração nas ciências naturais, S nas ciências sociais e H nas ciências humanas. Além desses símbolos, vamos denotar por U o evento do estudante estar no 3o^ ou 4o^ ano e por L o evento do
(e) P(N|4o), P(4o|N), P(N ou 8|3o), P(H|N)
P (N | 4 o) =
P (N ∩ 4 o) P (4o)
P (4o|N ) =
P (N ∩ 4 o) P (N )
P (H|N ) =
P (H ∩ N )
P (N )
- Um capitão de um time de futebol se queixou que em três jogos consecutivos o seu time perdeu o sorteio para a escolha do campo. Você acha que ele tem razão de reclamar?
Não, pode acontecer, apesar da probabilidade ser baixa. Um sorteio é independente do outro, logo a chance disso acontecer é de (1/2)^3 = 1/ 8.
- Considere números aleatórios de dois algarismos. Seja G o evento de que o número é divisível por 4; H o evento de que ele seja divisível por 5.
(a) Determine P(G) e P(H) O número total de números aleatórios de 2 algarismos é 10*10=100 números. Destes, 25 são múltiplos de 4 e 20 são múltiplos de 5. Logo, P (G) = 1/ 4 e P (H) = 1/ 5.
(b) Determine P(G e H) P (G ∩ H) = 5/100 = 1/ 20 (pois os números 20,40,60,80,100 são ambos divisíveis por 4 e 5)
(c) Os eventos G e H são exclusivos? Não, pois a interseção não é vazia, conforme item anterior.
(d) Os eventos G e H são independentes? Sim, pois P (G ∩ H) = P (G)P (H).
(e) Determine P(G ou H) P (G ∪ H) = P (G) + P (H) − P (G ∩ H) = 8/20 = 0, 40
- A senhora Y, quando tem dores de cabeça, escolhe ao acaso um dentre dois analgésicos. Se um deles tem probabilidade 3/4 de aliviar a dor e o outro tem probabilidade 2/3, qual é a probabilidade de que passe a dor de cabeça da senhora Y?
Dois medicamentos: A e B Escolha ao acaso: P(A)=P(B)=1/
Evento aliviar a dor: C P(passar dor)= 12 P (C|A) + 12 P (C|B) = 12 · 34 + 12 · 23 = 38 + 26 = 18 48 +^
16 48 =^
34
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5,4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C?
P (def ) = 0, 25 · 0 , 05 + 0, 35 · 0 , 04 + 0, 40 · 0 , 02 = 0, 0345
P (A|def ) =
P (A ∩ def ) P (def )
P (B|def ) = P (B ∩ def ) P (def )
P (C|def ) = P (C ∩ def ) P (def )
- As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectiva- mente. Qual a probabilidade :
(a) de que nenhum destes eventos ocorra? P (A) = p;P (B) = q P (Ac^ ∩ Bc) = (1 − p)(1 − q)
(b) de que pelo menos um destes eventos ocorra? P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = p + q − pq
- Prove que se A e B são independentes, também o serão Ac^ e Bc, A e Bc^ e Ac^ e B.
P (A ∪ B) = P (A)P (B), pela independência P (Ac^ ∩ Bc) = P ((A ∪ B)c) = 1 − P (A ∪ B) pelas Leis de DeMorgan = 1−{P (A)+P (B)−P (A)P (B)} = (1−P (A))−P (B)(1−P (A)) = (1−P (A))(1−P (B)) = P (Ac)P (Bc)
P (A ∩ Bc) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (Bc)
(análogo para Ac^ e B)
- Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de trei- namento durante uma semana. No final do curso, eles são avaliados por uma prova e 25% dos candidatos são classificados como bons (B), 50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (F). Como medida de economia, o departamento de seleção pretende substituir
